FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA Juan C. Fernandez 4

FIUBA Sea un circuito formado por un material conductor de conductividad , supuestamente constante en todo el rango de frecuencia de interés. Suponemos que las dimensiones del circuito cumplen la condición cuasi-estática: MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS A partir de las ecuaciones de Maxwell es posible establecer las propiedades de los elementos concentrados de circuito. C S I Campo EM D Como estamos en el caso cuasi-estacionario, la corriente I es (aprox.) la misma a lo largo de todo el circuito. D << min El circuito se halla bajo la acción de un campo electromagnético variable en el tiempo, de modo que dentro del conductor se observa un campo eléctrico aplicado E 0, que da origen a la circulación de una corriente I. Ley de Ohm: E = j/ . Esta ecuación es válida para puntos interiores al conductor, como los tramos 1-2 y 3-1 en el circuito de la figura. Pero también existe campo en el tramo 2-3, donde no hay conductor, creado por la distribución de cargas en los extremos del conductor 2 y 3.

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS C S I Campo EM D Ley de Ohm: E = j/ . Válida en los tramos 1-2 y 3-1 en el circuito de la figura. Campo cuasi-estático en el tramo 2-3, creado por la distribución de cargas en los extremos del conductor. La circulación de la corriente variable en el tiempo genera un campo magnético también variable en el tiempo, que creará un campo eléctrico "inducido" sobre el conductor. El campo en el interior del conductor se puede expresar entonces como la suma del campo aplicado y uno inducido: E = E 0 + E' A su vez, el campo inducido se puede expresar usando los potenciales electrodinámicos: La circulación del campo a lo largo de todo el circuito es entonces: caída capacitiva fem aplicada caída inductiva caída resistiva

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Definiciones de constantes concentradas Resistencia: Inductancia: Capacidad: Inductancia mutua: Capacidad mutua: I1I1 C1C1 I2I2 C2C2 11 Q1Q1 22 Q2Q2 I C 11 Q 22 -Q

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Fórmulas generales de capacidad y resistencia entre electrodos Si el medio entre electrodos es homogéneo: Q  -Q C S 1 2 I  C S 1 2 Relaciones energéticas para el cálculo de capacidades e inductancias Todo el espacio donde exista campo

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Ejemplos - Coaxil Conductor interior Conductor exterior dieléctrico aislación a b r  I -I a b  H H C Tipoa (mm)b (mm) rr L e /l (  Hy/m) C/l (pF/m) RG58 CU(50  ) RG11 (75  )

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Bifilar d 2a I I a b t Cinta Ejemplos - Coaxil Conductor interior Conductor exterior dieléctrico aislación Solenoide a z L I C1C1 C2C2 I I C1C1 C2C2 C3C3 a b h b-a Toroide

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Ejemplos – inductancia mutua de espiras Puede demostrarse que: donde: r 0 es el radio de los conductores. K(k) y  son integra- les elípticas completas de primera y segunda especie, respectivamente: a b D F(k) k

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Modelos de parámetros concentrados – Modelos de una puerta Thévenin  VsVs ZsZs IsIs ↑ YsYs Norton

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Modelos de parámetros concentrados – Modelos pasivos de dos puertas I1I1 V1V1 I2I2 V2V2 Matriz de impedancias circuito abierto Para circuitos pasivos y lineales, vale la relación de reciprocidad: Sólo 3 parámetros independientes V1V1 I1I1 I2I2 V2V2 Z1Z1 Z2Z2 Z3Z3 Red T equivalente Serie de cuadripolos I1I1 V1V1 I2I2 V2V2 V 2A V 2B V 1A V 1B [ZA][ZA] [ZB][ZB]

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Modelos de parámetros concentrados – Modelos pasivos de dos puertas Matriz de impedancias (cont.) - Tensión y corriente sobre una carga ∼ VsVs ZsZs ZLZL VLVL ILIL I1I1 [Z][Z] El equivalente Thévenin de la fuente es dato. Tenemos tres incógnitas: I 1, I L y V L. Las ecuaciones del cuadripolo son: Pero: y quedan las siguientes ecuaciones: de donde se obtiene:

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Modelos de parámetros concentrados – Modelos pasivos de dos puertas Matriz de admitancias La matriz de admitancias es la inversa de la matriz de impedancias: I1I1 V1V1 I2I2 V2V2 cortocircuito Red  equivalente V1V1 I1I1 I2I2 V2V2 YaYa YbYb YcYc Paralelo de cuadripolos I1I1 V1V1 I2I2 V2V2 I 2A I 2B I 1A I 1B [YA][YA] [YB][YB]

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Modelos de parámetros concentrados – Modelos pasivos de dos puertas Matriz de admitancias (cont.) - Tensión y corriente sobre una carga ↑ IsIs YsYs YLYL VLVL ILIL I1I1 [Y][Y] El equivalente Norton de la fuente es dato. Tenemos nuevamente tres incógnitas: I 1, I L y V L. Procediendo como en el caso anterior se obtiene:

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Modelos de parámetros concentrados – Modelos pasivos de dos puertas Matriz de transmisión V2V2 I1I1 V1V1 la corriente en la puerta de "salida" tiene el sentido opuesto al de las representaciones previas, de manera que los parámetros de la puerta de "salida" del cuadripolo coinciden con los parámetros de la puerta de "entrada" del cuadripolo siguiente en la cascada. Los parámetros de la matriz de transmisión: son de distinto tipo. A y D son adimensionales, B es una impedancia llamada trans-impedancia y C una admitancia llamada trans-admitancia. En la cascada de dos cuadripolos las matrices de transmisión se multiplican: [ ℭ ] = [ ℭ A ] [ ℭ B ] I1I1 V1V1 I2I2 V2V2 [ℭA][ℭA][ℭB][ℭB]

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Modelos de parámetros concentrados – Modelos pasivos de dos puertas Matriz de transmisión (cont.) Tensión y corriente sobre una carga Tabla de matrices de transmisión: Impedancia en serie Admitancia en paralelo Transformador ideal Acoplamiento inductivo Z Y 1:n L1L1 L2L2 M ∼ VsVs ZsZs ZLZL VLVL ILIL IsIs [ℭ][ℭ]

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Modelos de parámetros concentrados – Modelos pasivos de dos puertas Matriz de transmisión (cont.) El uso de la matriz de transmisión permite escribir fácilmente la matriz de un circuito dividiéndolo en sus componentes individuales. R L C R L C Ejemplo: Hallar la matriz de transmisión del circuito de la figura.

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Modelos de parámetros concentrados – Modelos pasivos de dos puertas Relaciones entre las distintas representaciones matriciales ℭ donde:

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Modelos de parámetros concentrados – Modelos activos de dos puertas I1I1 V1V1 I2I2 V2V2 ~~ V s2 V s1 [Z][Z] ++ I s2 I s1 I1I1 V1V1 I2I2 V2V2 [Y][Y] ↓↓ I1I1 V1V1 I2I2 V2V2 ~ VsVs IsIs ↓ [ℭ][ℭ] Estos modelos activos están relacionados entre sí del mismo modo que los modelos pasivos.

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DE CIRCUITOS Modelos de parámetros concentrados – Modelos multipuerta V1V1 I1I1 + V2V2 I2I2 + ViVi IiIi + V n-1 I n-1 + VnVn InIn + [V] = [Z] [I] [I] = [Y] [ V] [V] e [I] son vectores n-dimensionales y [Z] e [Y] son matrices de nxn. [I1][I1] + [V1][V1] 1 2 m + [V2][V2] 1 2 n En el caso de la matriz de transmisión se dividen (artificialmente o no) las múltiples puertas en un conjunto de puertas de "entrada" y un conjunto de puertas de "salida". Las relaciones entre las variables de puerta llevan entonces a ecuaciones matriciales cuyos elementos son en sí matrices: [A], [B], [C] y [D] son matrices de mxn para el ejemplo de la figura.

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS DE ACOPLAMIENTO NO CONDUCTIVO – BF Acoplamiento inductivo o magnético [débil] Acoplamiento capacitivo o eléctrico [débil] Acoplamiento general [débil] Acoplamiento inductivo I1I1 V1V1 + Fuente I2I2 V2V2 + Víctima B D E D << min L1L1 L2L2 C1C1 C2C2 M C0C0 1 2 Capacidades parásitas ACOPLAMIENTO INDUCTIVO V1V1 I1I1 I2I2 V2V2 YaYa YbYb YcYc

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS DE ACOPLAMIENTO NO CONDUCTIVO – BF ACOPLAMIENTO INDUCTIVO V1V1 I1I1 I2I2 V2V2 YaYa YbYb YcYc ACOPLAMIENTO INDUCTIVO DÉBIL ACOPLAMIENTO INDUCTIVO DEBIL En el circuito fuente queda una inductancia pura y en el circuito víctima la tensión inducida en la carga: puede representarse mediante dos fuentes de corriente sobre el circuito víctima: acoplamiento capacitivo acoplamiento inductivo (predomina) y la tensión y corriente inducidas sobre la carga se escriben ahora: L1L1 L2L2 M C0C0 1 2

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS DE ACOPLAMIENTO NO CONDUCTIVO – BF Acoplamiento inductivo o magnético [débil] Acoplamiento capacitivo o eléctrico [débil] Acoplamiento general [débil] Acoplamiento capacitivo D << min Inductancias parásitas D B E I1I1 V1V1 + Fuente I2I2 V2V2 + Víctima L1L1 L2L2 C1C1 C2C2 M C0C0 1 2 ACOPLAMIENTO CAPACITIVO V1V1 I1I1 I2I2 V2V2 Z1Z1 Z2Z2 Z3Z3

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS DE ACOPLAMIENTO NO CONDUCTIVO – BF ACOPLAMIENTO CAPACITIVO V1V1 I1I1 I2I2 V2V2 Z1Z1 Z2Z2 Z3Z3 ACOPLAMIENTO CAPACITIVO DÉBIL ACOPLAMIENTO CAPACITIVO DEBIL En el circuito fuente queda una capacidad pura y en el circuito víctima la corriente inducida en la carga: puede representarse mediante una fuente de tensión y una fuente de corriente sobre el circuito víctima: acoplamiento capacitivo (predomina) acoplamiento inductivo VLVL + - Víctima C1C1 C2C2 I1I1 V1V1 + - ZsZs VsVs I' ZLZL Fuent e + + V' ILIL M L1L1 L2L2 C1C1 C2C2 M C0C0 1 2

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS DE ACOPLAMIENTO NO CONDUCTIVO – BF ACOPLAMIENTO GENERAL DÉBIL En este caso las inductancias y capacidades de la fuente en los modelos anteriores se reemplazan por impedancias. Las fuentes inducidas siguen siendo: Las fuentes de interferencia inducen fuentes respuesta V 1 e I 1 en la carga generalizada Z L del circuito de entrada, y ambas contribuyen a la excitación sobre el circuito víctima. VbVb + - Víctima ZLZL ZaZa I1I1 V1V1 + - ZsZs VsVs I' ZbZb Fuente + + V' ILIL

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS DE ACOPLAMIENTO NO CONDUCTIVO – BF Ejemplo: Crosstalk entre líneas de un circuito impreso h ww d  plano de tierra línea activa  línea receptora plano de tierra ZsZs VsVs Tenemos una traza "activa", a la que está conectada una fuente de equivalente Thèvenin ( V s, Z s ) y termina en una impedancia de carga Z L. Este es el sistema culpable. Tenemos además una traza "receptora" (víctima) que es un circuito pasivo, terminado en ambos extremos por impedancias Z a y Z b. Para aplicar el modelo circuital es necesario que se cumpla la aproximación cuasi-estacionaria. Si suponemos que la longitud de las trazas en un circuito impreso típico es en promedio de 5 cm, la longitud de onda mínima es:

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS DE ACOPLAMIENTO NO CONDUCTIVO – BF Ejemplo: Crosstalk entre líneas de un circuito impreso línea activa  línea receptora plano de tierra ZsZs VsVs Circuito culpable: ZLZL I1I1 V1V1 + - ZsZs VsVs Fuente + Circuito víctima: VbVb + - ZbZb i  MI 1 VaVa + - ZaZa - + iC0V1iC0V1

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS DE ACOPLAMIENTO NO CONDUCTIVO – BF Ejemplo: Crosstalk entre líneas de un circuito impreso línea activa  línea receptora plano de tierra ZsZs VsVs Estas ecuaciones pueden escribirse: coeficientes de respuesta Casos especiales: línea activa cortocircuitada en la carga (Z L = 0) : línea activa abierta en la carga (Z L   ) :