ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL

Rectes, semirectes, segments, arcs i segments d'arc: Tots estan formats per punts corresponents a nombres reals.

Si no fos així, el punt B de la figura no existiria o, millor dit, la recta AB no tallaria la recta BC sinó que passaria "per entremig" dels seus punts sense tocar-la (malgrat que de nombres racionals ja n'hi ha infinits).

Instruments vàlids per a la construcció gràfica: Exclusivament regle i compàs.
No es permet l’ús d’escaires, regles graduats, transportadors, cordills flexibles, etc.

Però en la pràctica del dibuix lineal es pot acceptar l'ús de regles i esquadres, perquè tot el que es pot fer amb regles i esquadres, també es pot fer només amb regle i compàs.

Hipòtesis que fem respecte a les eines i procediments de dibuixar:
a) Que els llapis fan línies sense gruix i que els nostres ulls són tan potents que les poden arribar a veure. Tampoc no hi ha limitacions en la mida del paper.

b) Que amb un regle i un llapis som capaços de fer passar exactament una línia per un punt o dos punts. c) Que amb un compàs som capaços de prendre exactament la distància entre dos punts.

Les 7 operacions bàsiques amb regle i compàs són les següents:

2. Intersecció de dues rectes (determinació d'un punt).
1. Traçat d'una recta que passa per dos punts (determinació d'una recta). 2. Intersecció de dues rectes (determinació d'un punt).

4. Intersecció d'una recta i una circumferència.
3. Traçat d'una circumferència de centre i radi donats (determinació d'una circumferència). 4. Intersecció d'una recta i una circumferència.

5. Intersecció de dues circumferències.
6. Transport d'un segment.

7. Transport d'un angle.

Angles aguts, rectes, obtusos i angle pla.

Angles complementaris i suplementaris: Els complementaris sumen 90º i els suplementaris 180º.

Angles amb costats paral·lels: són iguals o suplementaris.

Angles amb costats perpendiculars: són iguals o suplementaris.

Angles adjacents: són suplementaris.
Angles oposats pel vèrtex: són iguals dos a dos.

Angles centrals en una circum-ferència: valen igual que l'arc abastat pels seus costats.

Angles inscrits i semiinscrits en una circumferència: valen la meitat de l'arc abastat pels seus costats.

Angles interiors i exteriors a una circumferència: valen respectivament la semisuma i la semidiferència dels arcs abastats pels seus costats. Interior Exterior

Algunes construccions gràfiques elementals:

Trobar el centre d’una circumferència donada.
Coneixent el radi Sense conèixer el radi

Traçat de la perpendicular a una recta des d'un punt de la pròpia recta, segons dos procediments diferents.

Traçat de la perpendicular a una recta des d'un punt exterior = Determinació de la distància d'un punt a una recta.

Traçat de la recta paral·lela a una recta des d'un punt exterior (postulat d'Euclides).

Una altra construcció a base de traçar una perpendicular a la perpendicular.

Determinació de la distància entre dues rectes paral·leles.

Mediatriu i divisió d'un segment en dues parts iguals.

Divisió d'un segment en n parts iguals.

Construcció gràfica de la mitjana proporcional de dos segments.

Una altra construcció de la mitjana proporcional, i més endavant encara en veurem una 3ª.

Traçat de la bisectriu d'un angle.

Traçat de la recta obliqua a una altra, amb un angle donat i des d'un punt donat.

Construcció gràfica de valors irracionals.

El triangle i les seves principals propietats:

Base i altura d’un triangle. Àrea del triangle = base*altura/2
(qualsevol base i qualsevol altura).

Triangles rectangles. Teorema de Pitàgores.

Triangles acutangles, rectangles i obtusangles.

Triangles isòsceles (acutangles o obtusangles).
Isòsceles obtusangle Isòsceles acutangle

Triangles isòsceles i rectangles alhora.

Escaire i cartabó: Quin és quin?

Solució: Tots dos són escaires.
Però aquest també és un cartabó i l’altre no.

Conveni de denominació dels costats i angles d'un triangle: Tres lletres majúscules als tres angles i la mateixa lletra en minúscula al costat oposat.

Suma dels angles (interiors) d'un triangle: La suma dels angles interiors d'un triangle sempre és igual a dos rectes = 180º = π radiants.

Angle exterior d'un triangle (format per un costat i la prolongació del costat adjacent) = a la suma dels dos angles interiors no adjacents.

Igualtat de triangles: Dos triangles iguals tenen els tres angles i els tres costats respectivament iguals.

Criteris d'igualtat de triangles: Són les condicions suficients per assegurar que dos triangles són iguals, o bé iguals i girats de mà:

a) Dos triangles són iguals si tenen iguals dos costats i l'angle que formen aquests costats.

b) Dos triangles són iguals si ténen iguals un costat i els dos angles adjacents.

c) Dos triangles són iguals si tenen els tres costats iguals.

i d) Dos triangles són iguals si tenen iguals dos costats desiguals entre si i l'angle oposat al més gran dels dos.

Si es tracta de l'angle oposat al costat més petit dels dos, aleshores la igualtat ja no es pot assegurar. P. ex. el triangle A’B’C’ sí que és igual a l’ABC, però el triangle A”B”D” és diferent.

Mètodes de construcció gràfica de triangles.

El costat més gran no pot ser més gran que la suma dels altres dos.
Construcció d'un triangle donats els seus tres costats. El costat més gran no pot ser més gran que la suma dels altres dos.

Construcció d'un triangle donats dos costats i l'angle comprès entre ells.

Construcció d'un triangle donats dos costats i l'angle oposat a un d'ells.
Aquest problema pot tenir dues solucions, una, o cap.

Construcció d'un triangle donats un costat i els dos angles adjacents.

Construcció d'un triangle donats un costat, un angle adjacent i l'angle oposat.

Més propietats dels triangles:
En un triangle es pot considerar quatre centres: Circumcentre, incentre, ortocentre i baricentre (cdg).

Les mediatrius dels tres costats d'un triangle es troben en un punt anomenat circumcentre. El circumcentre equidista dels tres vèrtexs i, per tant, és el centre de la circumferència circumscrita.

Les tres altures d'un triangle es troben en un punt anomenat ortocentre.

Les bisectrius dels tres angles d'un triangle es troben en un punt anomenat incentre.
L'incentre equidista dels tres costats i , per tant, és el centre de la circumferència inscrita.

Les tres medianes d'un triangle es troben en un punt anomenat baricentre.
El baricentre és el centre de gravetat del triangle.

En les figures anteriors hem vist que en un triangle acutangle aquests 4 punts són tots interiors al triangle.

En un triangle obtusangle el circumcentre i l'ortocentre són exteriors al triangle.

L'incentre i el baricentre sempre són interiors al triangle, encara que sigui obtusangle.

En un triangle rectangle el circumcentre és el punt mitjà de la hipotenusa.
I l'ortocentre és el mateix vèrtex de l'angle recte.

L'incentre i el baricentre en un triangle rectangle no tenen res d'especial a remarcar. El cas és semblant al dels triangles acutangles.

Traçant pels vèrtexs rectes paral·leles al costat oposat, resulta un triangle de costats dobles als del triangle original i de superfície quàdruple.

L'ortocentre del triangle original és el circumcentre del triangle de costats dobles.

Triangle òrtic: En un triangle acutangle, és aquell que està format pels peus de les altures.
Fixem-nos que les altures del triangle original són les bisectrius del triangle òrtic.

Circumferència inscrita i circumferències exinscrites: A més de la circumferència inscrita a un triangle hi ha tres circumferències més, cada una tangent a un costat i a les prolongacions dels altres dos.

Els costats del triangle format pels tres exincentres són les bisectrius exteriors dels angles del triangle original i les bisectrius del triangle original són les altures del triangle format pels tres exincentres.

Circumferència de Feuerbach (o d'Euler): Passa pels peus de les altures d'un triangle, pels punts mitjos dels costats i pels punts mitjos dels segments d'altura compresos entre el vèrtex i l'ortocentre. Té la meitat del radi de la circumferència circumscrita.

Recta d'Euler: En qualsevol triangle el baricentre, l'ortocentre i el circumcentre sempre estan alineats. Sempre es verifica que la distància del baricentre a l’ortocentre és el doble de la distància del baricentre al circumcentre.

Recta de Simson: Si des d'un punt qualsevol de la circumferència circumscrita a un triangle tracem perpendiculars als seus costats, els peus d'aquestes perpendiculars sempre estan alineats.

Semblança de triangles: Dos triangles semblants tenen els tres angles iguals i els tres costats proporcionals.

a) Dos triangles són semblants si A = A' i proporcionals els costats que el formen b/b' = c/c'

b) Dos triangles són semblants si A = A' i B = B'
b) Dos triangles són semblants si A = A' i B = B'. Aleshores ja resulta C = C'

c) Dos triangles són semblants si són proporcionals els costats a/a' = a/b' = c/c'

Algunes propietats dels polígons: La suma dels angles interiors d'un polígon val (nº de costats - 2)*180º.

La suma dels angles exteriors d'un polígon sempre val 360º.

Polígons regulars i irregulars: Són polígons regulars els que tenen tots els costats i tots els angles iguals.

Quadrilàters inscriptibles en una circumferència: Tenen els angles oposats suplementaris.
Quadrilàters circumscriptibles a una circumferència: La suma de parells de costats oposats és igual.

S’anomena lloc geomètric (respecte a una determinada propietat) a la figura formada per tots els punts que compleixen aquella propietat, p. ex: La circumferència és el lloc geomètric dels punts que estan a una distància donada (radi) d'un punt donat (centre).

La mediatriu d'un segment és el lloc geomètric dels punts equidistants de dos punts donats.

El lloc geomètric dels punts equidistants de dues rectes donades és la bisectriu de l’angle que formen les dues rectes.

Arc capaç d'un angle sobre un segment: És el lloc geomètric dels punts que veuen el segment amb un angle donat.

La paràbola és el lloc geomètric dels punts equidistants d'un punt i una recta donats, anomenats respectivament focus i directriu.

L’el·lipse és el lloc geomètric dels punts la suma de distàncies dels quals a dos punts donats (focus) és constant (eix major).

Teorema de Thales: Si dues rectes (no paral·leles) es tallen per un sistema de rectes paral·leles, els segments determinats pels punts d’intersecció sobre una d’elles són proporcionals als segments respectius determinats sobre l’altra recta.

Ja es veu que si les dues rectes són paral·leles, en ser tallades per un sistema de rectes paral·leles, els segments determinats en una i altra recta seran respectivament iguals.

Construcció gràfica de la quarta proporcional a tres segments donats, a, b i c: a/b = c/x

Divisió d’un segment en parts proporcionals a diversos segments donats.

Determinació de punts d’una recta per la seva raó de distàncies a dos punts donats de la mateixa recta.

Això s’expressa mitjançant la relació
Quaterna harmònica: Donats dos punts A i B d’una recta, es diu que formen quaterna harmònica amb altres dos punts X i X’, un interior al segment AB i un altre exterior, quan les raons de les distàncies dels punts X i X’ als punts A i B són iguals (i de signe contrari si es té en compte l’orientació dels segments). Això s’expressa mitjançant la relació (XA:XB) / (X’A:X’B) = -1

Com que si (XA:XB) = - (X’A:X’B) també (XA:X’A) = - (XB:X’B), resulta que si els dos punts A i B separen harmònicament els punts X i X’, també els punts X i X’ separen harmònicament els punts A i B. És a dir que la separació harmònica de dues parelles de punts és recíproca.

Construcció gràfica de la quaterna harmònica.

La qualitat de quaterna harmònica entre 4 punts d’una recta és una propietat invariant en qualsevol sèrie de projeccions i seccions.

Una propietat de les quaternes harmòniques: Si 4 punts AXBX' formen una QH i des d'un punt O es veu el segment AB sota un angle recte, la recta OB és bisectriu de l'angle XOX' i la recta OA n'és la bisectriu exterior.

Dit d'altra manera, qualsevol recta talla dues rectes i les bisectrius dels angles que formen, formant una QA.

Per tant, per trobar X' també podem traçar la circumferència de diàmetre AB, des d'un punt qualsevol (O) tracem OX i després OX' formant el mateix angle XOB però a l'altra banda.

Circumferències que passen per 2 punts: Es diu que formen un feix de circumferències. Ja es veu que totes tenen el centre en la mediatriu del segment format pels dos punts.

Traçat de la circumferència que passa per 3 punts
Traçat de la circumferència que passa per 3 punts. Ja es veu que es tracta de traçar la circumferència circumscrita a un triangle.

Concepte de recta (i línia) secant o tangent a una corba
Concepte de recta (i línia) secant o tangent a una corba. Tal com mostra la figura, la tangent, igual com la secant, té dos punts de contacte amb la corba.

Angle de dues corbes secants: Es defineix com a l'angle que formen les respectives tangents en el punt d'intersecció.

Circumferències ortogonals: Són les que es tallen en angle recte = que en els punts d'intersecció les respectives tangents són perpendiculars.

Cada una d'aquestes tangents passa pel centre de l'altra circumferència, de manera que: d2 = r2 + r'2. Una propietat de les circumferències ortogonals: Qualsevol recta que passi pel dentre d'una circumferència determina una quaterna harmònica entre els punts d'intersecció amb ella mateixa i amb qualsevol altra circumferència ortogonal a la primera.

Traçat de la tangent a una circumferència en un punt de la pròpia circumferència.

Traçat de les tangents a una circumferència des d'un punt exterior.

Una altra construcció, una mica més complicada que l'anterior basada en el gir.

Traçat de les rectes tangents a dues circumferències.

Traçat d'una circumferència de radi donat i tangent a una altra en un punt.

Traçat d'una circumferència amb centre en un punt i tangent a una altra circumferència.

Determinació d'una o diverses circumferències per condicions de pas o tangència.
Aquestes condicions de pas o tangència poden donar lloc a 10 problemes diferents, alguns dels quals ja els hem vistos i resolts anteriorment: 3 punts // 3 rectes // 2 punts i 1 recta // 2 punts i 1 circumferència // 1 punt i 2 rectes // 1 punt, 1 circumferència i 1 recta // 1 punt i 2 circumferències // 2 rectes i 1 circumferència // 1 recta i 2 circumferències // 3 circumferències (problema d'Apol·loni).

El nombre de solucions possibles als problemes enunciats és aquest:
ppp (1) // rrr (4) // ppr (2) // ppc (2) // prr (2) // pcr (4) // pcc (4) // rrc (8) // rcc (8) // ccc (8). No resoldrem pas ara tots aquests casos perquè només estem fent un repàs elemental a la geometria mètrica, i perquè alguns requereixen l'ús de mètodes i propietats que encara no hem estudiat.

Els dos primers casos ja els hem resolts fa temps, i corresponen a construir les circumferències circumscrita i inscrita a un triangle.

A mesura que anem estudiant noves propietats de la circumferència i nous mètodes emprats en geometria, veurem com a exemple la solució d'alguns d'aquests casos pendents, p. ex. els casos prr (punt-recta-recta), ppc (punt-punt-circumferència), ppr (punt-punt-recta) i prc (punt-recta-circumferència).

Potència d'un punt respecte a una circumferència
Potència d'un punt respecte a una circumferència. Aquest concepte parteix de la següent propietat: Si des d'un punt qualsevol es traça diferents secants a una circumferència, el producte dels segments determinats pel punt i els dos punts d'intersecció amb la circumferència és constant. Aquest producte s'anomena potència del punt respecte a la circumferència.

Aquesta propietat permet trobar una altra manera de construir gràficament la mitjana proporcional a dos segments donats.

De més a més, resulta que el lloc geomètric dels punts de tangència de les tangents traçades des d'un punt A a totes les circumferències que passen per dos punts B i C, alineats amb A, és una circumferència amb centre a A i radi AD.

Tornant a la potència i tenint en compte l'orientació dels segments resulta:
Si el punt és exterior, P > 0 Si el punt és interior, P < 0 Si el punt pertany a la circumfèrència, P = 0

També resulta que P = d2 - r2 i que
P = (segment de tangent del punt a la circumferència)2.

En la construcció anterior hem vist que la circumferència de centre A i radi AD és ortogonal a totes les circumferències que passen pels punts A i B. Si en lloc del punt A prenem un altre punt A' sobre la mateixa recta ABC, obtindrem com a lloc geomètric dels punts de tangència una altra circumferència de radi A' D '. Aquesta nova circumferència també és ortogonal a totes les circumferències que passen pels punts A i B.

El punt A, A', etc. pot adoptar infinites posicions sobre la recta ABC, i per a cada una d'elles podrem obtenir una circumferència que serà ortogonal a les infinites circumferències que passen pels dos punts B i C. Per tant, es tracta de dos feixos d'infinites circumferències cada un, de manera que totes i cada una de les circumferències d'un feix són ortogonals a totes i cada una de les circumferències de l'altre feix.

En un d'aquests dos feixos, totes les circumferències són secants entre si en els mateixos punts B i C, mentre que les circumferències de l'altre feix no són secants entre si.

Ara ja podem resoldre el problema de traçar una circumferència que passi per dos punts i que sigui tangent a una recta.

I també resolem el traçat de la circum-ferència que passa per dos punts i que és tangent a una altra circum-ferència.

Eix radical de 2 circumferències: És el lloc geomètric dels punts amb igual potència respecte a les 2 circumferències. Aquest lloc geomètric és una recta. Si les dues circumferències són exteriors, l'eix radical passa pel punt mitjà de les tangents comunes.

Si les dues circumferències són tangents, l'eix radical és la tangent comuna.
Si les dues circumferències són secants, l'eix radical és la recta que passa pels dos punts d'intersecció.

Si una circumferència és interior a l'altra, cal construir l'eix radical mitjançant una circumferència auxiliar secant a totes dues.

Una propietat dels feixos de circumferències: Totes les circumferències d'un feix tenen el mateix eix radical. Si les circumferències són secants, tenen com a eix radical la recta que passa pels dos punts d'intersecció (això ja ho havíem dit abans). Si no són secants, tenen com a eix radical l'eix vertical de la figura. Així doncs, un feix de circumferències es caracteritza per a/ tenir els seus centres sobre una mateixa línia recta, i b/ tenir el mateix eix radical. Per tant, també es pot dir que un feix de circumferències pot venir determinat, a/ per dos punts, o bé b/ per una circumferència i una recta (eix radical).

Centre radical de 3 circumferències: És el punt d'intersecció dels 3 eixos radicals corresponents a cada parell de circumferències.

Divisió àuria d'un segment: Un punt X divideix el segment AB segons la divisió àuria quan és mitjana proporcional entre el segment menor XB i el segment total AB. Però primer recordem (en dos exemples) una de les tres construccions de la mitjana proporcional de dos segments que hem vist anteriorment i vegem què passa segons la situació del punt X.

Hem de trobar una situació del punt X, tal que la mitjana proporcional entre el segment total i el segment petit sigui igual al segment gran.

També el segment menor XB és secció àuria del segment major XA (i així successivament).

Si ho calculem analíticament resulta l'equació de 2n grau,
x2 + x - 1 = 0 El seu valor és (5 -1)/2 del segment total = 0,

Construcció gràfica del segment auri a partir del segment total com a valor (5-1)/2

Construcció gràfica del segment total a partir del segment auri.

b/ sense saber el seu radi.
A constinuació resoldrem alguns problemes amb circumferències i estudiarem algunes de les seves propietats. Un primer problema seria, com trobar el centre d'una circumferència, si aquest centre se'ns ha esborrat i no sabem on és? a/ sabent el seu radi. b/ sense saber el seu radi.

(tot i que primer ens hauríem de preguntar si és possible tenir una circumferència sense saber on és el seu centre). Què us sembla?

Circumferències que passen per 2 punts: Es diu que formen un feix de circumferències. Ja es veu que totes tenen el centre en la mediatriu del segment format pels dos punts.

Traçat de la circumferència que passa per 3 punts.
Ja es veu que es tracta de la circumferència circumscrita a un triangle.

Concepte de recta (i línia) secant o tangent a una corba.
Tal com mostra la figura, la tangent, igual com la secant, té dos punts de contacte amb la corba.

Angle de dues corbes secants: Es defineix com a l'angle que formen les respectives tangents en el punt d'intersecció.

Circumferències ortogonals: Són les que es tallen en angle recte = que en els punts d'intersecció les respectives tangents són perpendiculars.

Cada una d'aquestes tangents passa pel centre de l'altra circumferència, de manera que: d2 = r2 + r'2. Una propietat de les circumferències ortogonals: Qualsevol recta que passi pel dentre d'una circumferència determina una quaterna harmònica entre els punts d'intersecció amb ella mateixa i amb qualsevol altra circumferència ortogonal a la primera.

Traçat de la tangent a una circumferència en un punt de la pròpia circumferència.

Traçat de les tangents a una circumferència des d'un punt exterior.

Una altra construcció, una mica més complicada que l'anterior basada en el gir.

Traçat de les rectes tangents a dues circumferències.

Traçat d'una circumferència de radi donat i tangent a una altra en un punt.

Traçat d'una circumferència amb centre en un punt i tangent a una altra circumferència.

Determinació d'una o diverses circumferències per condicions de pas o tangència.
Aquestes condicions de pas o tangència poden donar lloc a 10 problemes diferents, alguns dels quals ja els hem vistos i resolts ara fa un moment: 3 punts // 3 rectes // 2 punts i 1 recta // 2 punts i 1 circumferència // 1 punt i 2 rectes // 1 punt, 1 circumferència i 1 recta // 1 punt i 2 circumferències // 2 rectes i 1 circumferència // 1 recta i 2 circumferències // 3 circumferències (problema d'Apol·loni).