Unitat 5: Expressions algebraiques

Presentación del tema: "Unitat 5: Expressions algebraiques"— Transcripción de la presentación:

1 Unitat 5: Expressions algebraiques

2 Llenguatge algebraic Una expressió algèbrica és una sèrie de lletres que representen nombres (valors que no coneixem), aquetes lletres les anomenem VARIABLES En el llenguatge matemàtic s’utilitzen moltes vegades les lletres com a substituts dels nombres. Cal tenir present: Les lletres més utilitzades són: x i y , s’anomenen incògnites Exemples: 3 · ( x +y) 2y + 4x2

3 Exemples d’expressions algèbriques
Un nombre més quinze: Deu menys el doble d’un nombre: El quadrat d’un nombre més el seu doble: La suma d’un nombre i el triple d’un altre: La meitat d’un nombre: Les tres quartes parts d’un nombre: Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre:

4 Exemples d’expressions algèbriques
Un nombre més quinze: x + 15 Deu menys el doble d’un nombre: 10 – 2a El quadrat d’un nombre més el seu doble: y2 + 2y La suma d’un nombre i el triple d’un altre: a + 3b La meitat d’un nombre: a/2 Les tres quartes parts d’un nombre: 3b/4 Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre: 0,073 x

5 Escull l’expressió algebraica en de cas

6 Valor numèric El valor numèric d’una expressió algèbrica és el nombre obtingut en substituir les lletres que hi apareixen per nombres determinats. 3x + 1 Si x = =7 Si x = = 1 Si x = (-1) + 1 = = -2 Si x = ½

7 Troba els valors numèrics de:

8 Termes, coeficient i part literal
Anomenem terme o monomi d’una expressió algèbrica cada bloc de nombres i lletres separats pels signes de suma o resta En aquesta expressió tenim 4 termes: Cada terme pot tenir dues parts: coeficient i part literal

9 Monomis Anomenem grau d’un monomi a la suma dels exponents de la seva part literal

10 Operacions amb expressions algèbriques
Sumes i restes: La suma i la resta d’expressions algèbriques, només es poden sumar i restar els termes semblants Dos termes (dos monomis) són semblants si les seves parts literals són iguals Procediment: Es sumen o resten els coeficients dels termes semblants. Es deixa la mateixa part literal 2a + 4a = a+a+a+a+a+a = 6a 5x – 2x = 3x 2a + 3b + 3a - b= 5a + 2b

11

12 Sumes i restes de monomis

13 Operacions amb expressions algèbriques
La multiplicació o la divisió d’una expressió algèbrica sempre es pot efectuar encara que els termes no siguin semblants. Procediment: Multiplicarem o dividirem els signes tenint en compte la regla dels signes Multiplicarem o dividirem els coeficients Multiplicarem o dividirem la part literal Recordatori: xm · xn = xm+n Recordatori: xm : xn = xm-n

14 Exemples de multiplicacions
3a · 4a = 4x2: 2x= 4x · 5y3 = -5x3 · 2x2= 2x · 3x4 · 10x3= 15xy2 · (-5y) = 10 y2 : 15 xy2 =

15 Solucions 3a · 4a = 12a2 4x2:2x= 2x1 4x · 5y3 = 20 xy3
15xy2 · (-5y) = -75xy3 10 y2 : 15 xy2 = 20 x-1

16 Propietat distribuiva
Encara que no hi hagi el signe de multiplicació, quan tenim un nombre davant d’un parèntesis, està multiplicant als termes de dins els parèntesis. Exemples: 4 (x + 5y) = 4x + 20y a (b + c) = a·b + a·c a (b - c) = a·b - a·c 2x (3x +x) = 6x2 + 2x2

17 Polinomis La suma de diversos monomis no semblants és un polinomi. El grau més gran de tots els monomis s’anomena grau del polinomi. Exemple anterior : grau 3 Si un dels monomis o termes no té part literal s’anomena terme independent. Ex anterior: 9 Anomenem als polinomis amb una lletra majúscula i entre parèntèsis les variables. Ex anterior: P (x)

18 Suma i resta de polinomis
Per sumar o restar dos monomis operem amb els monomis semblants Exemple: P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 6 i Q(x) = 5x3 - 2x2 + 8x + 7 Suma de P(x) + T(x) Resta de P(x) - T(x)

19 Altres exemples P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 i Q(x) = 6x3 + 8x +3 P(x) + Q(x)= P(x) – Q(x)=

20 Exercicis de sumes i restes de polinomis

21 Multiplicació d’un polinomi
(5x+11)·(x3+2x2+4) = 5x4 + 10x3+20x+11x3+22x2+44 = 5x4 +21x3 +22x2 +44

22 Exercicis de multiplicacions de polinomis

23 Factor comú 5·a +5·b = x + x2 = 3x +3y + 3z = 6bx + 6by =
El factor comú és l’inversa de la propietat distributiva 5·a +5·b = x + x2 = 3x +3y + 3z = 6bx + 6by = 2x4 +12x3+18x= 12x3 -3x= 12x3 +12x2+3x-1= 3z z -12= 4xy4 +12xy3+24xy=

24 Factor comú El factor comú és l’inversa de la propietat distributiva
5·a +5·b = 5 · (a + b) x + x2 = x · (1 + x) 3x +3y + 3z = 3 ( x + y + z) 6bx + 6by = 6b ( x + y) 2x4 +12x3+18x= 2x ( x3 + 4x2 + 9) 12x3 -3x= 3x (4x2 - 1) 12x3 +12x2+3x-1= no puc

25 Productes notables Quadrat d’una suma (a + b)2 Demo
El quadrat d’una suma és igual el quadrat del primer, més el quadrat del segon més el doble del primer pel segon (a + b)2 = a2 + b2 + 2·a·b Quadrat d’una diferència (a - b)2 Demo El quadrat d’una diferència és igual el quadrat del primer, més el quadrat del segon menys el doble del primer pel segon (a - b)2 = a2 + b2 - 2·a·b

26 Productes notables Suma per diferència (a + b) · ( a – b)
El producte d’una suma per diferència és igual al quadrat del primer menys el quadrat del segon. (a + b) · ( a – b) = a2 - b2

27 Simplificació

28 Resolució d’equacions sense parèntesis:
Passos a seguir per resoldre equacions Exemple: 3x + 1 = -x + 9 Agrupem a un costat els termes que portin x i a l’altre costat els termes independents (termes sense x) Per passar d’un costat a l’altra de la igualtat canviarem els termes de signe 3x + 1 = -x + 9 3x + x = Reduïm els termes semblants 4x = 8 Aïllem la incògnita x = 8/4 Obtenim el resultat x = 2

29 Exercicis x + 3 = 5 x – 4 = 8 x – 12 -3 =10 2x + 6 = x + 10
Enllaç per practicar Un cop tenim el resultat hem de fer la comprovació.

30

31 Resolució d’equacions amb parèntesis:
Passos a seguir per resoldre equacions amb parèntesis: Exemple: 2(x – 2) + 3(x-3) = 2 – 2(2x -1) +13 Suprimim els parèntesis 2x – 4 + 3x - 9 = 2 – 4x Agrupem a un costat els termes que portin x i a l’altre costat els termes independents (termes sense x) 2x + 3x +4x = Reduïm els termes semblants 9x = 30 Aïllem la incògnita x = 30/9 Obtenim el resultat x = 10/3

32 Resolució d’equacions amb denominadors
Passos a seguir per resoldre equacions amb fraccions: Multipliquem els dos membres pel mínim comú múltiple dels dos denominadors m.c.m. (3, 4) =12

33 Resolució de problemes
Lectura atenta de l'enunciat En sumar 37 al doble d’un nombre, obtenim 97. De quin nombre es tracta? Elecció de la incògnita Nombre que no coneixem =x Plantejament de l’equació 2 x + 37 = 97 Resolució de l’equació 2x= 97 – 37 2x = 60  x=60/2=30 Resposta El nombre és 30 Comprovació 2· = 60+37=90 Correcte!

34 Resolució de problemes
Lectura atenta de l'enunciat Un pare té 33 anys i el seu fill 8. Al cap de quants anys l’edat del pare serà el doble que la del seu fill? Elecció de la incògnita Anys que transcorren =x Ara: pare=33 i fill=8 Passat x anys: pare = 33 + x fill= 8 + x Plantejament de l’equació 33 + x = 2 . (8 + x) Resolució de l’equació 33 + x = 16 +2x -x =  x=17 Resposta Al cap de 17 anys Comprovació 33+17=50 i 2·(8+17)= 2·25=50 Correcte!

35 Resolució de problemes
Lectura atenta de l'enunciat Un ciclista recorre la distància que separa dues ciutats en tres etapes. Primer recorre un terç del trajecte; en la segona, un quart i en la tercera, els 35 km restants. Quants km separen les dues ciutats? Elecció de la incògnita km totals entre les dues ciutats =x 1ª etapa 1/3·x 2ª etapa ¼·x 3ª etapa 35 km Plantejament de l’equació Resolució de l’equació Resposta 84km Comprovació 1/·84+ ¼· = = 84 Correcte!

36 Resolució de problemes
Lectura atenta de l'enunciat Un camió surt d’una ciutat a una velocitat de 80km/h i, dues hores més tard, surt un cotxe de la mateixa ciutat a 120km/h. Quant es trobarà el cotxe i el camió? Elecció de la incògnita Temps que ha passat des que surt el cotxe fins que es troba el camió =x Temps camió 2· x Temps cotxe 120x Plantejament de l’equació 2· x = 120x Resolució de l’equació x=120X 80x – 120x =-160 -40x =-160  x = 4 Resposta 4 hores Comprovació 2· ·4 =120·4  =480 Correcte!