@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO1 PROPORCIONALIDAD U.D. 7 * 1º ESO.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO1 PROPORCIONALIDAD U.D. 7 * 1º ESO

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO2 REPARTOS PROPORCIONALES U.D. 7.4 * 1º ESO

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO3 Si dos magnitudes son directamente proporcionales se cumple: a b --- = --- = r, siendo r la llamada razón de proporcionalidad. a’ b’ Si desconocemos el valor de b o de b’ ya hemos visto que podemos emplear la Regla de tres simple directa para determinarlo. a  b a.x = a’ · b’  x = a’ · b’ / a a’  x Pero además, si dos magnitudes son directamente proporcionales, y conocemos la suma o total de una de ellas, y los valores que toma la otra, podemos calcular todos los valores de la primera. Eso se conoce como Repartos proporcionales. Por ejemplo, repartir una cantidad de dinero, S, entre varias personas, de manera directamente proporcional a las horas trabajadas, a, b, c, … Repartos proporcionales

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO4 PROPIEDAD Si dos magnitudes son directamente proporcionales se cumple siempre que la suma o resta de cantidades siguen siendo directamente proporcionales. a b a+ b --- = --- = r  ------- = r a’ b’ a’+b’ a b --- = r  a = a’.r ; ----- = r  b = b’.r a’ b’ a + b a’.r + b’.r r.( a’ + b’ ) a’ + b’ -------- = --------------- = ---------------- = r. ------------- = r a’+ b’ a’+ b’ a’ + b’ a’ + b’ Propiedad de proporcionalidad

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO5 Una persona gana 8 € si trabaja 2 horas, 12 € si trabaja 3 horas, 16 € si trabaja 4 horas, etc. Magnitud “Ganancias”8  12  16 Magnitud “Horas trabajo”2  3  4 8+12 20 ------ = ----- = 4 2+3 5 12+16 28 --------- = ---- = 4 3+4 7 8+12+16 36 ------------- = ---- = 4, como vemos es un valor constante 2+3+ 4 9 Aplicación de la Propiedad

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO6 Hemos visto que se cumple en las magnitudes D. P.: a b c a+ b+c --- = --- = --- = ------------- = r a’ b’ c’ a’+b’+c’ Como: a a+ b+c a+b+c --- = ------------  a = a’. ----------- = a’.r a’ a’+b’+c’ a‘+b’+c’ En problemas de reparto nos suelen dar la cantidad total a repartir (S=a+b+c) y las cantidades directamente proporcionales (a’,b’,c’), quedando: S S S a = a’. -----------,, b = b’. ------------,, c = c’. ------------- a’+b’+c’ a’+b’+c’ a’+b’+c’ Repartos Directamente Proporcionales

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO7 EJEMPLO_1 Una madre reparte 60 € entre sus tres hijos, en razón directamente proporcional al número de semanas que la han ayudado en las tareas caseras, que han sido de 3,4 y 5 respectivamente. ¿Cuánto les ha correspondido a cada uno?. Aplicando la propiedad indicada arriba, tenemos: a b c a + b + c 60 --- = --- = --- = ------------- = ----- = r 3 4 5 3 + 4 + 5 12 Como r =60/12 = 5 a = 3.r = 3.5 = 15 b= 4.r = 4.5 = 20 c= 5.r = 5.5 = 25 Repartos Directamente Proporcionales

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO8 EJEMPLO_2 Un profesor de matemáticas reparte puntos extras entre cuatro alumnos que han buscado y solucionado problemas originales, en cantidad de 2, 4, 5 y 7 problemas respectivamente. Si al alumno que resolvió 4 problemas le correspondieron 0,75 puntos, ¿cuánto les ha correspondido a cada uno y cuántos puntos repartió en total?. Aplicando la propiedad, tenemos: a 0,75 c d S --- = ------- = --- = ------ = --- = r 2 4 5 7 18 Como r =0,75/4 = 0,1875 a = 2.r = 2.0,1875 = 0,375 c= 5.r = 5.0,1875 = 0,9375 d= 7.r = 7.0,1875 = 1,3125 S = 18.r = 18.0,1875 = 3,375 Repartos Directamente Proporcionales

9 Relojes (I) @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO9

10 Relojes (II) @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO10

11 Relojes (y III) @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO11