@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO1 U.D. 3 * 1º ESO DIVISIBILIDAD.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO1 U.D. 3 * 1º ESO DIVISIBILIDAD

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO2 U.D. 3.7 * 1º ESO MÁXIMO COMÚN DIVISOR

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO3 Máximo común divisor: MCD MAXIMO COMUN DIVISOR de dos o más números, es el mayor de los divisores comunes. Se forma tomando los factores comunes a todos los números con el menor exponente que presenten. Ejemplo: Hallar el MCD de los números 18 y 24 Factorizamos los números: 18 = 2.3 2 24 = 2 3.3 Tomamos los factores comunes ( 2 y 3 ) con el menor exponente que presente cada uno ( 1 y 1 respectivamente ) Luego: MCD (18,24) = 2.3 = 6 El 6 es el mayor de los divisores que tienen en común.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO4 MCD Verificamos la solución: Factorizamos los números: 18 = 2.3 2 24 = 2 3.3 Los divisores de 18 son { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } Los divisores de 24 son { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } Los divisores comunes son { 1, 2, 3, 6 } El 6 es el mayor de los divisores que tienen en común. Se cumple: 18 = 3.6 24 = 4.6 Los factores 3 y 4 deben ser primos entre sí.

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO5 MCD Ejemplo práctico: Dos cuerdas miden 18 y 24 cm. Y deseamos cortarlas en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. Hallamos el mcd de los números 18 y 24 Como ya hemos visto es 6 Es el mayor de los divisores comunes. Dividimos 18:6 = 3 trozos se obtienen de la cuerda de 18 cm Dividimos 24:6 = 4 trozos se obtienen de la cuerda de 24 cm En total tendremos 3+4 = 7 trozos de 6 cm cada uno.

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO6 MCD Ejemplo práctico: Dos cuerdas miden 18 y 24 cm. Y deseamos cortarlas en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. En total tendremos 3+4 = 7 trozos de 6 cm cada uno. 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm 18 cm 24 cm

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO7 Otro ejemplo práctico: Tres libros tienen 120, 150 y 180 hojas cada uno. Deseamos cortarlos y formar fascículos con la misma cantidad de hojas cada uno, de forma que esa cantidad sea la mayor posible. Hallamos el mcd de los números 120, 150 y 180 Factorizamos 120 = 2 3.3.5 Factorizamos 150 = 2.3.5 2 Factorizamos 180 = 2.3 2.5 Tomamos factores comunes con el menor exponente: Mcd = 2.3.5 = 6.5 = 30 Dividimos 120:30 = 4 fascículos de 30 hojas cada uno. Dividimos 150:30 = 5 fascículos de 30 hojas cada uno. Dividimos 180:30 = 6 fascículos de 30 hojas cada uno. En total tendremos 4+5+6 = 15 fascículos de 30 hojas cada uno.

8 Algoritmo de Euclides El Algoritmo de Euclides se emplea para hallar el máximo común divisor de dos números enteros. Al dividir “a” entre “b” (números enteros), se obtiene un cociente y un residuo. Para calcular el máximo común divisor de 24 y 18 se puede hacer así: El Máximo común divisor es 6, el último residuo que no es cero, 0 Para calcular el máximo común divisor de 102 y 27 se puede hacer así: El Máximo común divisor es 3, el último residuo que no es cero, 0. @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO8 1 24 dividido entre 18 es 1 y sobran 6 2 18 dividido entre 6 es 3 y sobran 0 1 102 dividido entre 27 es 3 y sobran 21 2 27 dividido entre 21 es 1 y sobran 6 3 21 dividido entre 6 es 3 y sobra 3 4 6 dividido entre 3 es 2 y sobra 0

9 Algoritmo de Euclides Para calcular el máximo común divisor de 354 y 81 se puede hacer así: El Máximo común divisor es 3, el último residuo que no es cero, 0 Para calcular el máximo común divisor de 3000 y 2100 se puede hacer así: El Máximo común divisor es 300, el último residuo que no es cero, 0. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 9 1 24 dividido entre 18 es 1 y sobran 6 2 18 dividido entre 6 es 3 y sobran 0 1 354 dividido entre 81 es 4 y sobran 30 2 81 dividido entre 30 es 2 y sobran 21 3 30 dividido entre 21 es 1 y sobra 9 4 21 dividido entre 9 es 2 y sobra 3 5 9 dividido entre 3 es 3 y sobra 0 1 3000 dividido entre 2100 es 1 y sobran 900 2 2100 dividido entre 900 es 2 y sobran 300 3 900 dividido entre 300 es 3 y sobra 0

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 1º ESO10 Relación MCM y MCD PROPIEDAD: Sean A y B dos números naturales cualesquiera. Siempre se cumple: A.B = MCM.MCD Veamos con un ejemplo: MCM (18 y 24) = 72 MCD (18 y 24) = 6 18.24 = 72.6 432 = 432 Hemos comprobado que se cumple la propiedad mencionada.