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@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 4 * 3º ESO E.AC. Polinomios.

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Presentación del tema: "@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 4 * 3º ESO E.AC. Polinomios."— Transcripción de la presentación:

1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 4 * 3º ESO E.AC. Polinomios

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 U.D. 4.8 * 3º ESO E.AC. RESTO, RAÍZ Y FACTOR DE UN POLINOMIO

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 TEOREMA DEL RESTO TEOREMA DEL RESTO El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a), es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el valor de a. R=P(a) Si el binomio es de la forma (x + a), sustituiremos la x por ‑ a. Demostración Al dividir P(x) entre (x – a), como el divisor (x – a) es de grado uno, el resto debe ser de grado menor que uno, o sea cero. El resto pues es un número. En toda división: Dividendo = divisor x cociente + resto P(x) = (x – a).C(x) + R Si x=a entonces (x – a) = (a – a) = 0 y queda: P(a) = R

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 Ejemplo 1 Ya hemos visto al hacer la división: ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x - 3 ), que el resto es 58 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(3)= 3 3 + 4.3 2 - 5 = 27 + 36 – 5 = 58 Ejemplo 2 Ya hemos visto al hacer la división: ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(-5)= (-5) 3 + 4.(-5) 2 - 5 = -125 + 100 – 5 = - 30 Ejemplo 3 Ya hemos visto al hacer la división: ( 4.x 3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(-2)= 4.(-2) 3 + 5.(-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45 EJEMPLOS

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 RAIZ DE UN POLINOMIO RAÍZ DE UN POLINOMIO Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que es una raíz del polinomio. P(x) = (x – a).C(x) + R Si R=0  P(x) = (x – a).C(x) A tener en cuenta: Si un polinomio es de grado n, tendrá como máximo n raíces reales. Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz real. Si un polinomio es de grado par tendrá 0, 2, 4, … raíces reales; o ninguna o un número par de raíces.

6 RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Sea P(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d Donde a, b, c y d son números enteros. Se debe cumplir, si r es una raíz de P(x): a.r 3 + b.r 2 + c.r + d = 0 r.(a.r 2 + b.r + c) = - d Vemos que r es un factor de – d O sea, que r es un divisor entero de d. Si el polinomio P(x) no presenta término independiente, x=0 será una raíz o solución de la ecuación P(x) = 0

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 TEOREMA DEL FACTOR El polinomio P(x) es divisible entre el binomio (x – a) si x=a es una raíz del polinomio P(x). Demostración Por el Teorema del Resto tenemos que: R = P(a) Si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(a) = 0 Luego si a es una raíz de P(x), el resto R es 0, y entonces P(X) es divisible entre (x – a). Aplicación: Factorización de polinomios Si P(x) es divisible entre (x – a) podemos poner: P(x) = (x – a). C(x) Siendo C(x) el cociente (polinomio) de la división. De esta forma P(x) ha quedado factorizado, ha quedado como producto de factores. Por tanto (x – a) es un factor de P(x).

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Ejemplo 1 P(x) = 3.x 3 + 4.x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(3.x 2 + 4 ) Ejemplo 2 P(x) = 4.x 4 - 9.x 2  Extraemos factor común a x P(x) = x.(4.x 3 - 9.x ) = x 2 (4.x 2 - 9 ) = x 2 (2.x + 3 ) (2.x - 3 ) Ejemplo 3 P(x) = x 2 – 6.x + 9 = (x – 3) 2 = (x – 3).(x – 3) Ejemplo 4 25 – x 2 = (5 + x ). ( 5 – x )

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 Ejemplo 5 Factorizar: P(x) = x 3 - 4.x 2 + 2.x + 1 Por el Teorema del Resto: P(1) = 1 – 4 + 2 + 1 = 0 Como P(1) =0  x = 1 es una raíz de P(x) y por tanto (x – 1) es un factor de P(x) Dividimos P(x) entre (x – 1) por la Regla de Ruffini: 1 - 4 2 1 1 1 -3 -1 ------------------------------------- 1 -3 -1 0 Luego P(x) = (x – 1).(x 2 – 3.x – 1) Y ya estaría factorizado P(x). Nota: Si el cociente de la división, (x 2 – 3.x – 1), tiene más raíces, habría que seguir factorizando.

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 Ejemplo 6 Factorizar: P(x) = x 3 - 6.x 2 + 11.x – 6 Por el Teorema del Resto: P(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 0 Como P(1) =0  x = 1 es una raíz de P(x) y por tanto (x – 1) es un factor de P(x) Dividimos P(x) entre (x – 1) por la Regla de Ruffini: 1 - 6 11 - 6 1 1 - 5 6 ------------------------------------- 1 - 5 6 0 Luego P(x) = (x – 1).(x 2 – 5.x + 6) Y ya estaría factorizado P(x). Pero el cociente, C(x) = (x 2 – 5.x + 6), tiene más raíces, x=2 y x=3, por lo cual quedaría: P(x) = (x – 1).(x – 2).(x – 3)


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