Fundamentos de Control

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1 Fundamentos de Control
Realimentado Clase 21 – 22 Versión Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007

2 Compensación dinámica con
2 Compensación dinámica con Lugar de las Raíces Contenido: Compensación dinámica Compensador de adelanto (Lead) Compensador de atraso (Lag) Compensador de banda estrecha (Notch) Diseños de Sistemas de Control con compensadores empleando LR

3 3 cdsxccx Objetivo En el Diseño de un Sistema de Control existe una fase previa al Diseño del Controlador que se llama: Compensación Dinámica Esta fase consiste en darle a la planta características dinámicas más adecuadas para facilitar el diseño del futuro controlador Por ejemplo: una cierta amortiguación, más rapidez, menos sensibilidad paramétrica, etc. Esta compensación se realiza sobre la planta y se juzga su efecto con un simple controlador proporcional. La compensación dinámica usa 3 estructuras básicas: Compensador de adelanto de fase (lead) Compensador de atraso de fase (lag) Compensador de banda estrecha (notch).

4 Estructura del Compensador
4 cdsxccx Estructura del Compensador s -4 -6 -5 4 2 6 -2 -2.5 jw Comp. de adelanto de fase w0 s+p Dlead(s) = K s+z z=sen q q (Aplicación: para mejorar el transitorio) -p -z Comp. de atraso de fase -wo -z -p s+p Dlag(s) = K s+z (Aplicación: para mejorar el ee) -w0 Comp. de banda estrecha (s+0)2 Dnotch(s) = s2+2z0s+02 Todos tienen grado relativo igual a cero (FT bipropias) (Aplicación: para suprimir dinámicas parciales que son oscilantes indeseables)

5 Intervalos típicos donde actúa cada compensador dinámico
cdsxccx 4 2 -2 -4 -6 6 jw s -10 -8 -12 -14 Dinámica oscilante dévilmente amortiguada (compensa esa dinámica en la planta) Intervalos típicos donde actúa cada compensador dinámico z muy bajo wn frecuencia afectada Dinámica rápida (acorta el transitorio de la planta) Dinámica lenta (mejora el estado permanente LEAD LAG NOTCH Intervalos típicos donde actúa cada compensador dinámico 5 4 2 -2 -4 -6 6 jw s -10 -8 -12 -14 wn frecuencia afectada z muy bajo Dinámica lenta (mejora el estado permanente de la planta) LEAD NOTCH LAG Dinámica rápida (acorta el transitorio de la planta) Dinámica oscilante dévilmente amortiguada (compensa esa dinámica en la planta) NOTA: Una característica común de todos ellos es que no producen una distorsión de fase localizada sólo en el intervalo de frecuencias donde actúan.

6 Compensación Dinámica casi-Lead en LR
cdsxccx 6 Compensación Dinámica casi-Lead en LR G(s) = 1 s (s+1) Sea la planta: , y el compensador PD: D(s) = K(s+2) (p esta en -) 4 2 -2 -4 -6 6 jw s Se desea: wn=2 (circunf.) y se verifica que: z0.5 z0.5 wn=2 (tr=1.8/wn) K Se calcula el K según lo esta- blecido en LR, finalizando el diseño Desventaja: D(s) amplifica el ruido del sensor !

7 Diseño de CD con Adelanto (lead)
7 cdsxccx FCR M.Jordan Diseño de CD con Adelanto (lead) G(s) = 1 s (s+1) D(s) = K(s+2) (s+p) Sea la planta: , y el compensador: s jw 6 -6 -4 -2 4 2 -20 -10 -8 -12 -14 -16 -18 Alejamos p hacia la izquierda para entender el desplazamiento de los polos de LC Esta relación p=z equivale al caso sin compensador p=-20 p=-14 p=-12 p=-5 p=-3 p=-13 p=-10 p=-2

8 Compensación Dinámica Lead en LR
8 cdsxccx Compensación Dinámica Lead en LR Una característica de los sistemas con una compensación lead es que pueden existir varias soluciones de diseño de z=cte si z es alto. Mientras que para bajo amortiguamiento la solución es única. s jw 6 -6 -4 -2 4 2 -20 -10 -8 -12 -14 -16 -18 p=-20 p=-13 p=-3 p=-2 p=-5 p=-10 p=-12 p=-14 z=-2 NOTA IMPORTANTE Si se aleja el polo del cero, se atraen los polos del SLC a la zona de buena performance. Una relación adecuada es: p/z ~ 5 Si se aleja demasiado el polo del cero, la repuesta y(t) es más rápida pero irrealizable pues la u(t) sería mucho más intensa y el actuador la recortaría. ~

9 Compensación Dinámica Lead en LR
cdsxccx 9 Compensación Dinámica Lead en LR Analizando el LR, seleccionamos por ej. p=-10 en el CD en adelanto -6 -10 -9 -8 -7 -5 -4 -3 -2 -1 2 4 6 La selección final de K dependerá de otras condiciones, en general: K=48.4,  =0.7, n=6 K=19.4,  =0.7, n=2.2 K=5.4,  =0.7, n=1.0 x

10 Compensación Dinámica Lead en LR
10 cdsxccx Compensación Dinámica Lead en LR 1 2 3 4 5 6 7 8 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 Respuesta escalón Tiempo en seg) K=48.4,=0.7, wn=6 K=5.4,  =0.7, wn=1.0 K=19.4,  =0.7, wn=2.2 El Mp varía aún cuando el  es el mismo. Esto se debe a que el SC tiene además un 3er. polo y un cero  =0.7, n=1.06 Sistema base de 2do. orden  =0.7, n=2.2 Sistema base de 2do. orden  =0.7, n=6.0 Sistema base de 2do. orden Nota: el sistema base es una referencia para el diseño y posee sólo un par de polos complejos conjugados (sin cero y sin polo real)

11 Efecto de un cero en un Sistema Subamortiguado
11 Efecto de un cero en un Sistema Subamortiguado RECORDAR que un sistema dinámico de 2o orden tiene una FT: n2 s2 + 2  n s +n2 G(s) = y el mismo sistema pero con un cero añadido (1/) (s+), tiene una FT que se compone de dos FT’s: n2 s2 + 2  ns +n2  s2 + 2  ns +n2 s n2 1 + Ga(s) = -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 2 4 6 8 10 12 14 Oscilante subamortiguado Con un cero añadido Con un derivador añadido s2 + 2 ns +n2 n2  s n2 s2 + 2  ns +n2 1 Ga(s) (suma de ambos) Conclusión: Un cero dominante, junto al sistema básico, aumentará Mp.

12 Primera Forma de Diseño de CD con lead
12 cdsxccx Primera Forma de Diseño de CD con lead (Especificación de Mp y tr) G(s) = 1 s (s+1) D(s) = K(s+2) (s+10) Sea la planta: , y el compensador: Objetivo del diseño: encontrar K para cumplir las especificaciones: Mp  0.2 y tr  0.23 s e  0.2 Se cumple que: Mp= - pz / 1- z2 z 0. 5 y wn  1.8/0.23 = 7.8 s jw -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 4 6 8 10 Con el LR y el CD: z=0.56 wn=7.7 D(s) = K(s+2) (s+10) 34o Se eligen aproxima- damente: s=-4.3 z=0. 56 wn=7.72 rad/s resultando: s=-4.32 p1= j 6.40 p2= j 6.40

13 Diseño de Compensación Dinámica Lead
13 cdsxccx Diseño de Compensación Dinámica Lead Luego se extrae K=70 empleando el producto de segmentos desde los polos 0, -1 y -10 al polo complejo indicado, dividido por la longitud del segmento del cero en -2. s jw -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 4 6 8 10 s=-4.3 34o z=0.56 K=70 Finalmente se extrae la raíz faltante a través de K=70 empleando el producto de segmentos desde los polos 0, -1 y -10 y el cero en -2 hasta un punto s0 apropiado. Así resulta p3=-2.4.

14 Validación del diseño de CD Lead
14 cdsxccx Validación del diseño de CD Lead Sistema real del diseño Sistema base para el diseño -10 -6 -2 2 6 10 -4 -8 s jw -10 -6 -2 2 6 10 -4 -8 s jw El polo y el cero están muy cerca,  sus efectos se cancelan aproximadamente! Se concluye que el diseño aproximado es bueno! Aunque el cero es dominante y su efecto de derivación aumenta el soprepico!

15 Validación a través de la Respuesta al Escalón
cdsxccx 15 FCR M.Jordan Validación a través de la Respuesta al Escalón 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 tiempo Glc(s) = 70(s+2) s(s+1)(s+10)+70(s+2) Sistema real compensado Desplazando el cero a la izquierda desde z=-2 a z=-2.2 Glc(s) = 59.7 s2+2*0.56* Sistema base NOTA: Si no se está conforme con la respuesta compensada, todavía existe un artilugio para mejorarla, que consiste en desplazar levemente el cero hacia la izquierda. Esto debilita el efecto derivador del cero pues lo acerca más al polo real de LC, tendiendo a una cancelación de efectos.

16 Segunda forma de Diseño con CD Lead
cdsxccx 16 Segunda forma de Diseño con CD Lead (Ruido de Sensor) G(s) = 1 s (s+1) D(s) = K(s+z) (s+p) Sea la planta: , y el compensador de tipo: Especificaciones: se desea un sistema de control con 2 polos en: p1=-3.5 +j p2=-3.5 -j Esto implica: z 0. 5 y wn =7 Mp = e-pz / 1- z2  y 1.8 n tr  y recordando: Se llega a: Mp  20% y tr  0.26 Además, se supone que el sensor produce un ruido de alta frecuencia de intensidad significativa a partir de w =20 rad/s. Cómo se prosigue con el diseño del compensador dinámico?

17 Segunda forma de Diseño con CD de adelanto
17 cdsxccx Segunda forma de Diseño con CD de adelanto Procedimiento de Diseño El polo del compensador de adelanto se fija en p=-w=-20, ya que a partir de esta frecuencia de corte se filtrará el ruido en la realimentación Se razona que si todos los polos y ceros de KDG y también los polos elegidos de KDG/(1+KDG) pertenecen al mismo LR, entonces es válida la Condición de Fase para posicionar el cero z faltante. -10 -6 -2 2 6 10 -20 s jw Con la condición de fase: y =180+f1+f2+f3 s0 se encuentra la posición del cero en z=-5.4 (alejado de -20!) f2 y f3 Quedando el diseño del CD: f1 ? K=127 D(s) = K(s+5.4) (s+20) |s0| |s0 -[-1, 0]T| |s0 -[-20, 0]T| |s0 -(-5.4,0)T| =127 y K=

18 Respuesta al escalón del sistema real y el básico
cdsxccx 18 FCR M.Jordan Respuesta al escalón del sistema real y el básico 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 tiempo Glc(s) = 127(s+5.4) s(s+1)(s+20)+127(s+5.4) Sistema real Sistema final Glc(s) = 49 (s+3.5)2+3.52x3 Sistema base La diferencia es significativa debido a la presencia del cero lejos del 3er polo del SLC Se puede correr el cero a la derecha obligando al las ramas del LR a doblarse más hacia el eje real para bajar Mp. Por ej. se prueba con z=-3 y se reduce Mp a menos del 20% quedando conforme con el diseño final.

19 Resumen de los dos diseños de la CD en adelanto
cdsxccx 19 FCR M.Jordan Resumen de los dos diseños de la CD en adelanto En el PRIMER DISEÑO los pasos son: Primeramente se fijan las especificaciones temporales de y wn (o equivalentemente Mp y tr). Esto genera una zona admisible. Luego se elije un compensador lead con polo y cero (p,z) ubicados a la izquierda de los polos y ceros de la planta (pues se debe agilizar su dinámica mediante esta compensación, es decir mejorar su transitorio). Tal compensador satisface además p/z5. Se grafica el LR con dicho compensador y se intersecta el mismo con una semirecta de  . Si hay varias soluciones se toma el par de polos complejos conjugados con un wn más adecuado para el tr . Se calcula la ganancia K y el 3er polo real. Se grafica la respuesta al escalón y si el sobrepico Mp es intolerable, se desplaza el cero del compensador levemente a la izquierda (para lograr mejor efecto de cancelación si lo hubiera con un polo próximo del SLC) o a la derecha si el cero está aislado y puede doblar más aún las ramas del LR hacia abajo.

20 Resumen de los dos diseños de la CD en adelanto
cdsxccx 20 FCR M.Jordan Resumen de los dos diseños de la CD en adelanto En el SEGUNDO DISEÑO los pasos son: En el segundo diseño no se cuenta con el LR para la planta compensada. Sólo se disponen los polos complejos conjugados deseados. Como existe un problema de ruido en el sensor, se elige el módulo del polo p del compensador igual a la frecuencia donde el espectro del ruido comienza a existir. El cero del compensador se ubica por condición de fase. Con ello el LR es forzado a pasar por estos polos deseados. Se grafica el LR. Se calcula la ganancia K y el 3er polo real. Se grafica la respuesta al escalón y si el sobrepico Mp es intolerable, se desplaza el cero del compensador levemente a la izquierda (para lograr mejor efecto de cancelación si lo hubiera con el polo real del SLC) o a la derecha si el cero está aislado y puede doblar más aún las ramas del LR hacia abajo.

21 Diseño de CD de Atraso (lag)
cdsxccx 21 Diseño de CD de Atraso (lag) D(s) = K(s+z) (s+p) con |z|>|p| Sea un compensador de tipo: Se vio que la inclusión de un compensador en adelanto, mejora el transitorio Por el contrario, la inclusión de una CD con atraso es necesaria cuando el sistema planta (o planta compensada con CD-adelanto) no reúne condiciones apropiadas de estado estacionario (es decir, de baja frecuencia) En general los SC son de Tipo 1. Esto significa que se cumple: e () = lim s s 0 1 1+D(s)G(s) s2 = Kv  0 finito ess= p/señal rampa donde: lim s 0 Kv= s D(s)G(s)

22 Diseño de CD de Atraso (lag)
22 cdsxccx Diseño de CD de Atraso (lag) Si el sistema resulta con una Kv pequeña, se puede transformar a dicho sistema con un compensador de atraso tal que se cumpla: (s+z) (s+p) lim s 0 Kv= s D(s)G(s) > Kv0 siendo Kv0 un valor alto prefijado z p lim s 0 Kv= s D(s)G(s) Para un buen diseño, es suficiente cumplir |z|>>|p| (basta una relación de 3 a 10). De esta manera el seguimiento de rampas es más preciso Para definir z es necesario no alterar la planta compensada previa- mente con un lead, es decir el par z y p del compensador lag deben estar alejados a la derecha del par cero-polo del compensador lead Esto obliga a ubicar el polo p cerca del origen (es decir, un polo muy dominante) a fin de aumentar significativamente la ganancia de baja frecuencia.

23 Diseño de CD de Atraso (lag)
cdsxccx 23 Diseño de CD de Atraso (lag) Sus características de frecuencia son tales que ante entradas sinusoidales, (s+z)/(s+p) produce atraso de fase de su salida. Esta fase en la frecuencia es la fase de su función de transferencia frecuencial en estado permanente: f = tan-1(w/z) – tan-1(w/p) < 0 o para toda w>0 Sin embargo, este desfasaje esta localizado en un intervalo del dominio frecuencial Nuevamente el diseño de este nuevo compensador puede ser estudiado en profundidad con LR. Reveamos el ejemplo anterior de una planta compensada con retraso e impongamos especificaciones en estado estacionario.

24 Diseño de un SC con CD de adelanto/atraso
cdsxccx 24 Diseño de un SC con CD de adelanto/atraso (lead-lag) D(s) = K(s+z) (s+p) G(s) = 1 s (s+1) Sea la planta: , y el compensador de adelanto: que se diseña en base a polos de sistema de lazo cerrado asignados: p1=-3.5 +j Glc(s) = 49 (s+3.5)2+3.52x3 p2= j z 0. 5 Tomando un sistema base, resultan las siguientes especificaciones de diseño: y wn=7 Mp  20% y tr  0.26 También al elegir el polo p del CD de adelanto se tiene en cuenta el ruido de alta frecuencia del sensor a partir de w =20 rad/s. De aquí surge el SC de tipo 1 con compensación de adelanto de fase: Glc(s) = 127(s+5.4) s(s+1)(s+20)+127(s+5.4) (en donde p=-20 y z=-5.4), la que aproximadamente reúne las especificaciones del sistema base.

25 Diseño de un SC con CD de adelanto/atraso
25 cdsxccx Diseño de un SC con CD de adelanto/atraso (lead-lag) Luego se le otorgan propiedades de ee mediante un CD de atraso. La constante de error de velocidad del sistema compensado es: lim s 0 s+5.4 s+20 s 127 1 s(s+1) lim s 0 Kv= s KD(s)G(s) = = 34.3 (es decir, para una entrada rampa con pendiente 1, la salida del SCLC la sigue en ee con pendiente 1, pero retrasada con un error de 0.03). ess= 1/Kv = 0.03 Ahora supongamos que las especificaciones de ee requieren que Kv sea por lo menos 100 (o sea ess  0.01). Diseñamos el CD de atraso para: s+20 s(s+1) s+5.4 KD(s)G(s) = 127 1 s+p) s+z z/p=3 con la elección de: p= z=-0.03 Si bien el polo en p=-0.01 es dominante, su efecto se cancela en transitorios debido a la proximidad del cero z= El efecto es lento pero imperceptible. Además ambos están alejados del valor para   -3.5, que marca la dominancia de los polos complejos conjugados del SCLC.

26 Diseño de un SC con CD de adelanto/atraso
cdsxccx 26 FCR M.Jordan Diseño de un SC con CD de adelanto/atraso (lead-lag) Los LRs de ambos sistemas de control compensados son: 30 -30 -20 -10 20 10 -2 -4 -6 -8 -12 -14 -16 -18 s jw 5x DG(s)lead = 127(s+5.4) s(s+1)(s+20) Lead DG(s)lead-lag = 127(s+5.4)(s+0.03) s(s+1)(s+20)(s+0.01) Lead-lag Prácticamente no se produjo alteración del transitorio, y sí una marcada precisión en el seguimiento a una rampa 5x El polo dominante de la FTLC (es decir, el más cercano a s=0), está muy próximo al cero de la misma FTLC. Con ello el sistema de LC tampoco modifica su transitorio original dada por la CD de adelanto.

27 Diseño de un SC con CD de atraso (lag)
27 cdsxccx Diseño de un SC con CD de atraso (lag) Cuidados en la localización de p y z en la CD de atraso Al elegir p y z muy pequeños, la dominancia de estos es alta, aunque su efecto se compensa (es decir, su contribución en la respuesta temporal transitoria de y(t) es muy baja) Esta contribución del CD perdura mucho tiempo, pues la respuesta componente de su fracción parcial es muy lenta pero es de muy baja intensidad. En la respuesta a una perturbación w, el cero no estará presente y esta lentitud se notará, pues-Y/W=G/(1+GD) y no como en Y/R=GD/(1+GD) En general, si son muy bajos los valores de p y z, el tiempo de estable- cimiento ts se hace muy largo cuando la precisión requerida es alta. En definitiva, su elección resulta de un compromiso entre el objetivo de no alterar demasiado la planta compensada previamente (lead) y, por otro lado, del requerimiento de no causar un excesivo tiempo de establecimiento. Al aumentar z y p demasiado, los polos complejos cerca al eje se alejan, aumentando s y por lo tanto disminuyendo ts.

28 Diseño de CD de banda pasante (notch)
cdsxccx 28 Diseño de CD de banda pasante (notch) Objetivo: El objetivo de una compensación dinámica de banda pasante consiste en filtrar una componente frecuencial no deseada de la dinámica de la planta y de este modo atenuar su efecto indeseado en la respuesta temporal del SCLC. Esta componente está generada por un par de polos complejos conjugados con coeficiente  muy pequeño, y el efecto de la CD-notch es desplazar estos polos lo más posible a la izquierda en el plano complejo s, de tal manera que su efecto en la respuesta temporal pierda intensidad. Este procedimiento de diseño se llama ESTABILIZACIÓN DE FASE y emplea como herramienta al LR Otro procedimiento que resulta de atenuar la ganancia justamente en la banda frecuencia indeseada, se llama ESTABILIZACIÓN DE GANANCIA y emplea como herramienta al Diagrama de Bode

29 Diseño de CD de banda pasante (notch)
cdsxccx 29 Diseño de CD de banda pasante (notch) Propiedades de los 2 diseños: Recordar: Compensador Notch Polos muy dominantes de la DG(s) En la ESTABILIZACIÓN DE GANANCIA, se emplea una CD de atraso con influencia en la banda frecuencial  indeseada, es decir se eligen: |z| > w > |p|, donde   . Esto puede causar una respuesta temporal muy lenta y eventualmente intolerable. -wo w0 -w0 z=sen q q s jw En la ESTABILIZACIÓN DE FASE, se inserta un par de ceros complejos conj. alrededor de la frecuencia de resonancia indeseada, es decir z   jw. Esto atrae a las ramas que pasan por el par de polos complejos del SCLC, llevándolas al interior del semiplano izq. y dándole más amortiguamiento. Un caso común en control son las flexibilidades remanentes (non-allocated). Por ejemplo el eje flexible de un motor que une el rotor con el cabezal de una lectora-escritora de CD. En cada pulso súbito de reposición del cabezal, éste puede oscilar a alta frecuencia en forma débilmente amortiguada. Con una estabilización de fase, se atenúa este efecto. Otro ejemplo es el manchón en un acople de ejes. También sucede en brazos robóticos. Diseño de EdeF basado en LR: Se intenta atraer las ramas que se generan en esos dos polos dominantes a los dos ceros del filtro notch pero de tal manera que éstas pasen lo más alejadas posible del eje imaginario. Ante incertidumbres o variaciones de la frecuencia de resonancia, la EdeG es más robusta que la EdeF.

30 Propiedades de ambos diseños Notch
cdsxccx 30 Propiedades de ambos diseños Notch Ante incertidumbres o variaciones de la frecuencia de resonancia, la EdeG es más robusta que la EdeF. |G|,db  n0 n n1 Planta EdeG Filtro EdeG s jw estable X inestable EdeF -wo X Pero, por otra parte, la solución del filtro basado en EdeF ofrece una mejor performance que solución de EdeG. La solución EdeF, es la que estudiaremos a continuación.

31 Diseño de CD de banda pasante (notch)
31 cdsxccx Diseño de CD de banda pasante (notch) Ejemplo de diseño: 2500 s(s+1)(s2+s+2500) G(s)= Sea la planta: con una marcada oscilación en w=50 rad/s y una bajísima relación de amortiguación de la dinámica parcial de los polos complejos, que es igual a =0.01 ( = 0.57º) La planta se compensó previamente para satisfacer especificaciones temporales a través de: 127(s2+5.4s+0.03) (s2+20s+0.01) Dlead-lag(s)= Dnotch(s) = s2+2zw s+w2 (s+w )2 o Ahora, se propone un filtro notch de la forma: ¿Dónde elegir w0 respecto a w=50 rad/s? Rta: se elige w cerca de 50 rad/srad/s y de un valor más elevado. Así con  =0.0083, queda: o Dnotch(s) = s2+s+3600 (s+60)2

32 32 LR: D(s)G(s) = s2+1s+3600 (s+60)2 notch 127(s2+5.4s+0.03)
FCR M.Jordan s2+1s+3600 (s+60)2 notch 127(s2+5.4s+0.03) (s2+20s+0.01) lead-lag 2500 s(s+1)(s2+s+2500) planta LR: D(s)G(s) = -120 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 notch lead lag -12 -10 -8 -6 -4 -2 x10 -3 2 4 6 lag -0.054 -0.005

33 ¿Por qué se proponen ceros con w0>60 rad/s ?
33 FCR M.Jordan ¿Por qué se proponen ceros con w0>60 rad/s ? En las dos alternativas: wo>wn u wo<wn , la clave está en verificar en los LR´s respectivos el ángulo de partida de los polos complejos conjugados cerca del eje. Es decir, la pregunta práctica es si n=50 rad/s, por qué elegir w0=60 rad/s por exceso y no w0=40 rad/s por defecto? -150 -100 -50 50 100 150 fdep wo=60 wo=40 Concluimos que para wo>wn las ramas de los 2 polos complejos dominantes del LR se dirigen hacia el interior del simi-plano izquierdo. Por ello se elige este diseño.

34 Lugar de las Raíces: Compensación Dinámica progresiva
34 FCR M.Jordan Lugar de las Raíces: Compensación Dinámica progresiva 2500 s(s+1)(s2+s+2500) 127(s+5.4) (s+20) (s ) (s ) s2+1s+3600 (s+60)2 D(s)G(s) = Planta Lead Lag Notch 50 100 -150 -100 -50 150 Por lo tanto, existe una ganancia K baja para la cual el lazo se puede cerrar alrededor de DG y el sistema de control es estable

35 Planta compensada sin Notch Planta compensada con Notch
35 FCR M.Jordan Análisis en la frecuencia (Diagrama de Bode) 2500 s(s+1)(s2+s+2500) planta 127(s2+5.4s+0.03) (s2+20s+0.01) lead-lag notch s2+0.8s+3600 (s+60)2 RF: D(s)G(s) = -200 -150 -100 -50 50 100 150 200 10 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -450 -360 -270 -180 -90 Planta compensada sin Notch Ganancia en dB K=1 Planta compensada con Notch En la ganancia no hay mayor distorsión alrededor de la frecuencia de resonancia. Fase en o En cambio en la fase, la distorsión provocada por el filtro de notch es significativa 50 60 log10 w

36 Respuesta temporal del Sistema de Control con CD
36 FCR M.Jordan Respuesta temporal del Sistema de Control con CD 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 Tiempo s SC sin CD Notch SC con CD Notch Respuesta impulsiva de la planta