@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 1 NÚMEROS REALES.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 1 NÚMEROS REALES

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 U.D. 1.2 * 1º BCS NÚMEROS IRRACIONALES

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Números IRRACIONALES DEFINICIÓN Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números IRRACIONALES. Ejemplo: 21,303003000… No se pueden escribir en forma de fracción. Junto con los números racionales forman el conjunto de los números REALES ( R ) Los más importantes y característicos son: El número √2 = 1,4142… El número π = 3,1415 … El número e = 2,7182…

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 El primer radical irracional conocido fue √2. Se trata de la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale la unidad. Fue descubierto por Pitágoras, pero prohibió a sus alumnos difundirlo, pues uno de sus dogmas era que todo número se podía expresar como división o razón de otros dos; y claro, al ser √2 un número irracional, quedaba fuera del dogma. Aplicando el T. de Pitágoras: h= √ (1 2 + 1 2 ) = √ (1 + 1) = √ 2 En general, si p no es una potencia n- sima, n √ p es un número irracional. 1 1 √2 El número √2

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 B A O El número л La relación entre la longitud de una circunferencia y uno cualquiera de sus diámetros. л = 3,141592… El número л

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Sea la sucesión n 1 1 + ----, donde n es un número natural n Para n = 1, el término de la sucesión vale: (1+1) 1 = 2 Para n = 2, el término de la sucesión vale: (1+0,5) 2 = 2,25 ………………………………………………………………………… Para n = 100, el término de la sucesión vale: (1+0,01) 100 = 2,7048 Para n = 1000, el término de la sucesión vale: (1+0,001) 1000 = 2,7169 Vemos que n aumenta mucho, pero el término muy poco. Si hallamos su limite (4º ESO) en el infinito: 1 n L = lím ( 1 + ---- ) = e = 2,7182… n  oo n El número e

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 A 1 B C D O 1 El número Phi ( Ø ) La divina proporción 1 x ----- = --------- x x+1 x ( Ø ) = 1,618281… El número Ø

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 Valor absoluto VALOR ABSOLUTO. El valor absoluto de un número real, x, se designa |x|, y coincide con el número si es positivo o cero, y con su opuesto si es negativo. Ejemplos: |2| = 2 |-3| = 3 | -3/4| = ¾ |- √2| = √2 |1 - √5| = √5 – 1, pues √5 es mayor que 1 |√-2| = No existe, puesto que √-2 no es un número real.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 1.-|a| = |–a| Ejemplo Sea a = – 5  |– 5| = |– (–5)|  |– 5| = |5|  5 = 5 2.-|a.b| = |a|.|b| Ejemplo_1 Sea a=3 y b=– 2  |3.(–2)| = |3|.|–2|  |–6| = 3.2  6 = 6 3.-|a+b| ≤ |a|+|b| Ejemplo_1 Sea a = 3 y b = – 2  |3+(–2)| ≤ |3|+|–2|  |1| ≤ 3+2  1 ≤ 5 Propiedades

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes igualdades/desigualdades? EJEMPLO 1 |x| = 5 |x| = 5 ↔ x = 5 o x = – 5 EJEMPLO 2 |x| > 5 |x| > 5 ↔ x > 5 o x < – 5 EJEMPLO 3 |x| < 5 |x| < 5 ↔ x < 5 y x > – 5 - 5 0 5 Aplicaciones

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes igualdades/desigualdades? EJEMPLO 4 |x – 3| = 5 x – 3 = 5  x = 8 x – 3 = – 5  x = – 2 EJEMPLO 5 |3 – x | ≥ 5 3 – x ≥ 5  – 2 ≥ x 3 – x ≤ – 5  8 ≤ x - 2 0 8

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 EJEMPLO 6 Expresa, sin la notación del valor absoluto, |x – 3| + x Buscamos los valores para los cuales el valor absoluto se bifurca: x – 3 = 0  x = 3 Habrá dos intervalos diferentes: (-oo, 3) y (3, +oo) – x + 3 + x= 3, si x < 3 |x – 3| + x = x – 3 + x= 2.x – 3, si x ≥ 3 Aplicación 1 Si fuera una ecuación, |x – 3| + x = 1, resolveríamos: 3 = 1, si x < 3  No habría solución 2.x – 3 = 1, si x ≥ 3  2.x = 4  x = 2  No valdría al ser x ≥ 3 No habría ningún valor de x que cumpliera la ecuación. Aplicación 2 Hallar el valor para x = – 2 y para x = 5 Para cada valor de x hay que tomar el intervalo en el que se encuentre: Para x = – 2  3 Para x = 5  2.x – 3  2.5 – 3 = 10 – 3 = 7

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 EJEMPLO 7 Expresa, sin la notación del valor absoluto, |x + 5| – (3 – x) Buscamos los valores para los cuales el valor absoluto se bifurca: x + 5 = 0  x = – 5 Habrá dos intervalos diferentes: (– oo, – 5) y (– 5, +oo) – x – 5 – (3 – x) = – 8, si x < – 5 |x + 5| – (3 – x) = x + 5 – 3 + x = 2.x + 2, si x ≥ – 5 Aplicación 1 Resuelve la ecuación: |x + 5| – (3 – x) = 7 – 8 = 7, si x < – 5  No habría solución. 2.x + 2 = 7, si x ≥ – 5  x = (7 – 2) / 2 = 2,50 sería una solución, la única. Aplicación 2 Hallar el valor para x = 1 Para x = 1  2.x + 2  2.1 + 2 = 2+2 = 4