@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema 9 * Integrales.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema 9 * Integrales

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.2 INTEGRACIÓN POR PARTES Tema 9.3 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.3 Cuando la integral no se pueda resolver por ninguno de los tres métodos anteriores o pudiendo hacerse no se vea claro el cambio de variable a emplear, se recurre a la integración por partes: Sea  f(x).g(x) dx, en general. [ puede que f(x)= 1, o que g(x)=1 ]  f(x).g(x)dx =  u. dv = u.v -  v du f(x) = u  f ’(x) dx = du g(x) dx = dv   g(x) dx =  dv = v La segunda integral,  v du, suele ser inmediata. De no serlo, o nos hemos equivocado en los cambios de variables ( u y v) o tendremos que volver a realizar otra integración por partes al ser la integral CÍCLICA. INTEGRACIÓN POR PARTES

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.4 EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES  f(x).g(x)dx =  u. dv = u.v -  v du x 1 - Calcular  x e dx cambio de variables: x = u  dx = du ; x x e dx = dv   e dx = v x x x x quedándonos I = x.e -  e dx = x.e - e + C 2. Calcular  L x dx. cambio de variables:Lx = u  1/x dx = du ; dx = dv   dx = v quedándonos I = Lx.x -  x. 1/x dx = Lx. x -  dx = Lx. x - x + C

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.5 EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES  f(x).g(x)dx =  u. dv = u.v -  v du 3 - Calcular  x 2 e x dx c ambio de variables: x 2 = u  2x dx = du ; e x dx = dv   e x dx = e x = v quedándonos I = x 2 e x -  2x e x dx Calculamos  2x e x dx. cambio de variables: 2x = u  2 dx = du ; e x dx = dv   e x dx = e x = v quedándonos I = x 2 e x - [ 2x. e x -  2 e x dx ] = = x 2 e x - 2x. e x + 2 e x + k

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.6 EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES  f(x).g(x)dx =  u. dv = u.v -  v du 4 - Calcular  x 2 sen x dx c ambio de variables: x 2 = u  2x dx = du ; sen x dx = dv   sen x dx = - cos x = v quedándonos I = - x 2 cos x -  - 2x cos x dx Calculamos  - 2x cos x dx. cambio de variables: - 2x = u  - 2 dx = du ; cos x dx = dv   cos x dx = sen x = v quedándonos I = - x 2 cos x - [ - 2x sen x -  - 2 sen x dx ] = = - x 2 cos x + 2x. sen x + 2 cos x + k

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.7 INTEGRAL CÍCLICA x Calcular  sen x.e dx   f(x).g(x)dx =  u. dv = u.v -  v du Veamossen x dx = dv  v =  sen x dx = - cos x + C x x e = u  du = e dx x x x x I = e (- cos x ) -  - cos x. e dx = - e. cos x +  e. cos x dx Nueva integración por partes: Veamoscos x dx = dv  v =  cos x dx = sen x + C x x e = u  du = e dx x x x I = - e. cos x + e sen x -  e. sen x dx x x 2. I = e ( sen x – cos x ), luego I = e ( sen x – cos x ) / 2