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Propiedad Intelectual Cpech PPTCAC040MT21-A15V1 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado Propiedad Intelectual Cpech ACOMPAÑAMIENTO ANUAL BLOQUE.

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1 Propiedad Intelectual Cpech PPTCAC040MT21-A15V1 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado Propiedad Intelectual Cpech ACOMPAÑAMIENTO ANUAL BLOQUE 21

2 Propiedad Intelectual Cpech Aprendizajes esperados Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Determinar el número de soluciones de una ecuación de primer grado con una incógnita. Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones de primer grado con una incógnita. Resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Modelar situaciones mediante sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

3 Propiedad Intelectual Cpech Contenidos Ecuaciones de primer grado Ecuaciones y sistemas Sistemas de ecuaciones de primer grado Planteamiento de problemas con ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado

4 Propiedad Intelectual Cpech Una ecuación es una igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas o variables. Resolver una ecuación significa encontrar el(los) valor(es) de la(s) incógnita(s) que satisface(n) la igualdad. Ecuaciones 1) 2x + 3 = x – 8 + 5x Se llama ecuación de primer grado a todas aquellas en donde el exponente de la incógnita es 1. = 5x – 4 2 2x2x 3 1 4 + 2) Ejemplos:

5 Propiedad Intelectual Cpech En la resolución de una ecuación, se deben considerar las siguientes propiedades: - Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad, ésta se mantiene. - Al multiplicar o dividir ambos lados por una misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene. En general, para resolver una ecuación se tiene que despejar la incógnita. Para ello deben efectuarse operaciones que permitan eliminar términos o coeficientes hasta lograr despejarla. Resolución de ecuaciones

6 Propiedad Intelectual Cpech Ejemplo: 2(x – 2) + 4x = 11 + 3x 2x – 4 + 4x = 11 + 3x 2x + 4x – 3x = 11 + 4 x = 5 (Distribuyendo) (Restando 3x y sumando 4) (Reduciendo términos semejantes) 3x = 15 (Dividiendo por 3) x = 3 15 Ecuaciones con coeficientes enteros

7 Propiedad Intelectual Cpech Ecuaciones con coeficientes fraccionarios Generalmente, es conveniente dejar la ecuación con coeficientes enteros, multiplicando cada término de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. = 5x – 4 2 2x2x 3 1 4 + = (5x – 4) 2 2x2x 3 1 4 + 12  6(5x – 4) = 4  2x + 3  1 30x – 24 = 8x + 3 30x – 8x = 3 + 24 22x = 27 (Multiplicando por el m.c.m. (2, 3, 4) = 12) (Simplificando) (Distribuyendo y multiplicando) (Restando 8x y sumando 24) (Reduciendo términos semejantes) (Dividiendo por 22) x = 22 27 6 43 Ejemplo:

8 Propiedad Intelectual Cpech Ecuaciones con coeficientes literales Ejemplo: px – p 2 = qx – q 2 (Restando qx y sumando p 2 ) (Factorizando por x) (Dividiendo por (p – q), ya que es distinto de cero) (Factorizando la diferencia de cuadrados) (Simplificando) px – qx = p 2 – q 2 x(p – q) = p 2 – q 2 p 2 – q 2 (p – q) =x (p + q) (p – q) (p – q) = x x = p + q En la ecuación px – p 2 = qx – q 2, con p ≠ q, encontrar x.

9 Propiedad Intelectual Cpech Equivale a transcribir una expresión verbal a una expresión algebraica. Para esto utilizamos el metalenguaje. Problemas de planteo Ejemplo: Si x representa un número, entonces: - El doble de un número:2x2x 5x5x x – 1 x + 1 x 3 3x 4 - La tercera parte de x: - Los tres cuartos de x: - El quíntuplo de x: - El antecesor de x: - El consecutivo o sucesor de x:

10 Propiedad Intelectual Cpech Problemas de planteo Sea x: el número buscado. “El triple de la diferencia entre un número y su mitad equivale al doble del número, aumentado en 6. ¿Cuál es el número?” Solución Según el metalenguaje, se tienen los siguientes conceptos: El doble del número, aumentado en 6: 2x + 6. El triple de la diferencia entre un número y su mitad : Se tiene entonces la siguiente ecuación: = 2x + 6

11 Propiedad Intelectual Cpech Problemas de planteo (Resolviendo el paréntesis) = 2x + 6 3 x 2 (Multiplicando por 2) 3x = 4x + 12 – 12 = 4x – 3x – 12 = x (Restando 3x y restando 12) (Reduciendo términos semejantes) = 2x + 6 Finalmente el número es – 12

12 Propiedad Intelectual Cpech Sistemas de ecuaciones Para determinar el valor numérico de cada una de ellas, debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas. Es un conjunto de ecuaciones donde hay más de una incógnita. Ejemplo: 2x + 3y = 7 x – 4y = 2 Gráficamente, la solución de un sistema de ecuaciones lineales (o de primer grado) corresponde a la intersección de las rectas representadas por dichas ecuaciones. Por lo tanto, al resolver este tipo de sistema puede ocurrir que tenga: una solución: infinitas soluciones: ninguna solución: las rectas se intersectan en un solo punto (x, y). las rectas son coincidentes. las rectas son paralelas.

13 Propiedad Intelectual Cpech Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas Igualación: Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema. Luego, se igualan los resultados. El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones despejadas del sistema. Ejemplo: Despejando x en ambas ecuaciones: 1) 2x + 3y = 7 2x = 7 – 3y 2) x – 4y = – 2 x = – 2 + 4y 7 – 3y 2 x = 1) 2x + 3y = 7 2) x – 4y = – 2 Sistemas de ecuaciones

14 Propiedad Intelectual Cpech Igualando ambas ecuaciones se obtiene: 7 – 3y = – 4 + 8y 7 – 3y + 3y = – 4 + 8y + 3y 7 = – 4 + 11y 7 + 4 = – 4 + 11y + 4 11 = 11y 1 = y (Sumando 3y) (Sumando 4) (Dividiendo por 11) = – 2 + 4y 7 – 3y 2 Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x. (Multiplicando por 2) Sistemas de ecuaciones

15 Propiedad Intelectual Cpech 2) x = – 2 + 4y Reemplazando y = 1 en la segunda ecuación despejada queda x = – 2 + 4·1 x = – 2 + 4 x = 2 Por lo tanto, la solución del sistema es (2, 1). Recuerda que el valor de x nos indica la abscisa y el valor de y nos indica la ordenada del punto de intersección. Sistemas de ecuaciones

16 Propiedad Intelectual Cpech Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas Sustitución: Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se reemplaza en la otra ecuación, determinando el valor de la incógnita. El resultado que se obtiene se sustituye en la ecuación despejada. Ejemplo: 1) 2x + 3y = 7 2) x – 4y = – 2 Despejando x en la segunda ecuación: x = – 2 + 4y 2) x – 4y = – 2 Sistemas de ecuaciones

17 Propiedad Intelectual Cpech Reemplazando x = – 2 + 4y en la primera ecuación resulta 1) 2x + 3y = 7 2·(– 2 + 4y) + 3y = 7 – 4 + 8y + 3y = 7 11y = 7 + 4 11y = 11 y = 1 (Distribuyendo) (Sumando 4) (Dividiendo por 11) Como x = – 2 + 4y  x = – 2 + 4·1 x = 2 Por lo tanto, la solución del sistema es (2, 1). Sistemas de ecuaciones

18 Propiedad Intelectual Cpech Para eliminar x, multiplicaremos la segunda ecuación por – 2. Métodos de resolución de un sistema con dos incógnitas Reducción: Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por un número tal que una de las incógnitas quede con coeficientes opuestos en cada ecuación. Luego, se suman ambas ecuaciones, de modo que se elimine la incógnita con coeficientes opuestos. Ejemplo: / · (– 2) 1) 2x + 3y = 7 2) – 2x + 8y = 4 (+) 11y = 11 y = 1 1) 2x + 3y = 7 2) x – 4y = – 2 Sistemas de ecuaciones

19 Propiedad Intelectual Cpech 2) x – 4y = – 2 x – 4·1 = – 2 x = 2 x = – 2 + 4  Reemplazando y = 1 en la segunda ecuación se obtiene Por lo tanto, la solución del sistema es (2, 1). Sistemas de ecuaciones

20 Propiedad Intelectual Cpech En un parque hay avestruces y koalas. Si entre todos hay 55 cabezas y 170 patas, ¿cuántos avestruces y koalas hay? Si a: cantidad de avestruces y k: cantidad de koalas, entonces: Solución: Como las avestruces tienen 2 patas y los koalas 4, la cantidad total de patas de avestruz será 2a y el total de patas de koala 4k 1) a + k = 55  2) 2a + 4k = 170  Aplicaciones Como hay la misma cantidad de cabezas que animales Sistemas de ecuaciones

21 Propiedad Intelectual Cpech 1) a + k = 55 2) 2a + 4k = 170 /·(– 2) 1) – 2a – 2k = – 110 2) 2a + 4k = 170 2k = 60 k = 30  1) a + k = 55 a + 30 = 55  a = 55 – 30 a = 25 Por lo tanto, hay 25 avestruces y 30 koalas. Con las dos ecuaciones se forma el siguiente sistema: (+) Sumando ambas ecuaciones Reemplazando k = 30 en primera ecuación Reemplazando k = 30 en primera ecuación Amplificando por – 2 Sistemas de ecuaciones

22 Propiedad Intelectual Cpech ¿Cuál es la alternativa correcta? 1. Si 4 · 91 – p = q y 3q = 156, entonces p es igual a A) – 312 B) – 211 C) 52 D) 211 E) 312 Apliquemos nuestros conocimientos

23 Propiedad Intelectual Cpech 3q = 156 (Despejando q) q = 156 3 q = 52 (Simplificando) Entonces: 4 · 91 – p = q 4 · 91 – p = 52 364 – p = 52 – p = 52 – 364 – p = – 312 p = 312 (Reemplazando q) (Multiplicando) (Despejando (– p)) (Multiplicando por (– 1)) Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: Habilidad: Aplicación E

24 Propiedad Intelectual Cpech ¿Cuál es la alternativa correcta? 2. Si 7 – 3m = 16, entonces (m – m 2 ) es igual a A) – 12 B) – 9 C) 3 D) 6 E) ninguno de los valores anteriores. Apliquemos nuestros conocimientos

25 Propiedad Intelectual Cpech 7 – 3m = 16 (Despejando (– 3m)) – 3m = 16 – 7 (Resolviendo) – 3m = 9 3m = – 9 m = – 3 m = – 9 3 Entonces: m – m 2 = (– 3) – (– 3) 2 = – 3 – 9 = – 12 (Multiplicando por (– 1) ambos lados de la ecuación) (Despejando m) (Simplificando) (Reemplazando) (Desarrollando) Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: Habilidad: Aplicación A

26 Propiedad Intelectual Cpech ¿Cuál es la alternativa correcta? 3. Si la tercera parte de la edad de una persona es 22 años, entonces la mitad de su edad, más dos años es A) 68 años. B) 35 años. C) 33 años. D) 13 años. E) 11 años. Apliquemos nuestros conocimientos

27 Propiedad Intelectual Cpech Sea x la edad de la persona, entonces la tercera parte de la edad de una persona es 22 años, escrito matemáticamente es: (Despejando x) x = 22 · 3 x = 66 Por lo tanto, la edad de la persona es 66 años. Entonces, la mitad de su edad, más dos años es: 66 : 2 = 33 33 + 2 = 35 años 1 3 x = 22 Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: Habilidad: Aplicación B

28 Propiedad Intelectual Cpech ¿Cuál es la alternativa correcta? 4. Los valores de x e y en el sistema de ecuaciones son, Respectivamente, A) – 1 y 6 B) 1 y 6 C) 1 y 4 D) – 1 y 4 E) – 1 y – 4 Apliquemos nuestros conocimientos x + y = 5 2x – y = – 2

29 Propiedad Intelectual Cpech Por lo tanto, los valores de x e y son 1 y 4, respectivamente. 3x = 3 x = 1 Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: Habilidad: Aplicación C 2) x + y = 5 1) 2x – y = – 2 Se utilizará el método de reducción para resolver este sistema.: (Sumando ambas ecuaciones) (Dividiendo por 3) Reemplazando x = 1 en la ecuación 2): 2) x + y = 5 1 + y = 5 y = 4 (Restando 1)

30 Propiedad Intelectual Cpech ¿Cuál es la alternativa correcta? 5. La gráfica del sistema de ecuaciones se representa a través de A)rectas paralelas. B)rectas perpendiculares. C)rectas coincidentes. D)rectas que se intersectan en un punto. E)no se puede determinar. Apliquemos nuestros conocimientos 9x = 3y 3x – y = – 2

31 Propiedad Intelectual Cpech Como 0 ≠ – 2, el sistema no tiene solución. Por lo tanto, las rectas son paralelas. Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: Habilidad: Aplicación A Resolviendo el sistema, se tiene: (Dividiendo por 3) 0 = – 2 2) 9x = 3y 1) 3x – y = – 2 2) 3x – y = 0 (Restando ambas ecuaciones)

32 Propiedad Intelectual Cpech Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, estudiaremos Inecuaciones de primer grado

33 Propiedad Intelectual Cpech

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