Operatoria en racionales

Presentación del tema: "Operatoria en racionales"— Transcripción de la presentación:

1 Operatoria en racionales
MT-21 PPTCES003MT21-A15V1 Clase Operatoria en racionales

2 Aprendizajes esperados
Transformar decimales finitos, periódicos y semiperiódicos en fracción, justificando la transformación. Ubicar y ordenar números racionales en la recta numérica. Aproximar números racionales mediante redondeo, truncamiento y aproximación por exceso. Establecer equivalencias entre números racionales mediante la simplificación y amplificación de fracciones. Establecer la prioridad de las operaciones (PAPOMUDAS) Aplicar operaciones (adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones) con números racionales.

3 Pregunta oficial PSU 10. En cada una de las rectas numéricas que se muestran en I), en II) y en III), el punto C es un punto tal que AC = ¿En cuál(es) de ellas C = ? III) A) Solo en I. B) Solo en II. C) Solo en III. D) Solo en I y en II. En I, en II y en III. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2015. A C B 0,3 0,4 A C B 0,33 0,34 A C B 0,333 0,444

4 1. Definición 2. Transformación 3. Orden 4. Aproximaciones 5. Operatoria

5 1. Definición Q = Recordando Ejemplos: -1; 3 5 14,
El conjunto de los racionales es un conjunto infinito, ordenado y denso, definido de la siguiente manera: a b / a y b son enteros, y b es distinto de cero Q = a: numerador y b: denominador Ejemplos: -1; 3 12; 5 -3; 8 13; 0; -2; 0,391; 3,19 14, NO es racional

6 2. Transformaciones 2.1 Fracción a decimal Ejemplo:
Para transformar una fracción a número decimal se divide el numerador por el denominador hasta obtener resto 0. Ejemplo: 2.2 Decimal finito a fracción Para transformar un número decimal finito a fracción, se debe contabilizar la cantidad de dígitos decimales, tal que el denominador de la fracción será una potencia de 10 con tantos ceros como dígitos decimales. Ejemplo: 3 dígitos decimales Potencia de 10 con 3 ceros

7 2. Transformaciones 2.3 Decimal periódico a fracción Ejemplo:
Para transformar un número decimal periódico a fracción se escribe en el numerador todo el número sin la coma, menos la parte entera, y en el denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo. Se llama período al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente. Ejemplo: Período: 1 Período: 25

8 2. Transformaciones 2.4 Decimal semiperiódico a fracción Ejemplo:
Para transformar un número decimal semiperiódico a fracción se escribe en el numerador todo el número sin la coma, menos la parte no periódica (incluyendo la parte entera y el anteperíodo), y en el denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Se llama anteperíodo a la parte decmal que no se repite Ejemplo: Anteperíodo: 2 Período: 3 Anteperíodo: 1 Período: 47

9 2. Transformaciones 2.5 Fracción impropia a número mixto Ejemplo:
Para transformar una fracción impropia a número mixto se divide el numerador por el denominador hasta obtener un cociente entero. Luego, se anota tal valor acompañado por una nueva fracción de igual denominador que la inicial, tal que el numerador corresponde al resto de la división. Ejemplo: Cociente entero Resto Luego se tendrá: Fracción impropia Número Mixto

10 3. Orden 3.1 Comparación Fracción en decimal
Al momento de ordenar números racionales en la recta numérica, resulta conveniente estudiar sus valores en formato decimal, dado que las fracciones solo son comparables en forma directa si los numeradores son iguales. Ejemplo: Ordenar de menor a mayor los números , y Se transforman las fracciones en decimal Notando el valor de la centésima de cada decimal se tendrá:

11 3. Orden > 3.2 Comparación Dos o más fracciones
Para comparar u ordenar en la recta numérica dos fracciones, se deben multiplicar en forma cruzada los denominadores con los numeradores, y según el valor del producto obtenido resulta posible finalmente establecer qué fracción es mayor. Ejemplo: Se tienen dos fracciones y , ¿cuál de ellas será menor? Se multiplica cruzado denominadores por numeradores. ? ? > Luego, según lo anterior se tendrá que: >

12 4. Aproximaciones 4.1 Aproximación por exceso Ejemplo:
Una aproximación es una representación inexacta (aunque muy cercana) de un número, mediante la eliminación de cifras decimales. Al aproximar por exceso a la n-ésima cifra decimal, se eliminan los decimales desde la posición (n + 1), y el decimal en la posición n se aumenta en una unidad. Ejemplo: Aproximar por exceso a la centésima 2,132 Cifra (n+1) ésima Por tanto, la aproximación será: Centésima

13 4. Aproximaciones 4.2 Aproximación por defecto (truncamiento) Ejemplo:
Al aproximar por defecto a la n-ésima cifra decimal, se eliminan los decimales desde la posición (n + 1), independiente del valor de este. Ejemplo: Aproximar por defecto a la décima 0,998 Cifra (n+1) ésima Por tanto, la aproximación será: Décima

14 4. Aproximaciones 4.3 Aproximación por redondeo Ejemplo: 1
Al aproximar por redondeo a la n-ésima cifra decimal se eliminan los decimales desde la posición (n + 1), y si el decimal en la posición (n + 1) es mayor o igual que 5, entonces el decimal en la posición n se aumenta en una unidad. Ejemplo: Aproximar por redondeo a la diezmilésima 3,25321. Cifra (n+1) ésima menor que 5. 1 Por lo tanto, la aproximación será: Diez milésima

15 5. Operatoria en Q 5.1 Amplificación y simplificación Amplificación
Amplificar una fracción significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador, por un mismo número. Ejemplo: 2 3 Al amplificar la fracción por 6 resulta: 2∙ 3∙ 6 12 18 = Al amplificar una fracción formamos una fracción equivalente a la original, es decir, representa lo mismo

16 5. Operatoria en Q 5.1 Amplificación y simplificación Simplificación
Simplificar una fracción significa dividir, tanto el numerador como el denominador, por un mismo número. Las fracciones que no se pueden simplificar se llaman fracciones irreductibles. Ejemplo: 27 45 Al simplificar la fracción por 3 resulta: 27 : 45 : 3 9 15 = Al simplificar una fracción formamos una fracción equivalente a la original, es decir, representa lo mismo

17 5. Operatoria en Q 5.2 Operaciones en Q Adición y sustracción
Existen distintas maneras de sumar y/o restar fracciones. Las ejemplificaremos: 1. Si los denominadores son iguales: 4 15 + 7 11 15 4 15 – 7 –3 15 = y = 2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: 2 15 + 7 45 = 2∙ ∙1 45 6 + 7 45 13 45 = =

18 5. Operatoria en Q 5.2 Operaciones en Q Adición y sustracción 4 5 + 7
3. Si los denominadores son primos entre si: 4 5 + 7 8 = 4∙ ∙7 40 40 67 40 = = 4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): 5 12 + 7 18 = 5∙ ∙2 36 36 29 36 = = En este conjunto, para la adición se cumplen las mismas propiedades que en Z.

19 5. Operatoria en Q 5.2 Operaciones en Q Multiplicación Ejemplo:
Se multiplican numeradores y denominadores entre sí. Los productos pasan a ser el nuevo numerador y el nuevo denominador. Ejemplo: –4 5 7 8 = ∙ –28 40 Propiedades Para la multiplicación se cumplen las mismas propiedades que en Z, solo se agrega la siguiente: Elemento inverso multiplicativo o recíproco: Todo número racional, distinto de cero, posee un elemento recíproco, que cumpla a ∙ a-1 = 1 = a-1 ∙ a El inverso multiplicativo o recíproco de 2 9 9 2 Ejemplo: es

20 5. Operatoria en Q 5.2 Operaciones en Q División Ejemplo:
Se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. Ejemplo: –4 5 : 7 8 = –4 5 ∙ 8 7 = –32 35 Antes de multiplicar las fracciones conviene simplificar lo más posible.

21 D Pregunta oficial PSU Pregunta oficial PSU
10. En cada una de las rectas numéricas que se muestran en I), en II) y en III), el punto C es un punto tal que AC = ¿En cuál(es) de ellas C = ? III) A) Solo en I. B) Solo en II. C) Solo en III. D) Solo en I y en II. En I, en II y en III. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2015. A C B 0,3 0,4 A C B 0,33 0,34 ALTERNATIVA CORRECTA D A C B 0,333 0,444

22 Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 C
Números racionales ASE 2 B 3 4 Aplicación 5 D 6 7 8 E 9 A 10 11 12

23 Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 E
Números racionales Aplicación 14 D 15 A 16 C 17 ASE 18 19 B 20 21 22 23 24 25

24 Síntesis de la clase Un subconjunto de los reales son los…
Irracionales Reales Decimal finito, decimal periódico y decimal semiperiódico. Un subconjunto de los reales son los… Transformación Por redondeo, por exceso y por truncamiento. Racionales Aproximación Amplificación y simplificación Operatoria Igual denominador Adición y sustracción Distinto denominador Multiplicación División

25 Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos Resolución de problemas en los racionales

26 Equipo Editorial Matemática
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Propiedad Intelectual Cpech RDA: