TEORÍA de CIRCUITOS I Año 2010

Presentación del tema: "TEORÍA de CIRCUITOS I Año 2010"— Transcripción de la presentación:

1 TEORÍA de CIRCUITOS I Año 2010
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA FACULTAD DE INGENIERÍA ÁREA DEPARTAMENTAL ELECTROTECNIA TEORÍA de CIRCUITOS I Año 2010 Clase V Ing. Eduardo Ariel Ponzano Jefe de Trabajos Prácticos

2 Circuitos Acoplados - Definición:
Dos inductores están magnéticamente acoplados entre sí cuando al menos parte del flujo variable en el tiempo existente en uno de ellos (Provocado por la circulación a su través de una corriente también variable en el tiempo), corta a las espiras del otro, induciendo en este último, una tensión también variable en el tiempo (Ley de Faraday-Lenz). FEM inducida Esta parte del modelado de circuitos permite representar entre otros casos, aquellos en que dos mallas están acopladas e interactuando eléctricamente, sin existir entre ellas unión galvánica (Transformador). + - e(t) i(t)

3 ei es proporcional a N (∂Φ/∂t)
Ley de Faraday - Lenz Ley de Faraday: Cuando existe un movimiento relativo entre un campo magnético y un conductor, de forma que el segundo corte líneas de fuerza a largo del tiempo, se induce en los extremos del conductor una f.e.m. directamente proporcional a la velocidad con que cambia el flujo que corta el conductor a lo largo del tiempo. ei es proporcional a N (∂Φ/∂t) Ley de Lenz: En los supuestos anteriores, la polaridad de la f.e.m. inducida es tal que tiende a oponerse a la causa que la produce. Ley de Faraday-Lenz: Combinando ambas expresiones: ei = - N (∂Φ/∂t)

4 Coeficiente de Autoinducción uL(t)= - N [∂Φ(t)/∂t]
Si se tiene un inductor constituido por un alambre de cobre enrollado alrededor de un cilindro y es recorrido por una corriente cuyo valor instantáneo cambia respecto del tiempo (Por ejemplo una corriente alternada sinusoidal i(t)), la tensión en los extremos del inductor tendrá, de acuerdo a la ley de Faraday-Lenz la siguiente expresión: uL(t)= - N [∂Φ(t)/∂t] Multiplicando y dividiendo por ∂i(t) se obtiene uL(t)= - N {[∂Φ(t)/∂t]x[∂i(t)/∂i(t)]} Reagrupando uL(t)= - N {[∂Φ(t)/∂i(t)]x[∂i(t)/∂t]} Definiremos como coeficiente de autoinducción L a: L= N [∂Φ(t)/∂i(t)] El coeficiente de autoinducción se expresa en Henry (H) en el Sistema MKS. Un inductor tiene un coeficiente de autoinducción de 1 H cuando al ser recorrido por una corriente que varía a una velocidad de 1 Amper por segundo, genera entre sus terminales una f.e.m. de 1 Volt.

5 Coeficiente de Autoinducción
La expresión de la caída de tensión instantánea en bornes de un inductor recorrido por una corriente instantánea variable en el tiempo, resulta: uL(t)= - L [∂i(t)/∂t] Si estamos trabajando en régimen permanente sinuisoidal, llegamos a la conocida expresión fasorial: Ů = j × ω × L × İ = j×XL×İ Siendo XL lo que en Teoría de Circuitos denominamos Reactancia Inductiva (XL= ω×L)

6 Coeficiente de Inducción Mutua
Cuando una parte del flujo variable existente en un inductor corta a las espiras del otro, se induce en este último una f.e.m debido a la acción del campo existente en el primero, que puede determinarse con la expresión: u21(t)= - N2 [∂Φ21(t)/∂t] donde Φ21(t)= Φ11(t) – Φdisp1(t) flujo mutuo flujo propio flujo disperso El efecto es recíproco en términos de flujo mutuo y disperso, o sea que: Φ12(t) = Φ22(t) – Φdisp2(t) O sea: ΦM(t) = Φ21(t) = Φ12(t)  La relación:  k = Φm (t)/ Φpropio(t) Se denomina coeficiente de acoplamiento k (0 < k < 1)

7 Coeficiente de Inducción Mutua
Volviendo a la expresión:  u21(t) = - N2 × [∂Φ21(t)/ ∂t] De manera análoga a lo hecho al definir Autoinducción, podemos escribir: u21(t) = - M [∂i1(t)/ ∂t] Y u12(t) = - M [∂i2(t)/ ∂t] M = N2 × [∂Φ21(t)/∂t] = N1 × [∂Φ12(t)/ ∂t] Es el llamado coeficiente de inducción mutua. Puede demostrarse que: M = k ×(L1× L2)1/2 Si estamos trabajando en régimen sinusoidal y en estado permanente, multiplicando ambos miembros por ω: XM=ω×M = k×(ω×L1×ω×L2)1/2 = k ×(XL1×XL2)1/2 

8 Coeficiente de Inducción Mutua
En régimen permanente senoidal, las caídas en cada inductor por efecto del acoplamiento magnético valdrán (El orden de los subíndices indica en que inductor ocurre la caída – primer subíndice – y debido a que corriente variable ocurre – segundo subíndice – respectivamente): Ů12=j×XM×İ2 ; Ů21=j×XM×İ1 Estas caídas por acoplamiento se sumarán o restarán a las caídas que en cada inductor provoque el efecto de autoinducción ya descrito anteriormente, según que los flujos propio y mutuo en cada uno de ellos se refuercen (Es decir, se sumen) o se debiliten mutuamente (Es decir, se resten) respectivamente. Naturalmente, entre los bornes de un inductor recorrido por una corriente y magnéticamente acoplado con otro, sólo podremos medir una diferencia de potencial, que será la composición de las dos anteriores.

9 Los Puntos Homólogos Dados dos inductores magnéticamente acoplados, los puntos homólogos sirven para determinar, junto con los sentidos de corriente en dichos inductores, si el flujo mutuo que en cada uno produce el otro, se suma o se resta al propio. Si las corrientes en ambos inductores entran (o salen) por los puntos homólogos, los flujos propio y mutuo se suman. Caso contrario, se restan. Casos Aditivos Casos Sustractivos La posición de los puntos homólogos depende del sentido de arrollamien-to de los inductores y de su disposición física. El primero de ellos puede fijarse a voluntad; el segundo, queda determinado por las características antedichas.

10 Convenciones Al recorrer una malla aplicando la segunda Ley de Kirchhoff o bien el método de las corrientes de malla, el signo de la caída por inducción mutua se obtiene comparando el sentido en que se recorre el elemento inductivo donde la misma ocurre, con el sentido de la corriente que circula por el inductor que origina el flujo mutuo. Si ambos entran (o salen) por los puntos homólogos, la caída es positiva. Caso contrario (En uno entra y otro sale) el signo es negativo. La convención anterior es válida para la expresión de la segunda Ley de Kirchhoff que iguala sumatoria de FEM a sumatoria de caídas de tensión. Caso Aditivo Caso Sustractivo

11 Relaciones entre corrientes tensiones e impedancias
Relacionando las caídas por flujos mutuos: Como hemos supuesto que ∂Φ21(t)/∂t = ∂Φ12(t)/∂t, si trabajamos con régimen sinusoidal permanente, la anterior relación resulta: donde U1 y U2 representan los módulos de las tensiones inducidas en los inductores 1 y 2 respectivamente, por efecto del acoplamiento magnético. Suponiendo además que el proceso se efectúa sin pérdidas, S1=S2, o sea  U1 I1 = U2 I2, siendo I1 e I2 los módulos de las corrientes que circulan por los inductores 1 y 2 respectivamente y teniendo en cuanta la relación U2/U1 ya calculada:

12 CUESTIONARIO a)¿Qué en un par de inductores acoplados, que se entiende por flujo propio, flujo disperso y flujo mutuo? b)¿Cómo se define el coeficiente de autoinducción L en función de la variación temporal del flujo magnético Φ y de la intensidad de corriente instantánea i? c)¿Cuál es la expresión matemática de la ley de Faraday? d)¿Qué es el factor de acoplamiento magnético y qué relación tiene con L1, L2 y M? e)¿Qué son los puntos homólogos y cómo se utilizan con referencia al sentido de las tensiones inducidas por los flujos propio y mutuo? f)¿Cómo se utiliza la relación de espiras para transferir tensiones, corrientes, impedancias y admitancias en un circuito acoplado magnéticamente?

13 Zeq = j (XL1+ XL2+ XL3+ XM13+ XM31– XM12– XM21 – – XM23– XM32)
Resolución: A) Comenzamos analizando la disposición física y constructiva de los inductores y su conexionado. Como el n° 1 y el n° 3 están arrollados en el mismo sentido sobre un mismo núcleo rectilíneo, los flujos propio y mutuo en cada una se suman, en la medida que se conecten entre sí como muestra la figura (Acoplamiento aditivo. Para verificarlo aplicar la regla del tirabuzón o de la mano derecha). Entre el 1° y el 2°, al igual que entre el 2° y el 3°, los sentidos de arrollamiento sobre el mismo núcleo rectilíneo son opuestos, por lo cual en cada uno los flujos propio y mutuo se restan, en la medida que se conecten entre sí como muestra la figura. El circuito equivalente es entonces el siguiente: B) Suponiendo que la corriente entra por el borne superior y recorriendo la malla en sentido horario, resulta: Zeq = j (XL1+ XL2+ XL3+ XM13+ XM31– XM12– XM21 – – XM23– XM32) Zeq = j ( x1–2x2–2x3)= j 6 [] Sentido de recorrido i(t)

14 C D Para saber que polaridad tendrá UCD, supongo que cierro el circuito sobre XL2 y observo como circularía la corriente a su través de acuerdo a Lenz. Resolución: Si k=0, no existe acoplamiento entre el inductor n°1 y el n°2 y en éste último no se induce tensión alguna. Como a su vez tampoco circula corriente por él se comporta como un corto circuito, haciendo que los puntos C y D estén al mismo potencial. Entonces: UAB= Igx R1 + Ugx R2/(R2+R3) - UCD UAB=3e-j30°x ej90°x5/(5+5) – 0 = 15e-j30°+30ej90° UAB= 25,98ej60° [V] Si k=0,7, existe acoplamiento entre el inductor n°1 y el n°2, haciendo que los puntos C y D aparezca una tensión inducida cuyo valor es: UCD= - Igx jXM UCD= -3e-j30°x2x50x0,7x(0,05x0,05)1/2 ej90° =-32,97 ej60° [V] Por lo cual en este caso UAB vale: UAB= 25,98ej60° -32,97 ej60°=-6,99 ej60° [V]

15 Es todo …. Gracias y a trabajar