Interés Compuesto.

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1 Interés Compuesto

2 DEFINICION Capital Los intereses se capitalizan, es decir, se añaden al capital al final de cada periodo de composición. Intereses Capital + Intereses

3 Periodo C. Inicial(P) Intereses(I) C. Final (F) 1 1.000 100 1.100 2
10% 2 110 1.210 3 121 1.331 4 133,10 1.464,10 5 146,41 1.610,51

4 Periodo C. Inicial(P) Intereses(I) C. Final (F) 1 P Pi P(1+i) 2
P(1+i)i P(1+i)2 3 P(1+i)2i P(1+i)3 . ...... n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n

5 Características Los intereses devengan intereses
Los intereses son crecientes en cada periodo de capitalización Se aplica en cualquier tipo de operación tanto a corto como a largo plazo La equivalencia de capitales es perfecta

6 Elementos VP: Valor Presente o capital Inicial
VF: Valor Futuro o Monto final I: Intereses i: tasa del periodo de capitalización n: plazo de la operación expresado en periodos de capitalización k: Frecuencia de la capitalización Periodo de capitalización: intervalo de tiempo al final del cual se ganan los intereses

7 Frecuencia de capitalización (k)
Número de veces que se capitalizan los intereses al año. Si tomamos como unidad de tiempo el mes, y el interés se compone mensualmente entonces k = 12; si el interés se capitaliza trimestralmente, entonces k = 12/3 = 4; si el interés se convierte bimestralmente, k = = 6

8 Frecuencia de capitalización (k)
Ejemplo: ¿Cuál es la frecuencia de capitalización si realizo un depósito en un banco que paga 21% de interés anual convertible cuatrimestralmente? La frecuencia es 3

9 NOTACION Y FORMULAS VF = VP*(1+i)n I = VP*[(1+i)n-1] VP = VF*(1+i)-n
i = Tasa del periodo de capitalización VP = Valor presente o capital invertido I = Intereses devengados. n = Nº de periodos de capitalización VF = Valor futuro o Monto final

10 VP GRAFICAS DE INTERES SIMPLE Y COMPUESTO VF = VP*(1 + i)n Tiempo 1
V.Futuro Tiempo 1 VF = VP*(1 + i*n)

11 Tasa que se declara en la operación financiera
TASAS Nominal: i Tasa que se declara en la operación financiera Proporcional o del periodo:ip Efectiva: ie Tasa real de ganancia anual

12 Ejemplo Nº1 ¿Cuál es el valor final de una inversión de Bs colocados durante un año al 36% nominal anual capitalizable mensualmente? ¿Cuál ha sido la tasa anual de ganancia real?

13 Solución: VP= k =12 n = 12 meses Dentro de un año tendré Bs ,89

14 ¿Cuál ha sido la tasa anual de ganancia real?
Inversión: Recupero en un año: ,89 Intereses ganados en el año: , = ,89 Tasa real de ganancia anual = La tasa de ganancia real anual es de 42,58%.

15 Ejemplo Nº2 ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación si colocamos Bs al 24% nominal anual convertible trimestralmente durante dos años?

16 Solución: La tasa efectiva ( ie ) es la tasa compuesta anualmente que produce el mismo valor futuro que colocar al 24% n.a.c.t. Por eso, Tasa efectiva de 26,25% anual

17 Ejemplo Nº3 ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación si colocamos Bs durante dos años en un banco que paga 24% nominal anual convertible trimestralmente durante un año y 22% nominal anual capitalizable mensualmente, durante el año siguiente?

18 Valor al final del primer año: Valor al final del segundo año:
Solución: La tasa efectiva ( ie ) es la tasa compuesta anualmente que produce el mismo valor futuro que colocar a las tasas anteriores. Por eso, Valor al final del primer año: Valor al final del segundo año:

19 Solución (continuación):
Invertimos y al cabo de 2 años obtenemos como valor final ,02. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación? Tasa efectiva de 25,30% anual

20 TASAS EQUIVALENTES Dos tasas son equivalentes si aplicadas a capitales iguales en el mismo periodo de tiempo producen el mismo capital final Tasa nominal: i Frecuencia anual: k Tasa nominal:j Frecuencia anual: p

21 Ejemplo Nº4 Hallar la tasa nominal anual capitalizable cuatrimestralmente que es equivalente a 60% nominal anual capitalizable mensualmente. R: 64,65%

22 En este sentido, la tasa efectiva es la tasa
Solución: Tasa: 64,65% nominal anual capitalizable Cuatrimestralmente. En este sentido, la tasa efectiva es la tasa anual equivalente

23 Los intereses de la fracción se calculan a interés simple
PERIODOS FRACCIONARIOS Convenio lineal Los intereses de la fracción se calculan a interés simple Convenio exponencial Los intereses de la fracción se calculan a interés compuesto con la tasa equivalente

24 Ejemplo Nº5 Una persona recibe un préstamo de Bs que cancelará en dos pagos de la siguiente manera: Bs dentro de diez meses y el resto dentro de un año. La tasa de interés es de 24% nominal anual con capitalización trimestral. Calcular el valor del último pago.

25 Solución ejemplo Nº5 24% a.c.t es equivalente a 6% t.c.t.
x 20.000 10000 10 12 24% a.c.t es equivalente a 6% t.c.t. La deuda se lleva al mes 12 y se igualan a los pagos llevados al mes 12

26 Ejemplo Nº6 En una institución financiera se colocan Bs al 30% nominal anual con capitalización mensual durante 20 años. Al finalizar los años 5 y 10 se retiraron Bs y Bs respectivamente. Si la tasa de interés disminuye a 18 % nominal anual capitalizado trimestralmente a partir de finales del séptimo año, determine la cantidad adicional que se debe depositar a principios del año 15, para compensar los retiros y la disminución de la tasa de interés y lograr reunir la misma cantidad que se hubiese obtenido de no producirse ningún cambio.

27 Solución ejemplo Nº6 5 10 14 X 20 7 18%

28 Ejercicios Se invierten durante 8 meses a la tasa de 20% nominal anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación? 2) Se invierten durante 1 año y 5 meses a la tasa de 24% nominal anual capitalizable trimestralmente. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación? 3) Se invierten durante 1 año y 6 meses a la tasa de 18% n.a.c.m., durante los ochos primeros meses y al 20% n.a.c.m., durante el resto de la operación. ¿Cuál es la tasa efectiva de la operación? R: 21,94%; 26,25%; 20,88%

29 Frecuencia de capitalización Tasa equivalente trimestral
Ejercicio 4 : Se colocan Bs a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla: Frecuencia de capitalización Tasa del periodo Tasa efectiva Capital Final Tasa equivalente trimestral Anual Semestral Cuatrimestral 12% Trimestral Bimestral Mensual 1.425,70 Quincenal Diaria 37,65 % n.a.

30 Ejercicio Nº5 Usted necesita $ para sus vacaciones de Diciembre con la familia. Si puede colocar el capital en un Banco que paga el 12% n.a. capitalizado mensualmente, ¿cuánto debe depositar el 1° de Febrero si quiere irse de vacaciones el 1° de Diciembre? R: 4.526,43 $

31 Ejercicio Nº6 Un inversionista coloca a una tasa de 20% nominal anual capitalizado trimestralmente, durante 15 años. Calcule: El total de intereses devengados entre final del año 6 y finales del primer trimestre del año 9. b) El total de intereses ganados hasta el final del año 15. R: Bs ,50; Bs ,73

32 Ejercicio Nº7 Se coloca una cantidad de dinero así: durante 9 meses a 20% anual capitalizado semestralmente, por los siguientes cuatro meses a 30% anual capitalizado mensualmente, por 8 meses más a una tasa de 27% anual capitalizado cuatrimestralmente y, finalmente, por 15 meses mas a una tasa de 24% anual capitalizado trimestralmente. El monto al término de la operación fue de ,14. Determine el capital inicial y la tasa efectiva anual de la operación. R: El capital inicial es tasa efectiva es 26,51%

33 TASAS VARIABLES ij es la tasa nominal con frecuencia kj durante nj periodos de capitalización.

34 Solución: 1) 2)

35 Solución: 3)

36 Frecuencia de capitalización Tasa equivalente trimestral
Solución 4: Se colocan Bs a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla: Frecuencia de capitalización Tasa del periodo Tasa efectiva Capital Final Tasa equivalente trimestral Anual 36% 1.360 31.96% n.a. Semestral 18% 39.24% 1.392,4 34.51% n.a. Cuatrimestral 12% 40.49% 1.404,9 35.48% n.a. Trimestral 9% 41.15% 1.411,5 36.00% n.a. Bimestral 6% 41.85% 1.418,5 36.53% n.a. Mensual 3% 42.57% 1.425,7 37.09% n.a. Quincenal 1,5% 42.95% 1.429,5 37.37% n.a. Diaria 0,1% 43.30% 1.433,0 37.65% n.a.

37 Solución Nº5: Necesita depositar 4.526,43 $

38 Solución Nº6 Diagrama Temporal:
6 8 9 15 1 9 trimestres I = ,36 – ,86 = ,50

39 Solución Nº7 El capital inicial es y la tasa efectiva es 26,51%