Matemáticas II. Profesor: Ing. Yadhira M. Rangel Carrillo.

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1 Matemáticas II. Profesor: Ing. Yadhira M. Rangel Carrillo.
Primer Parcial Universidad Regiomontana Unidad Roma

2 Ecuaciones Una ecuación es un enunciado en el que dos cantidades son iguales. Algunos ejemplos son: x + 5 = x – 5 = x2 – 4x + 5 = 0 La expresión 3x no es una ecuación, porque no contiene el signo = En la ecuación x + 5 = 21, la expresión x + 5 es llamada lado izquierdo, y 21 es llamado lado derecho. La letra x es llamada variable.

3 Resolución de Ecuaciones Básicas
Una ecuación puede ser verdadera o falsa. La ecuación = 21 es verdadera, pero la ecuación = 21 es falsa. La ecuación 2x – 5 = 11 podría ser verdadera o falsa, dependiendo del valor de x. Si x = 8, la ecuación es verdadera, porque cuando nosotros substituimos 8 por x obtenemos 11 2 (8) – 5 = 16 – 5 11 = 11

4 Ejemplo Es 6 una solución de 3x – 5 = 2x?
Solución: Nosotros debemos sustituir 6 por x y simplificar. 3x – 5 = 2x 3 *6 – 5 = 2 * 6 18 – 5 = 12 13 = 12 Entonces se dice que falsa, 6 no es la solución. Problema 1. Es 1 una solución de 2x + 3 = 5 ?

5 Propiedad de Adición de la Igualdad
Resolver una ecuación significa encontrar su solución. La propiedad dice: Suponga que a, b y c son números reales. Si a = b, entonces a + c = b + c Cuando nosotros usamos esta propiedad, el resultado de la ecuación tendrá la misma solución como la original. Se dice que las ecuaciones son equivalentes. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.

6 Ejemplo 2 Resolver x – 5 = 2 Solución: identifica el lado donde se encuentra x de uno de los lados del signo =, añade o suma 5 de ambos lados de la ecuación. x – 5 = 2 x – = 2 + 5 x – 0 = 7 x = 7 Resuelve: b – 21.8 = 13

7 Comprobación Comprueba que x – 5 = 2 es equivalente a x = 7.
Se sustituye 7 en x de la ecuación original y se simplifica. x – 5 = 2 7 – 5 = 2 2 = 2 Entonces, la solución es que sí son equivalentes.

8 Propiedad de substracción de la igualdad
Suponga que a, b, c son números reales. Tal que, Si a = b, entonces a – c = b – c Usamos esta propiedad para resolver la ecuación si será equivalente a la original. En el siguiente ejemplo, usamos la propiedad de substracción de la igualdad para resolver la ecuación x + 4 = 9 algebraicamente. Resolver si x + 4 = 9 es equivalente a x = 5

9 Solución: sí son equivalentes.
x + 4 = 9 x +4 – 4 = 9 – 4 x = 5 Debemos checar sustituyendo 5 en x en la ecuación original de la ecuación y simplificamos: 5 + 4 = 9 9 = 9 Solución: sí son equivalentes.

10 Propiedad de la Multiplicación de la Igualdad
Suponga que a, b, c son números reales y que c ≠ 0. Tal que, Si a = b, entonces c * a = c * b Ejemplo: resolver la ecuación x = 12 algebraicamente 3 3 ● x = 3 ● 12 x = 36 Problema: resolver la ecuación x = -7 algebraicamente 5

11 Propiedad de la División de la Igualdad
Suponga que a, b, c son números reales y que c ≠ 0. Tal que, Si a = b, entonces a = b c c Ejemplo: resolver 2x = 6 Solución. Aislar a x de uno de los lados del signo =, entonces para deshacer la multiplicación del 2 debemos dividir 2 en ambos lados. 2 x = 6 x = 3

12 Problemas Resolver : a ) -5x = 15 b ) 3x = 1 5 c) x = 3.12 2.15

13 Reducción de precio y Marcado (Ejemplo práctico de ecuaciones)
Cuando el precio de mercancía es reducido, la cantidad de reducción es llamado Reducción de Precio (markdown) o descuento. Encontrar el precio de venta de un producto, nosotros restamos el descuento del precio regular. Ejemplo: Un sofa está en venta en $650. Si ha sido marcado como descuento en $325, encuentra el precio regular. Precio de Venta = Precio Regular – Descuento 650 = r = r 975 = r

14 Precio al por menor = Costo al por mayor + Precio marcado
Problema Encuentra el precio regular de un sofa si el descuento es de $275. Un coche con un precio de etiqueta de $17,500 tiene un margen de beneficio de $ 3,500. Encuentra el precio de la factura (el precio de venta al por mayor) para el distribuidor Precio al por menor = Costo al por mayor + Precio marcado 17500 = w 17500 – = w = w El precio de la factura es $14,000. Encuentra el precio de la factura de un carro si el precio marcado es de $6,700

15 Resuelve los ejercicios. Tarea
Págs. 89 (1-20) y de la 90 (104). Pág. 91 ( )

16 Resolviendo más ecuaciones complejas
Resuelve: -12x + 5 = 17 -12 x = 17 – 5 x = - 12 12 x = -1 Resolver 2x + 3 = 15 Resolver x - 7 = -3 3

17 Resolviendo más ecuaciones complejas
Resolver x - 3 = 5 4 Resolver x = 9 3

18 Ecuaciones y Sistemas Resolver una ecuación es encontrar todas su soluciones o llegar a la conclusión de que no tiene ninguna. Ejemplo 1. a) x2-1=0 tiene dos soluciones, x =1 y x =-1 b) x2 + 1=0 es una ecuación sin soluciones en R. c) 2x +3y = 0 tiene infinitas soluciones, (0,0), (-3,2), (3, -2).... Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten la mismas soluciones. Se cumple: v Si se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la primera. v Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente a la primera. Trasposición de términos. Aplicando las reglas anteriores deducimos dos reglas prácticas: Ø Si un número aparece en un miembro sumando, se le puede pasar al otro miembro restando. Si esta restando pasará sumando. Ø De igual manera si está multiplicando pasa dividiendo y al revés. Esto se llama trasponer términos.

19 Ejemplo 2: La ecuación 5x - 1 = 2x -3 se puede escribir 3x + 2 = 0, trasponiendo términos. Nota : El segundo miembro de la ecuación se puede considerar siempre que es 0. Ecuaciones de primer grado La forma general de esta ecuación es a x +b =0 con a0 Trasponiendo y dividiendo por a se llega a . Solución que siempre existe y es única. Ejemplo 3. a) 3x +2 =0 Þ b) 7x + 2 = 2x -3 , si trasponemos términos, nos queda 7x –2x = -2 –3 Luego 5x = -5 de donde x = -1 Ecuaciones de segundo grado La forma general de una ecuación de 2º grado es: , donde a La solución de esta ecuación general viene dada por la fórmula:

20 Observación. A D = se llama discriminante de la ecuación de 2º y se verifica: Si D>0 la ecuación tiene dos soluciones conjugadas Si D =0 la ecuación tiene una única solución (doble) Si D <0 la ecuación no tiene ninguna solución real. Ecuaciones incompletas Si c =0 la ecuación se reduce a y sacando factor común x se tiene: x(ax +b) =0 Este tipo de ecuación siempre tiene dos soluciones. Ejemplo 4. 3x2-5x=0 x(3x-5)=0 Si b =0 la ecuación queda de donde Puede tener dos soluciones opuestas o ninguna solución, dependiendo de que el radicando sea o no positivo. Ejemplo 5. 2 x2-=0; 2 x2=Þ (dos soluciones)

21 Ejemplo 6. 3x2+1 =0 (no tiene ninguna solución) Resolución “práctica” de una ecuación Lo estudiamos con un ejemplo Ejemplo 7. Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden. 1º Quitar denominadores Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores. Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por 6, que es el m.c.m. de los denominadores. Nos queda 3(2x-3) -2(5x-1) =6 2º Quitar paréntesis Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva. Quitando paréntesis 6x-9 –10x+2=6 3º Trasposición de términos Se disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro. Trasponiendo términos 6x –10x = º Reducción de términos semejantes De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término: -4x = 13 5º. Despejar la incógnita Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a0)

22 Ejemplo 6. 3x2+1 =0 (no tiene ninguna solución) Resolución “práctica” de una ecuación Lo estudiamos con un ejemplo Ejemplo 7. Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden. 1º Quitar denominadores Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores. Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por 6, que es el m.c.m. de los denominadores. Nos queda 3(2x-3) -2(5x-1) =6 2º Quitar paréntesis Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva. Quitando paréntesis 6x-9 –10x+2=6 3º Trasposición de términos Se disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro. Trasponiendo términos 6x –10x = º Reducción de términos semejantes De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término: -4x = 13 5º. Despejar la incógnita Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a0)

23 Ejemplo 6.  3x2+1 =0              (no tiene ninguna solución)
Resolución “práctica” de una ecuación Lo estudiamos con un ejemplo Ejemplo 7.  Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden. 1º Quitar denominadores Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores. Multiplicamos los dos miembros de la igualdad  por 6, que es el m.c.m. de los denominadores. Nos queda                            3(2x-3) -2(5x-1) =6 2º Quitar paréntesis Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva. Quitando paréntesis            6x-9 –10x+2=6 3º Trasposición de términos Se disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro. Trasponiendo términos                     6x –10x =  4º Reducción de términos semejantes De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término: -4x = 13                                  5º. Despejar la incógnita Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a0)                                                                Observación. Dependiendo de la ecuación a resolver puede ocurrir que alguno de los pasos sea innecesario, se omite y se pasa al siguiente. Ecuaciones de primer grado Resuelve 1) 2) 3) 4) 5)  Solución.  Multiplicamos los dos miembros por 8 (es el m .c. m. de los denominadores)  (2x-4)2 = 40 +4x(x +1) 4x2 –16x +16 = x2 +4x 4x2 –16x +16 =40 +4x2 +4x Reduciendo términos semejantes: 16x-4x= x =24           = -1,2 6) Ecuaciones de segundo grado Resuelve las siguiente ecuaciones 1) –6x2 +5x-1=0 2) (5x-4)(2x+3) =5 3) x – 3x2 =0  Multiplicamos por el M. C. M de los denominadores, que es 2(2 +x): (2 +x)(2-x) +4.2 =2(2 +x) 4 –x2 +8 =4 + 2x, agrupando términos y organizando la ecuación 0 = x2 +2x –8 Þ 7) Aplicaciones de las ecuaciones de 2º grado Ø      Ecuaciones bicuadradas Ejemplo 8. La ecuación x4 – 5x2 +6=0 es bicuadrada (es de 4º grado sin potencias impares). Para resolverla se procede así: Se hace un cambio de incógnita   x2= y con lo cual                                                 x4 = y2 Sustituyendo en la ecuación:            y2-5y+6=0 que sí es de 2º grado y podemos aplicar la fórmula:    Sustituyendo los valores en la expresión  x2= y , x = obtenemos:                y En este caso la ecuación tiene 4 soluciones. Ejercicios Resuelve: 1) x4 –3x2+2=0 2) x4-13x2+36=0 3) x4-1=0 4) x4+ 4x2 =0 Como es incompleta, .al igual que en las de segundo grado, sacamos factor común x2(x2 +4) =0que tiene sólo la solución (doble) x =0 5) x4-9x2=0 6) 3x4 –5x2+2=0 7) x4+ x2+1=0 8) Ø      Resolución de ecuaciones irracionales. Ejemplo 9. Se procede de la forma siguiente: 1) Se aísla la raíz:       2) Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad: 4(x-1)=(4-x)2 Þ 4x-4 = 16-8x +x2 3) Se resuelve a ecuación de 2º grado que resulta x2-12x +20 =0         x =10 y x =2     (comprobarlo) 4) Se comprueban las soluciones Si x =10       16 - 4= 0 Falso, no es solución Si x =2                         4 - 4=0 Cierto,  si es solución. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones: Aislamos una de las raíces:       Elevamos al cuadrado               ( Volvemos a aislar la raíz que nos queda Elevamos al cuadrado 144(2x-1)=x2 +62x+961 288x -144 = x2 +62x +961 Es decir: x2 –226x =0 Comprobamos las soluciones: x =221 no es solución pues                       x =5     sí es solución 3=3

24 Sistema de Ecuaciones Se llama sistema de ecuaciones, a todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones. Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Hay exactamente una solución. Un número infinito de soluciones. No existe solución.

25 Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución
Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución. Sistema de Ecuaciones Lineales con dos variables. Eliminación de una incógnita. Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos.

26 Los métodos de eliminación son:
Por adición o sustracción. Por igualación. Por sustitúción.

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