Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 1 Manuel Mazo Quintas Daniel Pizarro Pérez Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá.

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1 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 1 Manuel Mazo Quintas Daniel Pizarro Pérez Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá. Email:mazo@depeca.uah.es,pizarro@depeca.uah.es VISIÓN POR COMPUTADOR

2 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 2 Contenido  Tratamiento de imágenes: Dominio de la frecuencia y del espacio.

3 Tratamiento de imágenes Dominio de la frecuencia Dominio del espacio

4 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 4 Alternativas de procesamiento de imágenes  Dominio del espacio  Dominio de la frecuencia (transformada de Fourier, del Coseno, wavelet, etc) f(u,v) F {f(u,v )} F(p.q) H(p,q) G(p.q)=F(p,q).H(p,q) F -1 {G(p,q)} g(u,v) f(u,v) h(u,v) g(u,v) = f(u,v)*h(u,v)  u,v: coordenadas espaciales (plano imagen)  p, q: frecuencias espaciales (frecuencia en la dirección de u y v respectivamente).  h(u,v): respuesta al impulso (respuesta a un punto de luz intenso caracterizado por la función delta de Dirac.  H(p,q): Función de transferencia del filtro.  * : operador convolución

5 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 5 Convolución espacial f(u,v) h(u,v) g(u,v) = f(u,v)*h(u,v) La respuesta al impulso h(u,v), se suele aproximar por funciones reducidas (3x3 componentes, frecuentemente). Estas funciones reducidas se suelen denominar “máscaras”. Los valores que toman cada una de las componentes de la “máscara”, dependerán de la función a realizar (filtro paso bajo, filtro paso alto, etc). En la figura se muestra una “máscara de 3x3 con valores: h(-1,-1), h(0,-1),h(1,-1), h(-1,0), h(0,0),h(1,0), h(-1,1),h(0,1),h(1,1) Tamaños típicos de máscaras: = 3  3, 5  5, 7  7, 9  9, 11  11. Dimensiones máscaras: números impares (lo que hace que exista un pixel central) v u h(0,0 ) h(-1,-1 ) h(0,-1 ) h(1,-1 ) h(-1,0 ) h(-1,1 ) h(1,0 ) h(0,1 ) h(1,1 )

6 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 6 p 1 ·pixel(1) p 2 ·pixel(2) p 3 ·pixel(3) p 4 ·pixel(4) p 5 ·pixel(5) p 6 ·pixel(6) p 7 ·pixel(7) p 8 ·pixel(8) p 9 ·pixel(9) Imagen de salida p 1 = h(-1,1), p 4 = h(0, -1), p 7 =(1,-1) p 2 = h(-1, 0), p 5 = (0, 0), p 8 =(1,0) p 3 = h(-1,1), p 6 =(0,1), p 9 =(1,1) p1p1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Imagen de entrada Máscara de 3x3 p2p2 p3p3 p4p4 p5p5 p6p6 p7p7 p8p8 p9p9 u v h(u,v) Convolución espacial El proceso se repite para todos los puntos de la imagen

7 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 7 Convolución espacial  Tamaño de imagen = M  N  Tamaño de máscara = mxn  Tamaño de la convolución = [M- m +1]  [ N-n+1] u v h(0,0 ) h(-1,-1 ) h(0,-1 ) h(1,-1 ) h(-1,0 ) h(-1,1 ) h(1,0 ) h(0,1 ) h(1,1 )

8 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 8 Ejemplo de convolución Filtro paso bajo f(u,v) g(u,v)

9 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 9 ´¿Qué sucede con los puntos de borde de la imagen?  La solución a los píxeles de borde pueden ser varias: 1.Pasar la máscara por todos los píxeles de la imagen, excepto por los de bordes (esto hace que la imagen de saliada sera más reduciada en tamaño: Si tamaño de imagen original: MxN y tamaño máscara nxn, el tamaño de al imagen de salida es: [M-(n- 1)]x[N-(n-1)]. 2Añadiendo filas y columnas en los bordes de la ímagen con píxeles del mismo valor de intensidad que los de las filas y columnas de borde. Si la máscara es de nxn el número de filas y columnas a añadir será (n-1). 3Rellenar con ceros a las filas y columnas fuera de la imagen.  La solución más frecuente es la 1

10 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 10 Transformada de Fourier f(u,v) F {f(u,v )} F(p.q) H(p,q) G(p.q)=F(p,q).H(p,q) F -1 {G(p,q)} g(u,v) p, q: frecuencias espaciales

11 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 11 Muestreo grueso: 20 puntos por fila y 14 por columna Muestreo fino: 100 puntos por fila y 68 por columna Intérvalo de muestreo Cada punto rojo corresponde a una muestra Transformada de Fourier Resolución espacial (recordatorio)

12 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 12 Transformada de Fourier Resolución espacial (recordatorio) Obsérvese el entorno de la valla Intervalo de muestreo Zona clara Zona oscura ! No se detecta la valla !

13 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 13 Transformada de Fourier Resolución espacial (recordatorio) Anterior Intervalo de muestro Ahora se puede ver la valla ¿Cuál es la diferencia entre la situación anterior y la atual? Nuevo Intervalo de muestro Obsérvese el entorno de la valla

14 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 14 Transformada de Fourier Resolución espacial (recordatorio) Considerando la estructura repetitiva de la valla Intervalo de muestreo Caso 1: S 1 = d El intervalo de muestreo es igual al tamaño de la estructura que se repite Ausencia de Valla Caso 2: S 2 = d/2 El intervalo de muestreo es la mitad de la estructura que se repite Presencia de Valla S1S1 S2S2 d

15 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 15 Transformada de Fourier Resolución espacial (recordatorio) x(t) t Señal analógica de banda limitada (B) f -B B X(f) x(n)=x(nT) n T X(f/f s ) -f s f s /2fsfs f 1/T=f s  2B X(f/f s ) -f s f s /2 fsfs f x(n)=x(nT) n T 1/T=f s <2B señal Componentes espectrales

16 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 16 Transformada de Fourier Relación: resoluciones espacial-frecuencial ΔuΔu ΔvΔv ΔpΔp ΔqΔq p q Imagen original Espectro imagen original Imagen muestreada Espectro imagen muestreada La resolución frecuencial en las frecuencias p y q será tanto mayor cuanto más información visual N  u y N  v esté disponible

17 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 17 Transformada de Fourier Relación: resoluciones espacial-frecuencial  Las máximas frecuencias calculables serán:  Las máximas frecuencias computables en las dos dimensiones espaciales de una imagen digital son inversamente proporcionales a las correspondientes resoluciones espaciales.  O lo que es lo mismo “para poder evaluar una determinada frecuencia máxima de una imagen digital es preciso muestrear la imagen continua con una resolución espacial mínima que sea igual a la inversa de la frecuencia máxima de interés”

18 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 18 Transformada de Fourier Ejemplos Tu= 16 píxeles f(u,v): variación sinusoidal en u Tu= 4 píxeles |F(p,q) |

19 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 19 Transformada de Fourier Ejemplos f(u,v) F(p,q)

20 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 20 Transformada de Fourier Propiedades  Traslación  Rotación Rotando f(u,v) un ángulo θ 0 se rota F(p,q) el mismo ángulo

21 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 21 Transformada de Fourier Propiedades  Valor medio  Laplaciana  Escalado

22 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 22 Transformada de Fourier Filtro paso bajo H(p,q) q p 1 D0D0 D0D0 D(p,q)/D 0 0 1 F. P. Bajo Filtro de Butterworth D 0 = frecuencia de corte

23 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 23 Transformada de Fourier Filtro paso alto H(p,q) D(p,q) D0D0 1 0 H(p,q) D(p,q)/D 0 Filtro de Butterworth D 0 = frecuencia de corte

24 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 24 Transformada del coseno  Transformada del coseno: Para una imagen de NxN  Como se puede ver, utiliza, al igual que la transformada de Fourier, funciones base sinusoidales. La diferencia está en que aquí las funciones base no son complejas.  Se utiliza ampliamente para la compresión de imágenes, en particular en el método Joint Photographic Experts Group (JPEG).

25 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 25 JPEG (Joint Photographic Experts Group) Es el estandar de compresión con perdidas más extendido. La compresión se consigue cuantificando los coeficientes de la DCT Se consiguen muy buenos resultados con imágenes naturales. Bloque DCT Bloque Pixel 8x8 Bloque Pixel 8x8 Cuantificador Cod Binario Cod Binario 0100011100 DCT 8x8 Basis

26 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 26 JPEG (Joint Photographic Experts Group) La cuantificación se realiza con un salto variable en función de la frecuencia. Se penalizan altas frecuencias a las que el ojo humano es menos sensible. La matriz de cuantificación establece un nivel para cada elemento de salida 8x8 de la DCT.

27 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 27 JPEG (Joint Photographic Experts Group) 1121 bytes 1736 bytes 2862 bytes 5271 bytes 8046 bytes 192 Kbytes

28 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 28 Transformada del coseno  En el tratamiento de imágenes es frecuente que las matrices base se representen como imágenes, llamadas las imágenes base, donde se utilizan diferentes valores de gris para representar los diferentes valores en las matrices base. q p 0 0 1 1 2 2 3 3

29 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 29 Transformada del coseno  La transformada inversa viene dada por: donde  (p) y  (q) responden a las expresiones dadas en la transparencia anterior.

30 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 30 Transformada de Wavelets  Es una transformada de duración limitada que tiene valor medio cero.  Mientras que la transformada de Fourier permite la descomposición de la señal en ondas sinusoidales de diferentes frecuencias.  La transformada wavelet consiste en representar cualquier función arbitraria “f” como una superposición de un conjunto de wavelets o funciones base.  La transformada wavelet de una señal “f” unidimensional es la familia de coeficientes C(a,b):  Los índices a, b se asocian con el escalado y la posición de la señal.  De la ecuación anterior se deduce que esta transformada se define como la suma sobre todo el intervalo de la señal multiplicada por las versiones escaladas y trasladadas de la función wavelet.  Multiplicando cada coeficiente por la apropiada wavelet escalada y trasladada se obtienen las wavelets que componen la señal original.

31 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 31 Transformada de Wavelets Obtención de coeficientes C(a,b) Tramo n Señal Wavelet (a 1,b) Paso1Paso2........... Paso n Desplazamiento de la wavelet entre cada tramo de la señal Tramo 1 C 12 C 1n Escalado de wavelet Wavelet (a 2,b) Señal Paso1 Paso2........... Paso n Desplazamiento de la wavelet entre cada tramo de la señal Tramo 1´ C 21 C 22 C 2n Tramo n´ Repetir para todos los escalados

32 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 32 Transformada de Wavelets Obtención de coeficientes C(a,b)  En el caso discreto (TDW- Transformada Discreta Wavelets-) se elige un subconjunto de escalas y posiciones. El análisis resulta más sencillo si ambas son potencia de 2.  Para el caso bidimensional la familia de wavelets viene dada por.

33 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 33 Transformada de Wavelets  Una forma sencilla para implementar la TDW cuando escalas y posiciones son potencia de 2, fue propuesta por Woods y O´Neill (1986) y Mallat (1989), mediante el uso de filtros.  Para muchas señales, el contenido en baja frecuencia es la parte más importante porque proporciona a la señal su identidad (caso de imágenes), y el contenido en alta frecuencia matiza este contenido.  En el caso de una imagen, un filtro paso bajo suaviza la imagen (pero se sigue viendo), pero un filtro paso alto extrae bordes (deja de verse el contenido).  Por ello se habla de descomposición de la señal en componentes (a) aproximación de baja frecuencia y (b) detalle de la señal.  El resultado de descomponer la señal de entrada en versiones paso bajo y paso alto, se conoce generalmente como sub-bandas.  Cada sub-banda se puede seguir descomponiendo por el mismo procedimiento.  De esta manera se dice que la TDW descompone una señal de entrada en un cierto número de bandas de frecuencia.

34 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 34 Transformada de Wavelets Aplicación en imágenes  Cuando se trata de imágenes, esta transformada descompone la imagen original en cuatro imágenes submuestreadas o diezmadas.  En imágenes, el submuestreo se realiza cada dos píxeles.  El resultado consta de: Una imagen que ha sido filtrada mediante un filtro paso alto tanto en la dirección vertical como horizontal. Una imagen que ha sido filtrada mediante un filtro paso alto en la dirección vertical y paso bajo en la horizontal Una imagen que ha sido filtrada mediante un filtro paso bajo en la dirección vertical y paso alto en la horizontal. Una imagen que ha sido filtrada mediante un filtro paso bajo tanto en las dos direcciones.  Esta transformada se implementa típicamente en el dominio espacial utilizando filtros de convolución 1-D. Estos filtros deben ser de reconstrucción perfecta (entre otras, esto supone que cualquier distorsión introducida por la transformada directa, debe ser cancelada por la inversa)

35 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 35.  Entre los filtros propuestos (vectores base) están los de Daubechies y el de Haar.  Una vez elegidos los vectores base para las respectivas operaciones paso bajo/paso alto se obtiene la TDW a través de los siguientes pasos: Transformada de Wavelets Aplicación en imágenes

36 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 36 Transformada de Wavelets Aplicación en imágenes 1.Realizar la convolución de las filas con el filtro paso bajo y guardar los resultados. 2.Realizar la convolución de las columnas con el filtro paso bajo, a partir de los resultados del paso 1. Obtener una imagen reducida tomando sólo un píxel de cada dos; esto genera una versión que se denomina paso bajo/paso bajo de la imagen. 3.Realizar la convolución del resultado del paso con un filtro paso alto en las columnas. Obtener una imagen reducida tomando sólo yn píxel de cada dos, obteniendo ahora una imagen paso bajo/paso alto. 4.Realizar la convolución de la imagen original con un filtro paso alto en las filas y guardar resultado. 5.Realizar la convolución del resultado del paso 4 con un filtro paso bajo en las columnas. Obtener una imagen reducida tomando sólo un píxel de cada dos, obteniendo una imagen paso alto/paso bajo. 6.Realizar la convolución de las columnas del resultado del paso 4 con el filtro paso alto. Obtener una imagen reducida tomando sólo un píxel de cada dos, obteniendo una imagen paso alto/paso alto.

37 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 37 Transformada de Wavelets A lgoritmo de filtrado por filas y columnas 2 1 1 2 PBD PAD PBD PAD Columnas Filas Columnas f f1f1 f4f4 f3f3 f2f2 x : convolución con el filtro X de las filas de la entrada filas x : convolución con el filtro X de las columnas de la entrada Columnas : submuestreo de columna, mantener las pares 2 1 : submuestreo de fila, mantener las pares 1 2 Quadrature Mirror Filterbanks (QMF)

38 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 38 Transformada de Wavelets Ejemplo PBD 2 1 PBD 1 2 Ejemplo que muestra la descomposición pasa bajo/paso bajo, para la imagen original “f” “f” filas columnas f1f1 De forma similar se pueden obtener f 2, f 3, y f 4 f2f2 f3f3 f4f4 (BB) (BA) (AB) (AA) Paso bajo/paso Bajo =BB, paso bajo/paso alto= BA, paso alto/paso bajo =AB, paso alto/paso alto = AA

39 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 39 Transformada inversa de Wavelets 2 1 1 2 PBI PAI PBI PAI Columnas Filas Columnas f f1f1 f4f4 f3f3 f2f2 1 2 2 1 + :extender imagen, dada una imagen con m columnas, insertar m-1 columnas de ceros entre las m columnas dadas 1 2 :extender imagen, dada una imagen con n filas, insertar n-1 filas de ceros entre las n filas dadas

40 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 40 Transformada inversa de Wavelets Ejemplo PBI 2 1 PBI 1 2 Subimagen resultante filas columnas f1f1 (BB)

41 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 41 Transformada de Hotelling (Análisis de Componentes Principales –PCA-)  Si disponemos de un conjunto de M imágenes de dimensión NxN, el vector imagen de una imagen genérica “k”es:  Por tanto, una imagen se representa como un vector columna de N 2 componentes. Este espacio le denominaremos “espacio de imagen”.

42 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 42 Transformada de Hotelling (Análisis de Componentes Principales –PCA-)  Para estos M vectores de imagen, la estimación del vector media es:  Por tanto, cada imagen I k difiere de la media en  k =I k - .

43 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 43 Transformada de Hotelling (Análisis de Componentes Principales –PCA-) Imagen 1 (I 1 ) Imagen 2 (I 2 ) Imagen 3 (I 3 ) Imagen 4 (I 4 ) Media  22

44 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 44 Transformada de Hotelling (Análisis de Componentes Principales –PCA-)  La matriz de las  i, i = 1,2,..., M, la identificaremos por A:  Para la matriz de imágenes diferencia, la estimación de la matriz de covarianza viene dada por:  C A es una matriz simétrica de dimensiones N 2 xN 2.

45 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 45 Transformada de Hotelling (Análisis de Componentes Principales –PCA-)  Dado que C A es simétrica y real, siempre se puede encontrar un conjunto de N 2 autovectores ortogomales.  Los autovalores y autovectores de C A vienen dados por:  Por tanto llamando U a los autovectores de C A (ordenando en orden creciente al valor de los autovalores), entonces:

46 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 46 Transformada de Hotelling (Análisis de Componentes Principales –PCA-)  Suponiendo la siguiente transformación Espacio imagen Espacio transformado A 

47 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 47 Transformada de Hotelling (Análisis de Componentes Principales –PCA-)  Dado que la media de los vectores  resultantes de la transformación es cero:  Puesto que los autovectores de U constituye un conjunto ortonormal, la matriz U es una matriz diagonalizante de C A.  En consecuencia C  es una matriz diagonal, y sus elementos a lo largo de la diagonal principal son los autovalores de C A (C  y C A tienen los mismos autovalores y autovectores)

48 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 48 Transformada de Hotelling (Análisis de Componentes Principales –PCA-)  En la transformación directa se realiza la operación.  La reconstrucción de las imágenes (teniendo presente que U -1 =U T )  Y finalmente I i se obtiene como.

49 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 49 Transformada de Hotelling (Análisis de Componentes Principales –PCA-)  Si de los M autovalores de C A (o C  ) 1 > 2 > …> K >…> M se pueden despreciar algunos de ellos, por ejemplo los inferiores a K, entonces quedrán los autovectores asociados a los K autovalores, y en consecuencia:  La obtención de las imágenes de partida a partir de  K viene dado por:  Se puede demostrar que el error que se comete entre viene dado por:  Lógicamente si K=N 2 entonces  2 =0

50 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 50 Transformada de Hotelling (Análisis de Componentes Principales –PCA-)  Para calcular los autovalores y autovectores de AA T, reduciendo el proceso de cálculo, se puede proceder como sigue:  La matriz AA T es de dimensiones N 2 xN 2 y A T A es de MxM (siendo M el número de imágenes, y frecuentemente M<<N 2 ). Dado que:  Por tanto, para el cálculo de los autovalores y autovectores de AA T (que hemos denominado por i,  i ) se procede de la siguiente manera: Obtener los M autovalores y autovectores de A T A,  i y i : Obtener los autovectores de AA T a partir de:

51 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 51 Transformada de Hotelling (Análisis de Componentes Principales –PCA-) Distancia a la media  1 =  1 -  (N 2 x1) Imagen M  Imagen 1 I 1 (N 2 x1) Imagen M I1I1 I2I2 I3I3 IMIM 11 MM 33 22 Imagen media  (N 2 x1) Covarianza K autovalores mayores 1, 2, …, K K autovectores asociados U K T =[u 1, u 2, …, u K ] T Espacio transformado

52 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 52 Transformada de Hotelling (Análisis de Componentes Principales –PCA-)  Imagen 1 I 1 (N 2 x1) Imagen M I1I1 I2I2 I3I3 IMIM Nº de datos: MxN 2 Espacio transformado Coeficientes de  K : KxM Coeficientes de U K : N 2 xK Coeficientes de  : N 2 x1  =Nº de datos: N 2 x(K+1)+KxM Diferencia: (M-K-1)N 2 -KxM Espacio original

53 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 53 Ejemplo PCA Imágenes originales Autovalores: 0 0.04228E8, 0.9486E8, 1.5601E8, 4.6721E8

54 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 54 Ejemplo PCA Imágenes recuperadas Original recuperada con 3 autove. recuperada con 1 autove.

55 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 55 Ejemplo PCA Imágenes recuperadas Original recuperada con 3 autove. recuperada con 1 autove.

56 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 56 Ejemplo PCA Imágenes recuperadas Original recuperada con 3 autove. recuperada con 1 autove.

57 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 57 Ejemplo PCA Imágenes originales Autovalores: 0 0.3993E7 1.0604E7 1.4405E7 4.2507E7

58 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 58 Ejemplo PCA Imágenes recuperadas Original recuperada con 3 autove. recuperada con 1 autove.

59 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 59 Ejemplo PCA Imágenes recuperadas Original recuperada con 3 autove. recuperada con 1 autove.

60 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 60 Ejemplo PCA Imágenes recuperadas Original recuperada con 3 autove. recuperada con 1 autove.

61 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 61 Transformada de Walsh-Hadamard  A diferencia de las de Fourier y Coseno, las funciones base no son sinusoidales, sino rectangulares o cuadradas con picos de  1.  Para una imagen de NxN esta transformada viene dada por:  Donde N=2 n.  El exponente de (-1) se realiza en base 2 y b i (u) se calcula considerando u como un número binario y encontrando el i-ésimo bit.

62 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 62 Transformada de Walsh-Hadamard  ¿Cómo se obtiene b i (u) y b i (v)?  Por ejemplo: n=4 (N=16) y u=2  u (2 =0010, por tanto b 0 (u)=0, b 1 (u)=1 b 2 (u)=0 y b 3 (u)=0. x n-1 x n-2 x n-3 ……… x 3 x 2 x 1 x 0 Representación binaria de u con n bits (x=0,1) b n-1 (u) b n-2 (u) b n-3 (u) ……… b 3 (u) b 2 (u) b 1 (u) b 0 (u) x n-1 x n-2 x n-3 ……… x 3 x 2 x 1 x 0 Representación binaria de v con n bits (x=0,1) b n-1 (v) b n-2 (v) b n-3 (v) ……… b 3 (v) b 2 (v) b 1 (v) b 0 (v)

63 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 63 Transformada de Walsh-Hadamard  ¿Cómo se obtienen los valores de c i (u) y c i (v)?  La transformada de Walsh-Hadamard no es una transformada de frecuencia, ya que las funciones base no exhiben el concepto de frecuencia de una manera sinusoidal.  En este tipo de funciones se utiliza el número de cambios de signo, que da un idea de la frecuencia. El número de cambios de signo se denomina secuencia.

64 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 64 Transformada de Walsh-Hadamard  En la figura se muestran las imágenes base para la transformada de Walsh-Hadamard con N=4. Cada bloque consta de 4x4 elementos, correspondientes a la variación de u y v de 0 a 3. El origen de cada esquina se sitúa en la parte superior izquieda. Los blancos se corresponden a +1 y los negros a -1 q p

65 Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 65 Transformada de Walsh-Hadamard  La transformada inversa de Walsh-Hadamard es:  Esta transformada presenta una secuencia creciente a partir del origen, al igual que la del seno lo hace con la frecuencia.