@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 Tema 2 ECUACIONES Y SISTEMAS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 Tema 2 ECUACIONES Y SISTEMAS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT2 Tema 2.2bis * 1º BCT FACTORIZACIÓN

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT3 Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Sea P(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d Donde a, b, c y d son números enteros. Se debe cumplir, si r es una raíz de P(x): a.r 3 + b.r 2 + c.r + d = 0 r.(a.r 2 + b.r + c) = - d Vemos que r es un factor de – d O sea, que r es un divisor entero de d. Si el polinomio P(x) no presenta término independiente, x=0 será una raíz o solución de la ecuación P(x) = 0 Para hallar las raíces enteras de un polinomio se aplicará el Teorema del Resto con todos los divisores enteros del término independiente. Raíces enteras de P(x)

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT4 EJEMPLO 1 Sea P(x) = x 3 + 2.x 2 - 5.x - 6 Tenemos que resolver la ecuación: x 3 + 2.x 2 - 5.x - 6 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6}, o sea los divisores de 6. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto. Las soluciones o raíces son: x = -1, x = 2 y x = -3 EJEMPLO 2 Sea P(x) = x 3 + x 2 + 4.x + 4 Tenemos que resolver la ecuación: x 3 + x 2 + 4.x + 4 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, -2, 4, - 4}, o sea los divisores de 4. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: La única raíz entera es x = -1

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT5 EJEMPLO 3 Sea P(x) = x 3 - 3 x 2 + 3.x - 1 Tenemos que resolver la ecuación: x 3 - 3 x 2 + 3.x - 1 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1}, o sea los divisores de 1. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: x = 1 es la única raíz ¿Y las otras 2 raíces, puesto que puede haber hasta tres?. ¿Son fraccionarias, no enteras?. ¿O no son reales?. Pues en este caso resulta que las otras dos raíces también son enteras, pero al ser del mismo valor que la hallada, no nos hemos apercibido. Para evitar que, al repetirse dos o más veces una misma raíz, las omitamos cometiendo un error, emplearemos el método escalonado de Ruffini, sobre todo si el cociente es un polinomio de grado tres o superior.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT6 TEOREMA DEL FACTOR RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero. Cumplen la ecuación: P(x)=0 Por el Teorema del Resto, si a es una raíz, entonces P(a) = 0 TEOREMA DEL FACTOR Si el resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a) es 0, entonces la división es exacta y a es una raíz del polinomio. Se cumple que: P(x) = (x – a).C(x) Siendo C(x) el cociente que nos haya dado la división. (x – a) será un factor de P(x). P(x) se podrá entonces factorizar, convertir en un producto de polinomios.

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT7 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. CASOS A CONSIDERAR 1.-Que a P(x) le falte el término independiente. P(x) = a.x 3 + b. x 2 + c.x Extraemos factor común a x y lo tendremos factorizado: P(x) = x.(a.x 2 + b. x + c ) Ejemplos 1.-P(x) = 3.x 3 + 4.x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(3.x 2 + 4 ) 2.-P(x) = 2.x 4 - 3.x 2  Extraemos factor común a x P(x) = x.(2.x 3 - 3.x ) = x.x.(2.x 2 - 3 ) = x 2.(2.x 2 - 3 )

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT8 2.-Que P(x) sea el desarrollo de un producto notable. Se identifica el producto y se expresa como producto de factores o potencia. Ejemplos x 2 + 6x + 9 = ( x + 3 ) 2 2 – 4y 2 = (√2 + 2y).(√2 – 2y ) 3.-Que P(x) al ser dividido entre (x – a) resulte una división exacta (resto = 0). En ese caso como P(x) = d(x).c(x) + r(x) y r(x) = 0 Resulta que P(x) = (x - a). c(x), que es el producto de dos polinomios. Ejemplo Sea P(x) = x 3 - 3.x 2 + 3.x - 1 Como el 1 es una raíz x 3 - 3.x 2 + 3.x - 1 = ( x - 1).( x 2 – 2.x + 1) Y ya estaría factorizado, aunque no completamente.