@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 Tema 14 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 Tema 14 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 Tema 10.3 * 1º BCS AMPLIACIÓN DEL BINOMIO DE NEWTON

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Observar las potencias: Fijarse en los coeficientes: 0 (a+b) = 1 1 1 (a+b) = a + b 1 1 2 2 2 (a+b) = a + 2.a.b + b 1 2 1 3 3 2 2 3 (a+b) = a + 3.a.b + 3.a.b + b 1 3 3 1 4 4 3 2 2 3 4 (a+b) = a + 4.a. b + 6.a. b + 4.a. b + b 1 4 6 4 1............ =..................... Ya vistos por ser todos productos notables. Forman un triángulo llamado Triángulo de Tartaglia BINOMIO DE NEWTON

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 PROPIEDADES, que podemos comprobar con los ejemplos que sirven de base para el desarrollo de Newton: 1.-El número de sumandos o términos del desarrollo siempre es igual al número del exponente más uno. 2.-Los coeficientes numéricos forman siempre un triángulo, donde un coeficiente cualquiera es siempre igual a la suma de los dos coeficientes que están por encima de él. 3.-El grado de todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio. 4.-El grado del primer término del binomio, de ‘a’, va disminuyendo desde el valor del exponente hasta cero. 5.-El grado del segundo término del binomio, de ‘b’, va aumentando desde cero hasta el valor del exponente. 6.-La suma de los grados de ‘a’ y de ‘b’, en todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio. 7.-Si el binomio es una resta en lugar de una suma, los términos de lugar par del desarrollo serán de signo negativo. 8.-Los coeficientes numéricos presentan siempre simetría. Son todos ellos Combinaciones sin repetición: C m,n donde ‘m’ es el exponente del binomio y ‘n’ varía de 0 a ‘m’

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 EJEMPLOS DEL BINOMIO DE NEWTON (x + 2) 5 = C 5,0.x 5 + C 5,1.x 4.2 + C 5,2.x 3.4 + C 5,3.x 2.8 + C 5,4.x.16 + C 5,5. 32 (x – 3) 4 = C 4,0.x 4 – C 4,1.x 3.3 + C 4,2.x 2.9 – C 4,3.x. 27 + C 4,4. 81 (4 – x) 5 = C 5,0.4 5 – C 5,1.4 4.x + C 5,2.4 3. x 2 – C 5,3.4 2. x 3 + C 5,4. 4. x 4 – C 5,5. x 5 (x + 1) 17 = C 17,0.x 17 + C 17,1.x 16 + C 17,2.x 15 + …. + C 17,16.x + C 17,17 (x + 3) 5000 = C 5000,0.x 5000 + C 5000,1.x 4999.3 + C 5000,2.x 4998.9 + … + C 5000,5000. 3 5000 (– 2.x – 3) 9 = C 9,0.(- 2x) 9 + C 9,1.(- 2x) 8.(- 3) + C 9,2.(- 2x) 3.(- 3) 2 +…. + C 9,9.(- 3) 9

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS m m I.( ) = ( ) = 1 0 m m m II.( ) = ( ) n m – n m m m + 1 III. ( ) + ( ) = ( ) n – 1 n n m m m m IV.( ) + ( ) + ( ) + … + ( ) = 2 m 0 1 2 m

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 Ejemplos (Verificación) 5 5 I.( ) = ( ) = 1  5! / 0!.(5 – 0)! = 5! / 1.5! = 1 0 5 6 6 II.( ) = ( )  6! / 2!.(6 – 2)! = 6! / 4!.(6 – 4)! ; 15 = 15 2 4 5 5 6 III. ( ) + ( ) = ( )  5! / 3!.(5 – 3)! + 5! / 4!.(5 – 4)! = 3 4 4 = 6! / 4!.(6 – 4)!  20 / 2 + 5 / 1 = 30 / 2  10+5 = 15 3 3 3 3 IV.( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 2 3  1 + 3 + 3 + 1 = 2 3  8 = 8 0 1 2 3

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 EXPRESIÓN FORMAL DEL BINOMIO DE NEWTON m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 m m (a+b) = C.a + C.a. b + C. a. b +... + C. b m m m m Ejemplo: 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 (7+ 5) = C.7 + C.7. 5 + C. 7. 5 + C. 7. 5 + C. 5 4 4 4 4 4 4 4 3 2 2 3 4 12 = 1. 7 + 4.7.5 + 6.7.5 + 4.7.5 + 1.5, que se puede comprobar. BINOMIO DE NEWTON

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Tema 10.4 * 1º BCS EXPERIMENTO DE BERNOUILLI

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Se conoce como experimento de Bernouilli un experimento aleatorio que sólo tiene dos resultados posibles, complementarios entre sí. Los sucesos de un experimento de Bernouilli se denominan éxito (E) y fracaso (F). Se considera la variable aleatoria X que asocia al suceso éxito el valor 1, y al suceso fracaso el valor 0. P(X=1) = p,, P(X=0) = 1 – p = q CÁLCULO DE PARÁMETROS MEDIAμ = 0.q + 1.p = p DESVIACIÓN TÍPICAσ = √ (0 2.q + 1 2.p – p 2 ) = √ p.(1 – p) = √ p.q Como toda función de probabilidad discreta, p+q = 1, con p >0 EXPERIMENTO DE BERNOUILLI

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 Si un experimento de Bernouilli se repite n veces, tendremos: n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 n n ( q + p ) = C. q + C. q. p + C. q. p +... + C. p n n n n Siendo p la probabilidad de éxito (E) y q la de fracaso (F). Como p+ q = 1 siempre, la suma de los (n + 1) términos es 1. Y cada uno de los sumandos es una probabilidad: P(X=0) = probabilidad de 0 éxitos P(X=1) = probabilidad de 1 éxitos P(X=2) = probabilidad de 2 éxitos ……………………………………… P(X=k) = probabilidad de k éxitos …………………………………….. P(X=n) = probabilidad de n éxitos Al tener el experimento de Bernouilli sólo dos valores de la variable, podemos aplicar el Binomio de Newton en su repetición.

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 EJEMPLO DE APLICACIÓN de DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Se sabe que 7 de cada 10 personas tienen el carnet de conducir. Se toma una muestra aleatoria de 3 personas. Hallar la probabilidad de que 0 personas tengan el carnet. Hallar la probabilidad de que 1 personas tengan el carnet. Hallar la probabilidad de que 2 personas tengan el carnet. Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet. Resolución La probabilidad de que una persona cualquiera tenga el carnet es: P(E) = p = 7/10 = 0,70 por la Regla de Laplace. La probabilidad de que no lo tenga será: P(F) = 1 – P(E) = 1 – p = 1 – 0,70 = 0,30 = q Es un experimento de Bernouilli. Mediaμ = p = 0,70 Desviación típicaσ = √ p.q = √ 0,70.0,30 = √ 0,21 = 0,4582

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 Tomar una muestra de 3 personas y ver si tienen o no el carnet de conducir es repetir el experimento de Bernouilli tres veces. Estamos en la llamada Distribución Binomial y se denota así: B(n,p) Donde p es la probabilidad de éxito y n el número de veces que se repite el experimento de Bernouilli. En nuestro ejemplo: B(3, 0,7) Y ayudándonos por el Binomio de Newton: 3 0 3 1 2 2 2 3 3 ( 0,3 + 0,7 ) = C. 0,3 + C. 0,3. 0,7 + C. 0,3. 0,7 + C. 0,7 = 3 3 3 3 = (1.0,027) + (3.0,063) + (3.0,147) + (1.0,343) = = 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343, que son respectivamente las probabilidades de que tengan carnet de conducir 0, 1, 2 y 3 personas. Se cumple que: (0,3 + 0,7) 3 = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) Como (0,3 + 0,7) 3 = 1 3 = 1, se puede comprobar que la suma es 1. 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 = 1

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 Ampliación del EJEMPLO Se sabe que 7 de cada 10 personas tienen el carnet de conducir. Se toma una muestra aleatoria de 8 personas. Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet. Hallar la probabilidad de que ninguna persona tenga el carnet. Hallar la probabilidad de que más de una persona tenga el carnet. Hallar la probabilidad de que 4 ó 5 personas tengan el carnet. Resolución La probabilidad de que una persona cualquiera tenga el carnet es: P(E) = p = 7/10 = 0,70 por la Regla de Laplace. P(F) = q = 1 – P(E) = 1 – p = 1 – 0,70 = 0,30 Podemos usar el binomio de Newton: 8 0 8 1 7 ( 0,3 + 0,7 ) = C. 0,3 + C. 0,3. 0,7 + … 8 8 Pero es excesivamente largo (9 sumandos) y laborioso. Tenemos que ir directamente al sumando o sumandos correspondientes y calcular sus valores. Y si podemos usar Tablas, mejor.

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I15 …. Ampliación del EJEMPLO B(n, p)  B(8, 0´7), donde p=0,7, q = 0,3 Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet. r n – r 3 5 P(X=r) = C. p. q = C.0,7.0,3 = 56.0,343.0,00243 = n, r 8,3 = 0,046675 Hallar la probabilidad de que ninguna persona tenga el carnet. 0 8 P(X=0) = C. 0,7.0,3 = 1.1.0,000065 = 0,000065 8, 0 Hallar la probabilidad de que más de una persona tenga el carnet. P(X>1)=1 – P(X=0) – P(X=1) = 1 – 0,0001 – 0,0012 = 0,9987 Hallar la probabilidad de que 4 ó 5 personas tengan el carnet. P(X=4)+P(X=5) = 0,1361 + 0,1468 = 0,2829 Nota: Cuando p > 0,5 no podemos usar las Tablas directamente. Argucia: Si p=0,7 y nos piden P(X=5) en la binomial B(8, 0,7), equivale a hallar P(X=3) en la Binomial B(8, 0,3). Hallar la probabilidad de que 5 de las 8 personas tenga carnet es lo mismo que hallar la probabilidad de que 3 de las 8 personas no lo tengan.

16 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I16 USO DE TABLAS Si p>0,50 invertimos el enunciado y podemos usar las Tablas Ahora tenemos B(8, 0,3), donde P(E) es que no tengan carnet. Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet. Hallar la probabilidad de que 5 personas NO tengan el carnet. Por Tablas: P(X=5) = 0,0467 Hallar la probabilidad de que ninguna persona tenga el carnet. Hallar la probabilidad de que Todas las persona no tenga el carnet. Por Tablas: P(X=8) =0,0001 Por la fórmula nos había dado 0,000065, lo que implica que está redondeado el resultado. Hallar la probabilidad de que más de una persona tenga el carnet. Hallar la probabilidad de que ninguna o una persona NO tenga el carnet. Por Tablas: P(X=0)+P(X=1) = 0,0576 + 0,1977 = 0,2553 Hallar la probabilidad de que 4 ó 5 personas tengan el carnet. Hallar la probabilidad de que 3 ó 4 personas NO tengan el carnet. P(X=3)+P(X=4) = 0,2541 + 0,1361 = 0,3902