ÁLGEBRA.

Presentación del tema: "ÁLGEBRA."— Transcripción de la presentación:

1 ÁLGEBRA

2 Las letras más utilizadas son : x, y, z, a, b, c, d…
Existen enunciados o expresiones que resultan muy largas al expresarlas en palabras. Para hacerlas más sencillas de manejar se emplean símbolos y nuevas palabras. A la parte de las matemáticas que estudia el manejo de estos símbolos se llama Álgebra. al-jebr w'al-muqabalah Mahommed, hijo de Musa, natural de Kharizm Muhammad ibn Musa Al-Jwarizmi, Las letras más utilizadas son : x, y, z, a, b, c, d…

3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Piensa con qué se corresponde
Son el resultado de expresar en lenguaje matemático un enunciado en el que aparecen datos desconocidos y que expresamos con letras ENUNCIADOS EXPRESIÓN ALGEBRAICA El doble de un número Un número impar La tercera parte de un número El cuadrado de un número Piensa con qué se corresponde

4 MONOMIOS COEFICIENTE PARTE LITERAL
Las expresiones algebraicas formadas por productos de números y letras se llaman MONOMIOS EJEMPLOS Al número se le llama COEFICIENTE y a las letras PARTE LITERAL

5 sean los valores de sus letras
IDENTIDADES Son expresiones algebraicas que se cumplen siempre para cualesquiera que sean los valores de sus letras ejemplo

6 Ejemplo: área de un triángulo
FÓRMULA Son igualdades algebraicas que expresan la relación que existe entre varias magnitudes Ejemplo: área de un triángulo

7 incógnitas ejemplo ECUACIONES
Son igualdades algebraicas que se verifican sólo para algunos valores de sus letras a las que llamamos incógnitas incógnitas ejemplo Esta igualdad sólo se cumple cuando x vale 2

8 ECUACIONES: CONCEPTOS BÁSICOS
Miembros Expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad Primer miembro Segundo miembro Términos Sumandos que forman los miembros La solución es: Soluciones Valores para los que se cumple la igualdad

9 EJEMPLOS SENCILLOS Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

10 ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos ecuaciones son EQUIVALENTES si tienen las mismas soluciones Una ecuación se transforma en otra equivalente mediante estas reglas: Multiplicando o dividiendo sus dos miembros por un mismo número distinto de cero Sumando o restando a sus miembros un mismo número Se suman dos unidades a cada miembro Se multiplica por dos cada miembro 2x+4+2= 6+2 (2x+4)2= 6.2 Se divide por dos cada miembro Se restan dos unidades a cada miembro 2x+4-2= 6-2 (2x+4)/2= 6/2

11 Ecuaciones de primer grado
IDENTIDADES.- Son las igualdades entre expresiones numéricas o algebraicas que SIEMPRE son ciertas para cualquier valor de las letras. Ejemplos: 4 = 4 x = x x2 – 1 = (x + 1).(x – 1) ECUACIONES.- Son las igualdades de expresiones alebraicas que SOLAMENTE son ciertas para algunos valores de las letras. Ejemplos: x = 5 , sólo es cierto si x = 5 x – 2 = 5 , sólo es cierto si x = 7 x2 = 4 , sólo es cierto si x = 2 o si x = - 2

12 Soluciones de una ecuación
VARIABLES E INCÓGNITAS En un monomio a la x se la denomina VARIABLE. En una ecuación, por ejemplo 3.x – 1 = x + 2 , a la letra x se la llama INCÓGNITA. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN Es el valor que debe tomar la incógnita para que se verifique la igualdad. Resolver una ecuación es hallar sus soluciones. Si hay solución o soluciones se llaman ECUACIONES COMPATIBLES. Si no hay solución se llaman ECUACIONES INCOMPATIBLES.

13 ECUACIONES EQUIVALENTES
Las ecuaciones de primer grado son aquellas igualdades cuyo EXPONENTE de la incógnita es la unidad. Ecuaciones equivalentes son las que tienen la misma solución. Para resolver una ecuación hay que hallar la ecuación equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la INCÓGNITA. Eso se llama DESPEJAR.

14 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
1. Si hay denominadores se halla el mcm y se eliminan éstos. 2. Si hay paréntesis se suprime aplicando la propiedad distributiva. Si delante de un paréntesis hay el signo “-” se cambia todo de signo. 3. Se traspasan los términos literales a un lado de la igualdad y los términos constantes al otro. (Se aplica la Regla de la Suma). 4.- Se reducen términos semejantes. 5. Se despeja la incógnita. (Se aplica la Regla del Producto). NOTA: Es muy importante el ORDEN en el proceso a seguir.

15 REGLA DE LA SUMA ( PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ):
Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta Ejemplo: x - a = b  x – a + a = b + a  x = b + a Numéricamente: x – 3 = 7  x – =  x = 7 + 3 x + a = b  x + a – a = b – a  x = b – a x + 3 = 7  x + 3 – 3 = 7 – 3  x = 7 – 3

16 Ejemplos 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5
Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – =  x = 7 O sea, el 2 que estaba restando a la incógnita, pasa al otro lado sumando. 2. Resolver la ecuación: x +3 = 7 Restamos 3 a ambos lados, quedando: x + 3 – 3 = 7 – 3  x = 4 O sea, el 3 que estaba sumando a la incógnita, pasa al otro lado restando.

17 3. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5
Cuando hay varios términos con “x”, se pasan todas las “x” a un lado y los demás términos al otro. Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – = x  x = x + 7 Restamos x a ambos lados, quedando: x – x = x + 7 – x  0 = 7  Esta igualdad resultante es imposible. La ecuación es INCOMPATIBLE

18 4. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2
Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – = x  x = x  Nos ha dado una IDENTIDAD. Siempre se cumplirá la igualdad, luego hay INFINITAS SOLUCIONES 5. Resolver la ecuación: x – 2 = 6 + x Restamos x a ambos lados quedando: 2.x – 2 – x = 6 + x – x  x – 2 = 6 x – =  x = 8 x = 8 es una ecuación equivalente a la dada.

19 REGLA DEL PRODUCTO ( SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ):
Si en una igualdad multiplicamos (o dividimos) a ambos lados por la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta Ejemplo: x x a.x --- = b  a. --- = a. b  = a.b  x = a.b a a a Numéricamente: x x x --- = 4  =  = 3.4  x = 12

20 a.x = b  -------- = ----  x = b / a a a Numéricamente: 3.x 9
Ejemplo: a.x b a.x = b  =  x = b / a a a Numéricamente: 3.x 3.x = 9  =  x = 9 / 3 = 3 Importante: Si al despejar la incógnita, x, no queda un valor entero, se simplifica y se queda como fracción irreducible, salvo que sea decimal exacto. x = 2 Bien x = 3 / 2 = 1,5 Bien x = 2 / 3 = 0,6666 Incorrecto, pues nunca puede ser exacto. x = 2 / 3 Bien

21 Ejemplos 6. Resolver la ecuación: 2.x = 6
Dividimos por 2 a ambos lados, quedando: 2.x / 2 = 6 / 2  x = 3 O sea, el 2 que estaba multiplicando a la incógnita pasa al otro lado dividiendo. 7. Resolver la ecuación: x / 3 = 5 Multiplicamos ambos lados por 3, quedando: x x =  = 15  x = 15 O sea, el 3 que estaba dividiendo a la incógnita pasa al otro lado multiplicando.

22 8. Resolver la ecuación: 2.x – 2 = 5.x + 4
Las x deben quedar todas a un mismo lado. ¿Dónde?. Mejor donde queden positivas. Restamos 2.x a ambos lados, quedando: 2.x – 2 – 2.x = 5.x + 4 – 2.x  = 3.x + 4 Restamos 4 a ambos lados, quedando: – 2 – 4 = 3.x + 4 – 4  – 6 = 3.x  Dividimos ambos por 3, quedando: – x ---- =  – 2 = x O sea, primero el 4 que estaba sumando ha pasado restando, luego 2.x que estaba sumando ha pasado restando, y por último el 3 que estaba multiplicando ha pasado dividiendo.

23 9. Resolver la ecuación: ( 2.x / 3 ) – 2 = x - 6
Multiplicamos ambos lados por 3, quedando: 2.x 3.[ – 2] = 3.( x – 6)  2.x – 6 = 3.x - 18 3 Restamos 2.x a ambos lados, quedando: 2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x  = x - 18 Sumamos 18 a ambos lados, quedando: – = x  12 = x MUY IMPORTANTE: Siempre que en una ecuación haya fracciones, hay que aplicar primero la Regla del Producto, multiplicando ambos lados por el denominador de la fracción. Si hay varios denominadores se multiplica todo por el MCM de los que haya ( o por el producto de los denominadores).

24 10 Resolver la ecuación: 2 - (3.x / 2) = x – 6
Multiplicamos ambos lados por 2, quedando: 3.x 2.[ )] = 2.(x – 6)  4 – 3.x = 2.x - 12 2 Sumamos 3.x a ambos lados, quedando: 4 – 3.x + 3.x = 2.x x  4 = 5.x – 12 Sumamos 12 a ambos lados, quedando: = 5.x  16 = 5.x Dividimos por 5 a ambos lados, quedando: x ---- =  16 / 5 = x  x = 3,2 Si la fracción resultante no es decimal exacto, se deja en fracción.

25     ECUACIONES DE PRIMER GRADO. PARÉNTESIS Quitamos paréntesis
Resolver la ecuación  Quitamos paréntesis Agrupamos las incógnitas en un miembro y los números al otro  Operamos cada miembro por separado  Hallamos el valor de la incógnita 

26      ECUACIONES DE 1º GRADO CON DENOMINADOR
Resolver la ecuación  Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores m.c.m. (4, 9, 36)= 36 Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por ese número   Realizamos las divisiones numéricas  Operamos los paréntesis  Agrupamos las incógnitas

27 Resolución de ecuaciones lineales
Empiece con ejercicio fáciles, sin fracciones, pero que las incógnitas estén en ambos lados de la ecuación. No le enseñe el fatídico algoritmo de que “si está un término con signo más pasa al otro lado con signo menos, y si está con menos pasa al otro lado con signo más”. Deje que el propio estudiante, a base de varios ejercicios, descubra por sí solo esa regla. Luego empiece con coeficientes fraccionados, pero tampoco enseñe el fatídico algoritmo “si está dividiendo pasa al otro lado multiplicando, y si está multiplicando pasa al otro lado dividiendo”. Nuevamente deje que el propio estudiante descubra esa regla. Convenza al estudiante que las ecuaciones lineales existen en la vida diaria, de modo que usted deberá plantearles problemas reales o lúdicos (nada más real que los juegos para los niños).

28 Resolución de ecuaciones lineales
Juan, Pedro y Diego deciden hacer una “vaca” para salir a divertirse un fin de semana. Juan puso una cierta cantidad, Pedro puso el doble que Juan, y Diego puso el triple del aporte de Juan. En total reunieron 6000 pesos. ¿Cuánto puso cada uno? Sea z la cantidad desconocida que puso Juan, entonces Pedro puso 2 z, y Diego entonces puso 3 z, y puesto que el total de los aportes es de 6000 pesos, tenemos la ecuación: Resolviendo Dividiendo en ambos miembros por 6, nos queda 1000 pesos aportó Juan, 2000 pesos aportó Pedro y 3000 pesos Diego

29 MATERIAL COMPLEMENTARIO
17/04/2017