Geometría de las superficies

Presentación del tema: "Geometría de las superficies"— Transcripción de la presentación:

1 Geometría de las superficies
Klette, schluns, koschan Computer vision: three dimensional data from images Cap 3

2 Representaciones funcionales
Representación mediante una ecuación condicional para X e Y en un rango M. Admite múltiples soluciones Representación funcional, solución única pero existen singularidades en las que no está definida. Modelo de facetas, basado en la ecuación de pendiente-intercepción. Define un plano en 3D de pendiente que depende de p y q. La intercepción con el eje Z es en el punto (0,0,r). Define una aproximación lineal a la superficie.

3 Reconstrucción de la superficie
Es posible recuperar la superficie a partir del campo vectorial dado por sus derivadas parciales El conjunto de todas las antiderivadas de una campo vectorial es una integral indefinida, que corresponde a la superficie caracterizada por el campo, salvo una constante. Z(X,Y) es una antiderivada del campo si se cumple la condición de integrabilidad (el campo es conservativo).

4 Existencia de una superficie (antiderivada) para el campo vectorial (gradiente) condicionada a que se cumpla la condiciòn de la integrabilidad. Camino de integración

5 Normales y gradientes Plano tangente a un punto de la superficie P=(X,Y,Z(X,Y)): plano incidente a la superficie en P y perpenticular a la normal. Un orientation edge es una curva sobre la superficie a lo largo de la cual existe una discontinuidad de las normales. Normal unitaria La normal unitaria caracteriza univocamente la orientación de la faceta o plano tangente a la superficie en el punto dado. Vector gradiente en (X,Y). La derivada direccional es la derivada a lo largo de una dirección en el plano XY, caracterizada por un ángulo a.

6 Ecuación de intercepción de la pendiente Plano en R3
Gradiente de un vector Vectores paralelos tienen el mismo gradiente, por lo que una línea puede caracterizarse por un vector unitario. Ecuación de intercepción de la pendiente Plano en R3 Normal unitaria Normal al plano Gradiente del plano. Derivada direccional del plano Un borde de orientación (orientation edge) es una curva sobre la superficie 3D tal que existe una discontinuidad de las normales en todos sus puntos. No depende de la visualización. El rim de un objeto respecto de una proyección (vista, visualización) concreta se define como el conjunto de puntos en los que la normal de la superfice es ortogonal al rayo de proyección. Define las fronteras de oclusión en la imagen.

7 Aproximación lineal Expresión general para funciones unarias Aproximación lineal para funciones de dos argumentos

8 Esfera y ángulos sólidos
Ecuaciones de los puntos en una esfera de radio r: Partes visible e invisible de la esfera. Normal en la parte visible En la esfera gausiana (r=1) los puntos pueden especificarse por dos coordenadas angulares: slant (s) angulo al eje z y tilt (q) ángulo al eje x. Cada punto representa una normal unitaria.

9 La intersección con un plano que atraviesa el centro de la esfera da lugar a hemiesferas gausianas.
La intersección de dos circulos define cuatro lunas esféricas de area: Ángulo sólido W:(steradianes): ratio de la superficie de la esfera al cuadrado del radio.

10 Ángulo sólido subtendido por una superficie (plana) A en una esfera de radio r.
dA elemento infinitesimal de superficie. P vector posición del elemento de superficie. n normal de dA. Ángulo sólido bajo el que dA se ve desde el origen de la esfera.

11 Problema general de reconstrucción
Una vista particular da una reconstrucción 2-1/2D. Dados por mapas de profundidad o de gradientes. El registro de los distintos mapas los pone en relación La integración de los mapas registrados da la reconstrucción de la forma.