Matemáticas Aplicadas CS I

Presentación del tema: "Matemáticas Aplicadas CS I"— Transcripción de la presentación:

1 Matemáticas Aplicadas CS I
INTERPOLACIÓN Tema 7 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

2 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Tema * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

3 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Sea la Tabla: X Y Si nos dan tres puntos, calculamos las pendientes: m=(10-2)/(3-1)= 8/2 = 4 m=(26-10)/(5-3)=16/2 = 8 Las pendientes no coinciden.  NO hay Interpolación lineal. Interpolación cuadrática: Su forma será: f(x) = a.x2 + b.x + c Y hallaríamos “a”,”b” y “c” resolviendo el sistema: 2 = a.12 + b.1 + c 10 = a.32 + b.3 + c 26 = a.52 + b.5 + c , por el Método de Gauss @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

4 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Aplicando Gauss en el sistema: a + b + c = 2 9.a + 3.b + c= 10 25.a + 5.b + c = 26 a + b + c = 2 - 6.b – 8.c = - 8 - 20.b – 24.c = - 24 16.c =  c = 1  b = 0  a = 1 f(x) = x es la función de interpolación. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

5 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Sea la Tabla: X Y Si nos dan tres puntos, calculamos las pendientes: m=(10-2)/(3-1)= 8/2 = 4 m=(26-10)/(5-3)=16/2 = 8 Las pendientes no coinciden.  NO hay Interpolación lineal. Debe pues hacerse una interpolación cuadrática. m=8 m=4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

6 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Si nos dan sólo tres puntos y no están alineados, debemos realizar una interpolación cuadrática. Pero en nuestro ejemplo, al darnos más de tres puntos en la Tabla, debemos comprobar si existe Interpolación Cuadrática: y  Δy  Δ2y  Vemos que Δ2y = 8 = Cte Si Δx=Cte e Δ2y =Cte  F. Cuadrática Su forma será: f(x) = a.x2 + b.x + c Sea la Tabla: X Y Si nos dan más de DOS puntos, calculamos las pendientes: m=(9-1)/(3-1)= 8/2 = 4 m=(25-9)/(5-3)=16/2 = 8 Las pendientes no coinciden.  NO hay Interpolación lineal. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

7 Matemáticas Aplicadas CS I
Hallamos “a”,”b” y “c” resolviendo el sistema: 1 = a.12 + b.1 + c 9 = a.32 + b.3 + c 25 = a.52 + b.5 + c por Gauss a + b + c = 1 9.a + 3b + c = 9 25.a + 5b + c = 25 A la (2) la quito 9 veces la (1) A la (3) la quito 25 veces la (1) - 6.b – 8.c = 0 - 20.b – 24.c= 0 A 3x(3) la quito 10x(2) 16.c = 0 Y obtengo c=0 Si c=0  En la (2): b= 0 Si b=0 y c=0  En la (1): a=1 Luego la función interpoladora cuadrática será: f(x) = a.x2 + b.x + c f(x) = x2 Interpolamos: f(4) = 42 = 16 Extrapolamos: f(8) = 82 = 64 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

8 APLICACIONES DE LA INTERPOLACIÓN
Tema * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

9 Matemáticas Aplicadas CS I
EJERCICIO 1 Sea la Tabla: Año Habitantes En la práctica podemos simplificar mucho las operaciones haciendo el siguiente cambio: Como sólo me dan dos pares de valores, realizo una interpolación lineal: y=mx + n Calculo la pendiente: m = (13-7)/(5-2) = 6/3 = 2 Por la ecuación punto-pendiente: y-yo=m.(x.xo) y-7 =2.(x-2) y=2.x -4+7 f(x) = 2.x + 3 sería la F. de Interpolación Lineal, que sirve tanto para interpolar como para extrapolar. f(2004)f(4)=2.4+3 = 11 miles de habitantes. F(2010)f(10)=2.10+3=23 miles habitantes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

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EJERCICIO 2 El volumen de beneficios, en millones de €, de una empresa es el siguiente: Marzo  8 M€ Abril  7 M€ Mayo  5 M€ ¿Qué beneficios se pueden esperar para el mes de Julio?. Miramos si los datos pueden encajar en una interpolación lineal: m=(7 – 8) / (4 – 3) = – 1 m=(5 – 7) / (5 – 4) = – 2 La pendiente es el doble  No hay interpolación lineal. Al darnos tres valores de referencia no alineados, lo más adecuado es hacer una INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. Adecuamos: Marzo  1 Abril 2 Mayo  3 Julio  5 Resolvemos el sistema: 8 = a b. 1 + c 7 = a b. 2 + c 5 = a b. 3 + c @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

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… EJERCICIO 2 Resolvemos el sistema: 8 = a b. 1 + c 7 = a b. 2 + c 5 = a b. 3 + c Por Gauss a + b + c = 8 4.a + 2.b + c = 7 9.a + 3.b + c = 5 F2 – 4.F1 y F3 – 9.F1 a b c = 8 – 2.b – 3.c = – 25 – 6.b – 8.c = – 67 F3 – 3.F2 c = 8 … EJERCICIO 2 – 2.b – 24 = – 25 – 2.b = – b = ½ a + ½ + 8 = 8 a = – ½ F(x) = – ½ .x2 + ½ .x + 8 Luego: F(5) = – ½ ½ = = – 12,5 + 2,5 + 8 = = – 2 Habría 2 millones de € de pérdidas de seguir esta tendencia. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

12 Matemáticas Aplicadas CS I
EJERCICIO 3 Sea la población de Valladolid a lo largo de los últimos 10 años, dado en forma de tabla y en miles de habitantes. Año Habitantes Miramos si hay interpolación lineal: m=( )/( )=5/2=2,5 m=( )/( )=10/2=5 Las pendientes no coinciden.  No hay interpolación lineal. Estaríamos frente a una INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. y  Δy  Δ2y  Vemos Δx=2=Cte e Δ2y =5=Cte  F. Interpolación Cuadrática @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

13 Matemáticas Aplicadas CS I
… f(x) = a.x2 + b.x + c  Tomamos tres puntos cualesquiera: A(1992,360) , B( 1994, 365 ) y C (2000,410) Resolvemos el sistema: 360 = a b c 366 = a b c 410 = a b c 6 = ( ).a + 2.b = 7972.a + 2.b  18 = a + 6.b 44 = ( ).a + 6.b = a + 6.b  = a + 6.b que nos da: 26 = 48.a  a = 0,5416 ; b = ,08 ; c = ,36 quedando la función: f(x) = 0,5416.x ,08.x ,36 que nos dará en todo momento el número de habitantes de Valladolid en cualquier año entre 1992 y 2000, sin mas que sustituir la “x” de la función por el año correspondiente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

14 Matemáticas Aplicadas CS I
ESTRATEGIA A SEGUIR PARA COEFICIENTES MUY GRANDES: c b a = 360 c b a = 366 c b a = 410 Cambio:  2 ,,  4 Queda: c + 2.b a = 360 c + 4.b a = 366 c + 10.b a = 410 Resolvemos por Gauss: c + 2.b a = 360  c + 2.b a = 360 2.b a = 6  b a = 6 8.b a = 50  a = 26 De donde a=26/48 = 0,5416, b= -0,2500; c= 358,3333 La función de interpolación cuadrática es: f(x) = 0,5416.x2 – 0,2500.x + 358,3333 Hallar, por ejemplo, f(1997) sería hallar f(7) Antes Ahora  2     @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I