Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Lección 2: Formulación del problema de optimización Variables La función objetivo Restricciones.

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1 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Lección 2: Formulación del problema de optimización Variables La función objetivo Restricciones de igualdad Restricciones de desigualdad Grados de libertad Formulación del problema

2 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN Función objetivo Esta es la formulación general del problema minmax max().. ()0 ()0 x fx st hx gx xxx = ≤ Restricciones igualadad Variables límite Restricciones desigualdad ≤ ≤

3 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Variables can be grouped into two categories “decision” or “optimization” variables These are the variables in the system that are changed independently to modify the behavior of the system. dependent variables whose behavior is determined by the values selected for the independent variables. DESIGN: OPERATIONS: MANAGEMENT: Although they can be grouped this way to help understanding, the solution method need not distinguish them. We need to solve a set of equations involving many variables. minmax max().. ()0 ()0 x fx st hx gx xxx = VARIABLES minmax xxx reactor volume, number of trays, heat exch. area, … temperature, flow, pressure, valve opening, … feed type, purchase price, sales price,.. ≤≤ ≤ ≤≤ FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

4 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Some comments on variables Typically, we do not define the “decision” and “dependent” variables. Since we solve a set of simultaneous equations, all variables are evaluated together. Exercise: Identify variables in each category. VARIABLES minmax max().. ()0 ()0 x fx st hx gx xxx = ≤ ≤≤ FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

5 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Some comments on variables We should always place bounds on variables. Exercise: Why place bounds? Exercise: Propose bounds for variables in the process. VARIABLES minmax max().. ()0 ()0 x fx st hx gx xxx = ≤ ≤≤ FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

6 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII FUNCIÓN OBJETIVO Este es el objetivo, ejemplos: - maximizar beneficio (minimizar coste) - minimizar uso de energía - minimizar los residuos contaminantes - minimizar el material para contruir un depósito Formularemos la mayoría de los problemas con una función objetivo escalar Debería representar el efecto total de las variables (x) en el objetivo. Por ejemplo, $/kg no es un buen objetivo a menos que kg esté fijado. Cuando se necesite hay que incluir el valor actualizado del dinero. How should I formulate these? minmax max().. ()0 ()0 x fx st hx gx xxx = ≤ ≤≤ FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

7 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Algunos comentarios sobre la función objetivo Aunque es preferible un objetivo escalar. Muchas veces nos encontramos con múltiples objetivos. Tener en cuenta que Max (f) es igual que Min (-f) - Por tanto, no hay diferencia práctica ni fundamental entre problemas de maximizar y de minimizar. El mismo software y algoritmo resuelve ambos. Hay dificultades cuando los modelos nos son muy exactos. Algunos aspectos son muy difíciles de modelar (respuesta del mercado a una mejora en la calidad del producto). Deseamos una función objetivo “suave”. FUNCIÓN OBJETIVO minmax max().. ()0 ()0 x fx st hx gx xxx = ≤ ≤≤ FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

8 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII RESTRICCIONES DE IGUALDAD Esta expresión limita los valores posibles de x. Definen la Región factible (feasible region) Algunas restricciones de igualdad: - materia, energía, fuerza, … - equilibrio - decisiones de ingeniería ( F1 -.5 F2 = 0 ) - valores impuestos por el control set point temp = 231 BALANCES Por convenio se escriben estas ecuaciones con un cero en la derecha de la igualdad (zero rhs –right hand side-) Puede haber múltiples restricciones de igualdad, así que h(x) es un vector. For example? minmax max().. ()0 ()0 x fx st hx gx xxx = ≤ ≤≤ FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

9 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII 1. Define Objetivos 2. Prepara información 3. Formula el modelo 4. Determina la solución 5. Analiza Resultados 6. Valida el modelo ¿Qué decisión? ¿Qué variable? Localización Dibuja el proceso Recopila los datos Declara las suposiciones Define el sistema Normalmente la solución y la optimización se determinan simultáneamente RESTRICCIONES DE IGUALDAD minmax max().. ()0 ()0 x fx st hx gx xxx = ≤ ≤≤ Balance: Component Material Energy FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

10 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Algunos comentario sobre las restricciones de igualdad Los balances se deben de cumplir estrictamente. Si no lo especificamos así, el optimizador encontrará como ¡crear masa y energía! Las restricciones pueden tener índices. Por ejemplo, el índice puede ser la localización de un plato. Estas dos formulaciones son equivalentes FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN RESTRICCIONES DE IGUALDAD

11 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Algunos comentarios sobre las restricciones de igualdad Los balances se pueden aplicar sobre diferentes entidades: - materia - tiempo - cajas en un almacén - gente trabajando en una unidad de una planta Los modelos pueden cambiar. Por ejemplo, un cambiador puede tener una o dos fases según el resultado de la optimización. Esto complica la resolución de la optimización. minmax max().. ()0 ()0 x fx st hx gx xxx = ≤ ≤≤ FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN RESTRICCIONES DE IGUALDAD

12 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD.. ()0 st gx ≤ Son límites al sistema en una dirección: - máxima inversión disponible - máximo flujo admisible por la bomba - mínimo caudal líquido en un determinado plato - mínima generación de vapor en una caldera - máxima presión de un depósito Hay que tener cuidado en no definir un problema de forma incorrecta y que no tenga región factible. Multiplicando por (-1) podemos cambiar el signo de la desigualdad, así que ambas restricciones están contempladas. ¿Por ejemplo? minmax max().. ()0 ()0 x fx st hx gx xxx = ≤ ≤≤ FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

13 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII GRADOS DE LIBERTAD La siguiente relación determina el número de grados de libertad (DOF) DOF = (# variables) - (# ecuaciones) # variables = # ecuaciones= ¿Cómo deben ser los valores de los grados de libertad para Optimización? minmax max().. ()0 ()0 x fx st hx gx xxx = ≤ ≤≤ FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

14 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Normalmente se piensa el problema de optimización como teniendo: #Opt Var = # var - #equality constr. En dos dimensiones el gráfico queda: Opt Var1 Opt Var2 feasible region GRADOS DE LIBERTAD (DOF) minmax max().. ()0 ()0 x fx st hx gx xxx = ≤ ≤≤ FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

15 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Opt Var2 Opt Var1 Opt Var2 Caso A Caso B Podemos dibujar la función objetivo como contornos. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN GRADOS DE LIBERTAD (DOF)

16 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII This is a typical feasible region for a CSTR with reaction A  B with reactant and coolant adjusted. Explain the shape of the feasible region. From Marlin, Process Control, McGraw- Hill, New York, 1995 T A Reactant Solvent Coolant FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN GRADOS DE LIBERTAD (DOF)

17 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII The feasible region depends on the degrees of freedom, i.e., the number of variables that are adjusted independently. We revisit the CSTR, but only the coolant flow can be adjusted. What is different? T A Reactant Solvent Coolant From Marlin, Process Control, McGraw- Hill, New York, 1995 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN GRADOS DE LIBERTAD (DOF)

18 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN ¿Cómo seleccionamos el sistema para nuestra optimización? FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

19 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII How do we define a scalar that represents performance, including Economics Safety Product quality Product rates (contracts!) Flexibility …... FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

20 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Cómo de exacto debe ser el modelo del sistema físico? Macroscopico 1,2 3, dimensiones espaciales Dinámico o estado estacionario Propiesdades físicas Ecs. Constitutivas (U(f), k 0 e- E/RT,.. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

21 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Cuáles son los límites a las posibles soluciones? Seguridad Calidad del producto Daños de equipos Operación de equipos Consideraciones legales/éticas FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

22 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Factoid: Many process simulations and optimizations have a large number of variables and constraints. Why? Entire model is repeated for many locations, e.g., trays in a tower. Model repeated for many components in a stream. Model repeated for many times in a dynamic system FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

23 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII We use the term “tractable” to describe whether we can 1.Solve the mathematical optimization problem 2.Achieve desired accuracy in the “Real World” - This prevents us from using a useless, simple model 3.Calculate the solution in an acceptable time. The allowable time depends on the problem. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

24 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Very accurate over wide range of conditions Longer computing More complex Less accurate over a narrow range of conditions Shorter computing Less complex The engineer must select the appropriate balance for each problem. The problem must be tractable. Intractable problems have to be reformulated. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

25 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Decisions to be made model Solver method and software Solution Does the formulation and solution method support the solution? Not known with certainty Structure of equations Parameter values “The truth” Measurement error Disturbances Uncertainty: We must recognize uncertainty in our methods and estimate bounds of the effects of out solutions. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

26 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Optimization Formulation: Workshop #1 FORMULATING THE OPTIMIZATION PROBLEM We want to schedule the production in two plants, A and B, each of which can manufacture two products: 1 and 2. How should the scheduling take place to maximize profits while meeting the market requirements based on the following data: How many days per year should each plant operate processing each kind of material? Material processed (kg/day) Profit (€/kg) Plant1212 AM A1 M A2 S A1 S A2 BM B1 M B2 S B1 S B2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

27 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Optimization Formulation: Workshop #2 FORMULATING THE OPTIMIZATION PROBLEM Suppose the flow rates entering and leaving a process are measures periodically. Determine the best value for stream A in kg/h for the process shown from the three hourly measurements indicated of B and C in the figure, assuming steady-state operation at a fixed operating point. Material reconciliation (a)11.1kg/h (b)10.8kg/h (c) 11.4kg/h (a)92.4kg/h (b)94.3kg/h (c) 93.8kg/h A C B plant FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

28 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Optimization Formulation: Workshop #3 FORMULATING THE OPTIMIZATION PROBLEM Consider the process diagram of the figure where each product (E,F,G) requires different amounts of reactants according to the table shown in the next slide. The table below show the maxium amount of reactant available per day as well as the cost per kg. Material flows allocation A B C E F G Raw material Maximum available (kg/day) Cost (€/kg) A400001.5 B300002.0 C250002.5 1 2 3 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

29 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Process Product Reactants requirements (kg/kg product) Processing cost (product) (€/kg) Selling price (product) (€/kg) 1E2/3A,1/3B1.54.0 2F2/3A,1/3B0.53.3 3G1/2A,1/6B,1/3C1.03.8 Formulate the optimization problem. The objective function is to maximize the total operating profit per day in units of €/day Optimization Formulation: Workshop #3 (cont’d) FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

30 Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Optimization Formulation: Workshop #4 Hallar la relación óptima (L/D) para la construcción de un depósito de modo que se minimicen los costes. Suposiciones: Los extremos son planos Las paredes tienen un espesor constante, x. La densidad es ρ. El espesor es independiente de la presión El coste de fabricación de los extremos y del cilindro es el mismo (€/kg fabricado) No se desperdicia nada de material durante la fabricación del depósito. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN