Estructuras Algebraicas

Presentación del tema: "Estructuras Algebraicas"— Transcripción de la presentación:

1 Estructuras Algebraicas

2 Trabajo Práctico Nº 4 Estructuras Algebraicas
1. Determinar en cada caso si el par ( G, * ) es grupo a)   G1 = { x / x = 2k, k  Z } ; * es el producto ordinario. b) G2 = { x / x = 3 k , k  N } ; * es la adición c)   G3 = { 1; -1 } ; * es el producto ordinario Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 2. Sea A = { x  R / x = a + b  ; a  Z  b  Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales. Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 3. Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas : * 1  1 Probar que estas operaciones definen sobre K una estructura de cuerpo. Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicio para Practicar

3 Ejercicios para Practicar
4) Completar los siguientes enunciados para que resulten proposiciones verdaderas :    En R2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b)  (c, d)  En R2 = C se define la adición y la multiplicación mediante (a, b) + (c, d) = (a, b) * (c, d) = ii)   (C, +) tiene estructura de (C, *) tiene estructura de (C, +, *) tiene estructura de iii) Un complejo es real  un complejo es imaginario  iv) En C es : i0 = i1 = i2 = i3 = i4q+r= v) Si z = (a, b)  = . . .; - z = ; z -1 = = = . . . Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar

4 Ejercicios para Practicar
5) Resolver las ecuaciones siguientes indicando a qué campo numérico pertenecen las soluciones : a) x2 – 1 = 0 b) x2 – 3 = 0 c) x2 + 1 = 0 d) x2 + 3x + 3=0 Ejercicio Resuelto Ejercicios para Practicar 6) Dados los números complejos : a) Representarlos gráficamente c) Expresar z2 y z3 en forma de pares ordenados b) Expresar z1 y z4 en forma binómica d) Hallar y representar gráficamente z4 e) Calcular y representar gráficamente f) Calcular : Glosario Ejercicios para Practicar Ejercicio Resuelto

5 9) Determinar z tal que : a) 3 z +z = 3 + 5 i. b) i z - 2z = - 6 i
9) Determinar z tal que : a) 3 z +z = i b) i z - 2z = - 6 i c) z + iz = i Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar  10) Resolver las siguientes ecuaciones en el campo complejo. En todos los casos z es un número complejo ; despejarlo y calcular su valor : Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 11) Determinar x para que el producto (3 - 6 i)  (4 + x i) sea : a) un número real b) un número imaginario puro Ejercicio Resuelto Ejercicios para Practicar 12) Si B = { 1, 2, 3, 6 } con las operaciones * y  donde * denota mínimo común múltiplo y  denota máximo común divisor ; Analizar si (B, *,  ) resulta un modelo de Algebra de Boole, donde los neutros son respectivamente 1 y 6. Ejercicios Resueltos Glosario Ejercicios para Practicar

6 16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos
13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes : i) a  b´ = ii) a * b = b  iii) a´ * b = iv) a  b = a Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones Ejercicio Resuelto Ejercicios para Practicar 15) Probar que  a, b  B : a) (a * b)  (a * b´) = a b) (a  b) * (a  b´) = a Ejercicio Resuelto Ejercicios para Practicar 16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos Ejercicio Resuelto Ejercicios para Practicar

7 Estructuras Algebraicas
Frecuentemente la primera dificultad que encuentra el alumno en el estudio de las Estructuras Algebraicas es asimilar la existencia de operadores como * que expresan operaciones que no tienen porqué ser las clásicas conocidas de adición, diferencia, producto, cociente, etc. Sino que pueden expresar otras formas de composición (operaciones definidas por una ley de variación que puede o no expresarse en fórmulas) * a b * 1 Según la tabla 2, el operador * genera los siguientes resultados: Tabla 1 Tabla 2 Si G = { 0, 1 } 0 * 0 = 0 0 * 1 = 1 Notemos que todos los resultados de operar algún elemento de G con otro elemento del mismo conjunto (incluso consigo mismo) . . . 1 * 0 = 1 1 * 1 = 0 Son elementos del mismo conjunto G ( 0 ó 1 ) entonces * Es una Ley de Composición interna en G * se lee “asterisco”

8 (G, *) tiene estructura de semi-grupo
Si una operación * respecto de los elementos de un conjunto G que se escribe: (G, *), verifica que: 1) G2  G * es una Ley de composición interna en G Definida una operación * si el resultado de operar dos elementos cualesquiera de G con * es otro elemento de G, hay L.C.I. 1a 1b 1c 2) a, b, c : a, b, c  G  (a * b) * c = a * (b * c) Asociativa Definida una operación * si con tres elementos cualesquiera de G la operación * responde a la propiedad asociativa (G, *) tiene estructura de semi-grupo si además 3) e  G / a : a  G  a * e = e * a = a Existe Elemento Neutro Definida una operación * si en el conjunto G existe al menos un elemento “e”, que al operarlo con cualquier otro elemento “a” de G, resulta el mismo elemento “a” 4) a : a  G, a´  G / a * a´ = a´ * a = e Existe Elemento Inverso Definida una operación * si para cada elemento de G existe al menos un elemento a´ que al operar con a dá como resultado el neutro e (G, *) tiene estructura de grupo

9 (G, *) tiene estructura de grupo abeliano ó grupo conmutativo
Si además de cumplirse las cuatro condiciones anteriores - lo que hace a (G,*) Grupo - 5) a, b : a, b  G  a * b = b * a Conmutativa (G, *) tiene estructura de grupo abeliano ó grupo conmutativo Sea una estructura algebraica definida en un conjunto G con dos leyes de composición * y  (G, *  ) es Anillo si . . . 1) (G, *) es Grupo abeliano 2) (G, ) es semi Grupo 3)  es distributivo a izquierda y derecha respecto de * a, b, c  G : a  (b * c) = (a  b) * (a  c) (b * c)  a = (b  a) * (c  a) Si la segunda ley de composición es conmutativa, (G, *  ) es Anillo Conmutativo

10 (G *  ) es Anillo con Unidad
Si (G *  ) es Anillo Y además posee elemento neutro respecto de  (G *  ) es Anillo con Unidad Un Anillo con unidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama Anillo con división Si un Anillo con división es conmutativo, se llama Cuerpo 1) (G, *) es Grupo abeliano 2) (G , ) es Grupo abeliano, salvo que el 0 no es inversible 3)  es distributivo respecto de * Ejemplo: (Z, * ) donde * es la adición (suma) y  es el producto ordinario No es cuerpo, pues los únicos elementos no nulos que admiten inverso multiplicativo son 1 y - 1 (R, * ) donde * es la adición (suma) y  es el producto ordinario Es Cuerpo

11 1) a) Si G1 = { x / x = 2k, k  Z } ; * es el producto ordinario
Sean k, t  Z Luego 2(k + t)  G1 2k · 2t = 2(k + t) Si k, t  Z  (k + t)  Z Entonces * es L.C.I. En G1 Asociatividad 2k · (2t · 2s) = 2k · 2(t + s) = 2k + ( t + s) = 2( k + t ) + s = 2( k + t ) · 2s = (2 k · 2 t ) · 2s Existencia de Elemento Neutro Para cada 2k debe existir 2t = e con t  Z 2 k · e = 2 k · 2 t = 2 ( k + t ) = 2 k  k + t = k entonces t =  Z Existencia de Elemento Inverso Entonces 2t = 2 0 es un elemento del conjunto G1 Si e = 20 (ya demostrado) 2k · x = 20 = 1 2k  2t = 20  k + t = 0 Entonces t = -k lo que es claro que t  Z y 2t  G1 Conmutativa valiéndonos de la conmutatividad de la suma en Z 2k  2t = 2 (k + t) = 2 ( t + k) = 2 t  2 k (G, * ) es Grupo Abeliano 1 b 1 c

12 1) b) Si G2 = { x / x = 3 k , k  N } ; * es la adición (+)
G2 es un conjunto conformado por todos los naturales múltiplos de 3 ; . . . entre otros : si k = 1 , x = 3 ; si k = 2 , x = 6 ; k = 3 , x = Para k, t  N 3k + 3t = 3 (k + t) Pero (k + t)  N LCI ok Asociatividad Debe verificarse que 3 k + ( 3 t + 3 s ) = ( 3 k + 3 t) + 3 s 3 k + ( 3 t + 3 s ) = 3 k + 3 (t + s) = 3 [k + (t + s)] = 3 [(k + t) + s)] = 3 (k + t) + 3 s = (3 k + 3 t) + 3 s Se acepta la asociatividad de la adición para los números naturales Existencia de Elemento Neutro en G para * Si existe e (neutro) en G, tendrá la forma e = 2t donde t  N 3 k + 3 t = 3 k si 3 t = e Entonces k + 3 t = 3 (k + t) = 3 k Luego ( k+ t ) = k  t = 0 Pero 0  N entonces . . . NO Existe Elemento Neutro en G para * ( G2, * ) No es Grupo 1 c

13 1) c) Si G3 = { 1; -1 } ; * es el producto ordinario
Por tratarse de un conjunto finito y con pocos elementos, algunas condiciones pueden ser analizadas para cada situación . . . 1 · 1 = 1  G3 -1 · 1 = -1  G3 -1 · -1 = 1  G3 1 · -1 = -1  G3 Se verifica que * es L.C.I. en G3 Podemos admitir que la Asociatividad “se hereda” de la asociatividad del producto entre elementos del conjunto de los números enteros Sabemos que para el producto existe neutro en Z, pero debemos verificar que ese neutro  G3 -1 · e =  e = 1 1  G3 1 · e =  e = 1 Existe neutro Los elementos de G3 admiten inverso Analizamos si cada elemento de G3 admite inverso en G3 1 · x = e = 1  x = 1 -1 · x = e = 1  x = -1 Podemos admitir que la Conmutatividad “se hereda” de la conmutatividad del producto entre elementos del conjunto de los números enteros ( G3, * ) es Grupo Abeliano

14 Lo que prueba la existencia de neutro en A para la suma
2) Sea A = { x  R /   ; a  Z  b  Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales. Supongamos dos elementos cualquiera que pertenecen al conjunto A; ellos son : * es L.C.I. en A Analizamos (A, *); en este caso * es la suma, analizamos entonces (A, +) con La Asociatividad se “hereda” de la asociatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros;  R    R entonces  +  =    es nulo Supongamos que existe nulo y es  esto es posible para c = 0 y d = 0 Lo que prueba la existencia de neutro en A para la suma c  Z  d  Z    A

15 Si existe elemento inverso para cada elemento de A
 +  = 0  es inverso de  Debe ser a + c = 0 c = - a  Z b + d = 0 d = - b  Z Prueba la existencia de inverso La Conmutatividad se “hereda” de la conmutatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros;   R    R Analizamos ahora ( A,  ) donde  es el producto ordinario (A, *) es Grupo Abeliano aplicando distributiva porque . . . ac + 2bd  Z  ad + bc  Z  es LCI en A

16 ( A, *,  ) Es Anillo Conmutativo
La Asociatividad se “hereda” de la asociatividad del producto para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros;  R    R (de la misma manera se verifica también la conmutativa (A, ) es Semi Grupo  es doblemente distributivo respecto de * , ,   A :   (  *  ) = (  ) * (  ) (  *  )   = (  ) * (  ) , ,  son números reales y sabemos que en el conjunto de los números reales el producto es distributivo respecto de la suma ( A, *,  ) Es Anillo Conmutativo

17 3) Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas :
Probar que estas operaciones definen sobre K una estructura de cuerpo. * 1  1 sabiendo que * y  son asociativas y  es doblemente distributiva respecto de * Analizamos ( K, * ) De observar la tabla del operador * resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K 0 * 0 = * 1 = * 0 = * 1 = 0 * Es L.C.I. en K Asociativa ; verificamos por ejemplo ( 0 * 1 ) * 0 = 1 * 0 = 1 0 * ( 1 * 0 ) = 0 * 1 = 1 El 0 es neutro; 0 * 0 = 0 y 0 * 1 = 1 0 * 0 = 0 El inverso para 0 es 0 1 * 1 = 0 El inverso para 1 es 1 De analizar la tabla, comprobará también que * es conmutativo ( K, * ) Es Grupo Abeliano

18 Asociativa ; verificamos . . . por ejemplo
 1 Analizamos ( K – {0},  ) De observar la tabla del operador  resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K 0  0 =  1 =  0 =  1 = 1 L.C.I. de  en K Asociativa ; verificamos por ejemplo ( 0  1 )  0 = 0  0 = 0 0  ( 1  0 ) = 0  0 = 0 Existe neutro en K para  pues 1  0 = 0 y  1 = el neutro es el 1 El inverso para 1 es 1 1  1 = 1 De analizar la tabla, comprobará también que  es conmutativo ( K,  ) Es Grupo Abeliano, salvo que el 0 no es inversible y sabemos que  es doblemente distributivo respecto de * por ejemplo . . . ( 0 * 1 )  0 = 1  0 = 0 ( 0  0 ) * ( 1  0 ) = 0 * 0 = 0 0  ( 0 * 1 ) = 0  0 = 0 ( 0  0 ) * ( 0  1 ) = 0 * 0 = 0 ( K, *,  ) Es Cuerpo

19 y no tiene ubicación en la recta de los números reales
5 Números Complejos 7 a-d 7 b-c-e i/ii Sabemos que la solución de la raíz cuadrada de un número real negativo no tiene solución en reales 7 e iii 7 f i/ii 7 f iii 9 a 9 b 9 c donde i es un número que llamamos imaginario 10 i 10 i / ii Recuerde siempre que si y no tiene ubicación en la recta de los números reales Con un binomio formado por una parte real y una parte imaginaria, formamos un número complejo z = a + bi Lo representamos gráficamente en un par de ejes cartesianos Parte imaginaria Llevando en el eje de las abscisas la parte real Parte real Y en el eje de las ordenadas la parte imaginaria El punto de intersección de la parte real con la imaginaria es un punto en el “plano de los complejos” Por otro lado, a cada complejo le está asociado un vector con inicio en el origen de coordenadas y extremo en el punto determinado por el par ordenado (a, b)

20 Definido el complejo z = a + bi
5 Definido el complejo z = a + bi Expresado en forma de binomio 7 a-d Podemos pasarlo a la forma de par ordenado, donde la primera componente es la parte real del complejo 7 b-c-e i/ii 7 e iii 7 f i/ii 7 f iii Y la segunda componente es la parte imaginaria (se coloca solo el valor de b –sin i-) 9 a 9 b 9 c z = a + bi = ( a, b ) 10 i 10 i / ii Si z = a + bi cuya representación gráfica es definimos el conjugado de z como un número complejo con la misma parte real que z y su componente imaginaria es la opuesta de la componente imaginaria de z también podemos definir el opuesto de z como un número complejo cuya componente real es el número opuesto de la componente real de z y su componente imaginaria es el número opuesto de la componente imaginaria de z z = a + bi z = a - bi -z = -a - bi 5 9

21 Operaciones con números complejos
5 Operaciones con números complejos 7 a-d 7 b-c-e i/ii 7 e iii 7 f i/ii 7 f iii Si dos números complejos se presentan en forma de binomio, se los puede sumar como cualquier binomio 9 a 9 b 9 c 10 i 10 i / ii sacamos el imaginario i como un factor común las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí Si los complejos se presentan en forma de par ordenado Se opera de la misma manera, las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí Si se trata de una diferencia 5 7 9-10

22 A los efectos de limpiar el gráfico borramos las líneas auxiliares
5 Gráficamente 7 a-d Sean 7 b-c-e i/ii 7 e iii 7 f i/ii 7 f iii Para sumar gráficamente los complejos 9 a 9 b 9 c 1) Una vez representados gráficamente los complejos z1 y z2 como ya hemos visto 10 i 10 i / ii A los efectos de limpiar el gráfico borramos las líneas auxiliares 2) Por el extremo de z2 trazo una recta paralela a z1 3) Y por el extremo de z1 trazo una recta paralela a z2 4) Donde se intersectan ambas paralelas se encuentra el extremo de un nuevo vector que tiene inicio en el origen de coordenadas y representa z1 + z2 5) El valor de abscisa que le corresponde al vector resultante es la parte real del resultado de la suma de números complejos 6) El valor de la ordenada que le corresponde al vector resultante es la parte imaginaria del resultado de la suma de números complejos Obviamente, los resultados por métodos analíticos y gráficos deben coincidir siempre 5 7 9-10

23 5 Producto 7 a-d 7 b-c-e i/ii Sean 7 e iii 7 f i/ii 7 f iii 9 a 9 b 9 c Se aplica propiedad distributiva como si se tratara de dos binomios cualquiera 10 i 10 i / ii El producto (bidi) se resuelve multiplicando bdi i que resulta bdi2 Sacamos como factor común el imaginario i Recuerde que i2 = - 1 En forma de par ordenado . . . 5 7 9-10

24 De esa manera, en el denominador siempre habrá un número real
Cociente 5 7 a-d Sean 7 b-c-e i/ii Para resolver el cociente 7 e iii 7 f i/ii 7 f iii 9 a 9 b 9 c Siempre se multiplica y se divide la expresión por el conjugado del denominador 10 i 10 i / ii Luego se procede como en cualquier producto entre números complejos, multiplicando los numeradores entre sí y los denominadores entre sí Observe que tenemos ahora una diferencia de cuadrados en el denominador A esta situación siempre llegamos porque, precisamente para eso es que hemos multiplicado y dividido la expresión por el conjugado del denominador De esa manera, en el denominador siempre habrá un número real Obteniendo así como resultado del cociente entre complejos, otro número complejo 5 7 9-10

25 Nº complejo z ; - z; 1/z 5) Completar los siguientes enunciados para que resulten proposiciones verdaderas : suma-resta a = c  b = d i) En R2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b) = (c, d)  producto En R2 = C se define la adición y la multiplicación mediante cociente (ac - bd; ad + bc) (a, b) + (c, d) = (a + c; b + d) (a, b) * (c, d) = operac. gráf. ii)   (C, +) tiene estructura de Grupo Abeliano “cuasi” Grupo Abeliano; puesto que (0,0) no es inversible (&) (C, *) tiene estructura de (C, +, *) tiene estructura de Cuerpo iii) Un complejo es real  su parte imaginaria es 0 su parte real es 0 un complejo es imaginario  iv) En C es : i0 = 1 i2 = - 1 i3 = - i i4q+r = i r v) Si z = (a, b) en forma de binomio z = a + b i (&) “cuasi” Grupo Abeliano es Semi-grupo conmuitativo con elemento neutro

26 resolvemos primero el producto
Nº complejo z ; - z; 1/z suma-resta resolvemos primero la suma producto cociente operac. gráf. Y luego hallamos el conjugado de la suma En forma de binomio el conjugado de la suma resolvemos primero el producto Y luego hallamos el conjugado del producto En forma de binomio el conjugado del producto

27 la raíz cuadrada de un número negativo resulta siempre un imaginario
6 a) Para resolver x2 – 1 = 0 despejamos x Pasamos –1 al 2º miembro Y la potencia como raíz entonces x1 = x2 = - 1 con x1,, x2  Z b) Para resolver x2 – 3 = 0 despejamos x Pasamos –3 al 2º miembro Y la potencia como raíz entonces x1 = x2 = con x1,, x2  I (irracionales) c) Para resolver x2 + 1 = 0 despejamos x la raíz cuadrada de un número negativo resulta siempre un imaginario Pasamos 1 al 2º miembro Y la potencia como raíz entonces x1 = i x2 = - i con x1,, x2  C 6 d

28 aplicamos la fórmula que resuelve la ecuación de segundo grado
d) Para resolver x2 + 3x + 3= 0 Una ecuación completa de 2º grado tiene la forma y la solución En la ecuación x2 + 3x + 3= 0 a = 1 b = 3 c = 3 con x1,, x2  C

29 Para representar gráficamente z4 tomamos los valores aproximados de
Nº complejo 7 a) Dados los números complejos : z ; - z; 1/z suma-resta producto Por el valor real de z1 trazamos una paralela al eje de los imaginarios cociente Por el valor imaginario de z1 trazamos una paralela al eje de los reales operac. gráf. Donde se intersectan ambas paralelas, tenemos el extremo del vector que representa z1 y tiene inicio en el origen de coordenadas z2 y z3 se representan con idéntico procedimiento Para representar gráficamente z4 tomamos los valores aproximados de tanto en la parte real como imaginaria 7 d) Para representar usamos el mismo valor real que para z4 pero a la parte imaginaria le cambiamos el signo 7 b-c-e i/ii 7 e iii 7 f i/ii 7 f iii

30 en forma de par ordenado es
Nº complejo 7 b) c) en forma de binomio es z ; - z; 1/z suma-resta en forma de par ordenado es en forma de par ordenado es producto cociente en forma de binomio es operac. gráf. 7 e) Para calcular pasamos z1 a la forma de binomio y hallamos agrupando reales por un lado e imaginarios por otro resuelvo primero la diferencia de números complejos para multiplicar un entero por un complejo, aplicamos distributiva del entero en el complejo 7 e iii 7 f i/ii 7 f iii

31 buscamos conocer la componente real del vector resultante,
Nº complejo z ; - z; 1/z suma-resta procedemos de igual manera que si hubiera sido la suma de dos complejos, eliminamos los paréntesis aplicando la regla de los signos producto cociente operac. gráf. con z1 y z2 representados para sumar gráficamente buscamos luego por el extremo de z1 trazo una paralela a por el extremo de trazo una paralela a z1 las paralelas se intersectan en el extremo del vector suma y su inicio está en el origen de coordenadas buscamos conocer la componente real del vector resultante, y la componente imaginaria 7 f i/ii 7 f iii

32 Para resolver gráficamente
Nº complejo con z1 y z2 representados Para resolver gráficamente z ; - z; 1/z suma-resta buscamos –z1 prolongando z1 en sentido opuesto y trasladando con el compás el extremo de z1 sobre la línea prolongada, con centro en el origen de coordenadas encontramos –z1 producto cociente operac. gráf. sumamos z2 + (-z1) como hemos visto prolongamos la recta de acción de z2 -z1 y borramos la semicircunferencia auxiliar y trasladamos con el compás el extremo de z2 - z1 sobre la línea prolongada, con centro en el origen de coordenadas (por cambio de signo) con el compás trasladamos una vez más sobre la recta la distancia z2 - z1 ; obteniendo –2(z2 - z1 ) buscamos la componente real del vector resultante, y la componente imaginaria

33 con z1 ; z2 y z3 representados Para resolver gráficamente
comenzamos buscando el opuesto de z2 , es decir - z2 luego buscamos y con este resultado buscamos Nº complejo z ; - z; 1/z suma-resta ahora tenemos los complejos –z2 ; z3 y producto cociente operac. gráf. representados por sus respectivos vectores solo nos queda efectuar la suma de todos ellos lo que hacemos trasladando z3 a continuación de –z2 a continuación del z3 que sigue a - z2 uniendo el extremo de la acumulación de segmentos con el origen de coordenadas tenemos el resultado que buscamos

34 Nº complejo Para calcular z1  z2 lo realizamos como si se tratara del producto de dos binomios; con la única salvedad que debemos considerar el producto de números imaginarios z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf. que resolvemos como cociente de fracciones, efectuando el producto de los extremos sobre el producto de los medios podemos pensar como (- 1) 7 f iii

35 operamos en el numerador
Nº complejo z ; - z; 1/z suma-resta operamos en el numerador efectuamos el cociente, multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador producto cociente operac. gráf. operamos en el numerador y en el denominador recuerde que i2 = - 1 2 2 fracción de fracción: es igual al producto de los extremos sobre el producto de los medios

36 (2+i) toma el lugar de x en f(x) f(x) = (2+i)2 - 2 (2 + i) + 1
8) Si para calcular (2+i) toma el lugar de x en f(x) f(x) = (2+i)2 - 2 (2 + i) + 1 (1+i) toma el lugar de x en g(x) g(x) = (1+i)2 + (1 + i) entonces operando resulta . . . recuerde ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 recuerde i2 = - 1

37 9) a) Para hallar z tal que :
Nº complejo 9) a) Para hallar z tal que : z ; - z; 1/z Si entonces . . . suma-resta producto puede escribirse cociente resolvemos operac. gráf. Agrupamos reales e imaginarios en el 1º miembro que resulta ser . . . Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las partes reales e imaginarias del primero y segundo miembro entonces . . . tengamos presente que no podremos resolver esta ecuación despejando z 9 b 9 c

38 9 b) Para hallar z tal que :
Nº complejo 9 b) Para hallar z tal que : z ; - z; 1/z suma-resta Si entonces . . . puede escribirse producto Agrupamos reales e imaginarios en el 1º miembro resolvemos cociente teniendo presente que operac. gráf. Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las partes reales e imaginarias del primero y segundo miembro (1) Podemos componer un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resolvemos por sustitución (2) de (1) reemplazando (1) en (2) reemplazando a = 2 en (1) entonces entonces 9 c

39 9 c) Para hallar z tal que :
Nº complejo 9 c) Para hallar z tal que : z ; - z; 1/z suma-resta Si entonces . . . puede escribirse producto agrupamos reales e imaginarios en el 1º miembro resolvemos cociente operac. gráf. tenga presente que Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las partes reales e imaginarias del primero y segundo miembro Podemos componer un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas intuimos que este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas no tiene solución, porque la suma de dos números cualesquiera, no pueden tener resultados diferentes

40 3 7 puede resolverse despejando z 10 i) la ecuación
resolvemos como cociente de números complejos así : Nº complejo multiplicamos y dividimos la expresión z ; - z; 1/z por el conjugado del denominador suma-resta aplicando propiedad distributiva en el numerador y diferencia de cuadrados en el denominador producto también podría haberse aplicado distributiva en el denominador y hubiéramos tenido el mismo resultado cociente operac. gráf. operamos sabiendo que i2 = -1 verificamos . . . 3 7 10 ii/iii

41 puede resolverse despejando z, porque en ella no aparece
Nº complejo puede resolverse despejando z, porque en ella no aparece z ; - z; 1/z suma-resta así : producto no debe ser muy diferente de lo realizado hasta ahora cociente iii) resolver operac. gráf. y resolvemos el segundo miembro antes de pasar multiplicando el denominador del primer término Pasamos –1 al 2º miembro resolvemos nuevamente el 2º miembro y ahora despejamos z

42 11) a) Si el producto (3 - 6 i)  (4 + x i) debe ser un número real
La parte imaginaria del resultado del producto (3 - 6 i)  (4 + x i) debe ser igual a 0 así, agrupando reales por un lado e imaginarios por otro, tendremos . . . se distingue en la expresión claramente una parte real Si la parte imaginaria debe ser 0, tendremos . . . 8 y una parte imaginaria entonces . . . Si el resultado del producto (3 - 6 i)  (4 + x i) debe ser un imaginario puro la parte real debe ser 0, tendremos . . . 2 entonces . . .

43 Algebra de Boole Decimos ( B, *  ) es Algebra de Boole si
para un conjunto B   y dos operaciones * y  12 13 1) * y  son dos leyes de composición interna en B 2) * y  son operaciones conmutativas 3) * y  son operaciones asociativas en B 4) * y  son operaciones distributivas cada una respecto de la otra 5) Existen elementos neutros en B respecto de * y  que se denotan como 0 y 1 6) Todo elemento a  B admite un complementario a´, tal que : a * a´ = y a  a´ = 0 Tenga “muy presente” que 0 y 1 en Algebra de Boole son simples denominaciones del neutro respecto de * (0) y respecto de  (1) ( no guardan ninguna relación con los valores que representan normalmente) 12 13

44 12) Si B = { 1, 2, 3, 6 } con las operaciones. y  donde
12) Si B = { 1, 2, 3, 6 } con las operaciones * y  donde * denota mínimo común múltiplo y  denota máximo común divisor  confeccionamos las tablas respectivas para cada una de las operaciones m.c.m. m.c.d. * 1 2 3 6  1 2 3 6 Todos los resultados de cualquiera de las dos tabla son elementos del conjunto B Entonces * y  son leyes de composición interna en B * y  son conmutativas porque definen relaciones conmutativas m.c.m. de a y b = m.c.m. de b y a m.c.d. de a y b = m.c.d. de b y a

45 m.c.m. m.c.d. * 1 2 3 6  1 2 3 6 Ejemplos donde se verifica la asociatividad de * y de  ( 2 * 3 ) * 6 = 6 * 6 = 6 2 * ( 3 * 6 ) = 2 * 6 = 6 ( 6  2 )  1 = 2  1 = 1 6  ( 2  1 ) = 6  1 = 1 Ejemplos donde se verifica la distributividad de  respecto de * y viceversa ( 2 * 3 )  1 = 6  1 = 1 se verifica con ( 2  1 ) * ( 3  1 ) = 1 * 1 = 1 ( 2  3 ) * 1 = 1 * 1 = 1 se verifica con ( 2 * 1 )  ( 3 * 1 ) = 2 * 3 = 1

46 m.c.m. m.c.d. * 1 2 3 6  1 2 3 6 Analizamos la existencia de neutro en B para los operadores * y  Si existe neutro en B para el operador * será un elemento e tal que x * e = x para cualquier x  B esto se verifica para e = 1 Decimos entonces que el “cero” para la operación * es el elemento 1 del conjunto B Si existe neutro en B para el operador  será un elemento e tal que x  e = x para cualquier x  B esto se verifica para e = 6 Decimos entonces que el “uno” para la operación  es el elemento 6

47 m.c.m. m.c.d. * 1 2 3 6  1 2 3 6 Nos queda analizar la existencia de complementario para * y  Si existe complementario para * debe verificarse que a  B, a´  B : a * a´= 1 Para todo elemento a que pertenece al conjunto B existe un elemento a´ que también pertenece al conjunto B que verifica la condición a * a´= 1 donde 1 es el neutro de  el 1 de  es el elemento 6 del conjunto B, verificamos respecto de * el complemento de 1 * 6 =  B ok a = 1 es a´ = 6 2 * 3 =  B ok a = 2 es a´ = 3 a = 3 es a´ = 2 3 * 2 =  B ok 6 * 1 =  B ok a = 6 es a´ = 1

48 m.c.m. m.c.d. * 1 2 3 6  1 2 3 6 (B,*,  ) Es Algebra de Boole
Finalmente analizamos la existencia de complementario para  Si existe complementario para  debe verificarse que a  B, a´  B : a  a´= 0 si el 0 de * es el elemento 1del conjunto B, verificamos respecto de  el complemento de 1  6 =  B ok a = 1 es a´ = 6 2  3 =  B ok a = 2 es a´ = 3 a = 3 es a´ = 2 3  2 =  B ok a = 6 es a´ = 1 6  1 =  B ok (B,*,  ) Es Algebra de Boole

49 13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes : ) a  b´ = ) a * b = b  ) a´ * b = ) a  b = a probamos (2) a partir de (1) entonces: a * b = (a * b)  1 porque 1 es neutro para  b * b´= 1 (a * b)  1 = (a * b)  (b * b´) por propiedad distributiva extraemos b (a * b)  (b * b´) = b * (a  b´) suponiendo válida la primera condición a  b´ = 0 b * (a  b´) = b * 0 = b por ser 0 el neutro de * queda probado que a * b = b  Probamos ahora (3) a partir de (2) entonces: Si a´ * b = a´ * ( a * b) dando por válido lo que acabamos de probar a´ * ( a * b) = ( a´ * a ) * b por asociatividad, que debe cumplir un Algebra de Boole ( a´ * a ) * b = 1 * b por complementario a * a´= 1 1 * b = ( 1 * b )  1 por ser 1 neutro para  ( 1 * b )  ( b * b´ ) = ( 1  b´ ) * b = b * b´ = 1 luego a´* b = 1

50 Probamos ahora (4) a  b = a a partir de (3) a´*b = 1 entonces:
a  b = (a  b) * 0 porque 0 es neutro para * (a  b) * 0 = (a  b) * (a  a´) porque a  a´ = 0 (a  b) * (a  a´) = a  (b*a´) por ser  distrubutivo en * a  (b * a´) = a  1 porque quedó probado (3) a´*b = con * conmutativo a  1 = a porque 1 es neutro para  queda probado que a  b = a  Probamos ahora (1) a  b´ a partir de (4) a  b = a cerrando la cadena, entonces: a  b´ = (a  b)  b´ suponiendo válido lo que acabamos de probar a  b = a (a  b)  b´ = a  ( b  b´ ) por asociatividad a  ( b  b´ ) = a  0 por complementario b  b´= 0 a  0 = ( a  0 ) * 0 por ser 0 el neutro de * ( a  0 ) * 0 = ( a  0 ) * (a  a´) = a  (0 * a´) 0 * a´ = a´ por ser 0 neutro para * luego a  b´ = 0 a  (0 * a´) = a  a´ = 0

51 14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones
establecemos las siguientes equivalencias: * equivale a  0 equivale a F  equivale a  equivale a V a´ equivale a p 1) a  b´ = 0 será p   q  F 2) a * b = b será p  q  q 3) a´ * b = 1 será  p  q  V 4) a  b = a será p  q  p Le queda a Ud comprobar que cualquiera de ellas se cumple suponiendo verdadera alguna otra, aplicando los contenidos del tema 1 (lógica de proposiciones) 15) a) Probamos que (a * b)  (a * b´) = a a * (b  b´) = a * 0 = a Aplicando distributiva y sabiendo que 0 es neutro de *; por tanto b  b´ = 0 b) Probamos que (a  b) * (a  b´) = a a  (b * b´) = a  1 = a Aplicando distributiva y sabiendo que 1 es neutro de *; por tanto b * b´ = 1 Observamos además que esto es válido por el principio de dualidad, dado que éste caso es el dual del punto a)

52 16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos
establecemos las siguientes equivalencias: * equivale a  0 equivale a  a´ equivale a A´=  equivale a  equivale a U (a * b)  (a * b´) = a equivale a (A  B)  (A  B´) = A  ( B  B´ ) = A   = A (a  b) * (a  b´) = a equivale a (A  B)  (A  B´) = A  ( B  B´ ) = A  U = A Es posible que algo haya quedado sin entenderse, te sugiero que vuelvas a repasar, que resuelvas los ejercicios complementarios y otros de los que dispongas pero JAMAS TE DESANIMES, no dejes que los fantasmas te persigan . . . Las cosas que acabarán con la raza humana son: la política sin principios, el progreso sin compasión, la riqueza sin esfuerzo, la erudicción sin silencio, la religión sin riesgo y el culto sin conciencia (Anónimo)