Estadística II.

Presentación del tema: "Estadística II."— Transcripción de la presentación:

1 Estadística II

2 Aprendizajes esperados
Calcular las medidas de tendencia central a partir de datos agrupados y no agrupados. Interpretar las medidas de tendencia central a partir de tablas y gráficos.

3 Distribución de frecuencias
Contenidos Estadística II Distribución de frecuencias Gráficos Datos NO agrupados Datos agrupados

4 Distribución de frecuencias
Corresponde al ordenamiento de datos cuando en un estudio estadístico se recopila una gran cantidad de ellos. Existen dos tipos de distribución de frecuencias: Datos NO agrupados Datos agrupados Frecuencia: Es la cantidad de veces que se repite un dato en una muestra.

5 Datos NO agrupados Se utiliza comúnmente cuando las opciones de variables son pocas. Ejemplo Ordenar los datos siguientes en una tabla de frecuencias: 5, 6, 2, 1, 5, 2, 6, 5, 7, 1, 6, 6, 2, 5, 6 Al sumar la columna de la frecuencia, se obtiene el número total de datos (n). Número Frecuencia 1 2 3 5 4 6 7 n = 15

6 Tablas de frecuencias Frecuencia acumulada:
Corresponde a la acumulación de las frecuencias de los datos ordenados en orden creciente. Frecuencia relativa: Corresponde a la razón entre la frecuencia y el número total de datos (n). Puede ser expresada en porcentaje. Dato Frecuencia Frecuencia acumulada Frecuencia relativa x1 f1 x2 f2 f1 + f2 … ... xn fn f1 + f2… + fn f1 n  100% f2 n  100% fn n  100%

7 Tablas de frecuencias Ejemplo
Construir una tabla de frecuencias para los datos: 5, 6, 2, 1, 5, 2, 6, 5, 7, 1, 6, 6, 2, 5, 6 Dato Frecuencia Frecuencia acumulada Frecuencia relativa 1 2 5 6 7 2 15  100% = 13, % 2 2 3 2 + 3 = 5 3 15  100% = 20% 4 15  100% = 26, % 4 5 + 4 = 9 5 15  100% = 33, % 5 9 + 5 = 14 1 15  100% = 6, % 1 = 15

8 Gráficos La información también puede ser representada en gráficos de barra de frecuencias (o histogramas). Ejemplo

9 Gráficos El gráfico circular sirve para presentar la información de los datos, su frecuencia, o la frecuencia relativa. Ejemplos ¿Qué tipo de película prefiere? ¿Fuma o ha fumado? Ex fumador 1.153 / 23% No fumador 2.156 / 44% Fumador 1.640 / 33%

10 Gráficos Ejemplo Según la información del gráfico, ¿cuál es el número total de datos de la muestra? Construyendo la tabla de frecuencias de los datos se tiene: 10 Dato Frecuencia 6 5 4 1 2 3 Dato Frecuencia 1 2 3 4 6 5 4 10 Sumando las frecuencias, el número de datos es: n = = 25.

11 Datos agrupados Marca de clase: Ejemplo
Se utiliza cuando hay una gran cantidad y variedad de datos, por lo que es conveniente agruparlos en intervalos semiabiertos, excepto el último, que es cerrado. Marca de clase: Corresponde al valor central de cada intervalo. Es el promedio de los extremos del intervalo. Ejemplo Las estaturas de los alumnos de un colegio viene dada por la tabla: Estatura (cm) Frecuencia Marca de clase [150, 160[ 120 [160, 170[ 240 [170, 180[ 150 [180, 190] 80 155 165 175 185

12 Media aritmética (o promedio)
Cuando se conoce la frecuencia de los datos, la media aritmética (o promedio) se calcula mediante la fórmula: x = x1  f1 + x2  f2 + …. + xn  fn n Con n: número total de datos, y fi la frecuencia del dato xi.

13 Media aritmética (o promedio)
Ejemplo Según la información de la tabla, calcular la media aritmética (o promedio) de los datos. Sumando las frecuencias, se obtiene: n = = 25. Dato Frecuencia 1 6 2 5 3 4 10 x = x1  f1 + x2  f2 + …. + xn  fn n x = 1     10 25 n = 25 x = 25 x = 68 25  x = 2,72

14 Moda Recordemos que en una distribución de datos NO agrupados, la moda es el dato de mayor frecuencia. En una distribución de datos agrupados, se llama intervalo modal al intervalo que tiene mayor frecuencia. Ejemplo ¿Cuál es el intervalo modal en la siguiente distribución de datos agrupados? Dato Frecuencia [1,3[ 10 [3,5[ 13 [5,7[ 14 [7,9] 4 El intervalo modal es el que tiene mayor frecuencia, por lo tanto en este ejemplo es [5,7[

15 Mediana Recordemos que en una distribución de datos NO agrupados, la mediana es el dato central cuando los datos han sido ordenados en forma creciente (o decreciente). Si el número de datos es impar, la mediana corresponde al valor central. Si el número de datos es par, la mediana corresponde al promedio entre los dos valores centrales. En una distribución de datos agrupados, la mediana se encuentra en el intervalo que contenga el dato central.

16 Mediana Ejemplo ¿En qué intervalo se encuentra la mediana en la siguiente distribución de datos agrupados? Si sumamos las frecuencias vemos que el total de datos es 41, por lo tanto la mediana se encuentra en el intervalo que contiene al dato de ubicación 21. Dato Frecuencia [1,3[ 10 [3,5[ 13 [5,7[ 14 [7,9] 4 Este dato se encuentra en el intervalo [3,5[.

17 Apliquemos nuestros conocimientos
1. Según la tabla de adjunta, ¿cuál es la frecuencia del dato 3? A) 3 B) 7 C) 15 D) 18 E) 25 Dato Frecuencia acumulada 1 15 2 18 3 25 4 35 ¿Cuál es la alternativa correcta?

18 B Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución:
Sabemos que la frecuencia acumulada se obtiene sumando las frecuencias de los datos anteriores. Observando la tabla, se obtiene que la frecuencia del primer dato es 15. Dato Frecuencia acumulada 1 15 2 18 3 25 4 35 Dado que la frecuencia acumulada del dato 2 es 18, podemos deducir que la frecuencia del dato 2 es 3. De la misma manera, si la frecuencia acumulada del dato 3 es 25, y la frecuencia acumulada entre los datos 1 y 2 es 18, se tiene que la frecuencia del dato 3 es: B 25 – 18 = 7. Habilidad: Aplicación

19 Apliquemos nuestros conocimientos
2. Según el gráfico de la figura, ¿cuál es la frecuencia relativa del dato 2? A) 2% B) 20% C) 40% D) 50% E) 75% 20 Dato Frecuencia 12 10 8 1 2 3 4 ¿Cuál es la alternativa correcta?

20 Apliquemos nuestros conocimientos
Resolución: Construyendo la tabla de frecuencia asociada al gráfico se tiene: Dato Frecuencia 1 8 2 20 3 12 4 10 Sumando las frecuencias se obtiene el número total de datos: n = = 50

21 C Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución:
Conocido el valor de n, podemos calcular la frecuencia relativa: f2 n  100% = (Reemplazando) 20 50  100% = (Dividiendo) 0,4  100% = (Multiplicando) 40% C Habilidad: Aplicación

22 Apliquemos nuestros conocimientos
3. Según la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El número total de datos es 75. II) La frecuencia acumulada hasta el dato 20 es 42. III) La frecuencia relativa del dato 15 es 30%. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III Dato Frecuencia 5 2 10 15 25 20 8 ¿Cuál es la alternativa correcta?

23 Apliquemos nuestros conocimientos
Resolución: Analizando cada uno de los datos: I) El número total de datos es 75. Sumando las frecuencias se obtiene el número total de datos: n = Dato Frecuencia 5 2 10 15 25 20 8 n = 50. Por lo tanto, I) es Falsa.

24 Apliquemos nuestros conocimientos
Resolución: II) La frecuencia acumulada hasta el dato 20 es 42. Construyendo la tabla con las frecuencias acumuladas: Dato Frecuencia Frecuencia acumulada 5 2 10 12 15 25 37 20 42 8 50 Observamos que la frecuencia acumulada del dato 20 es 42. Por lo tanto, II) es Verdadera.

25 B Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Análisis Resolución:
III) La frecuencia relativa del dato 15 es 30%. Calculando la frecuencia del dato 15 se tiene: f3 n  100% = (Reemplazando) 25 50  100% = (Dividiendo) 0,5  100% = (Multiplicando) B 50% Por lo tanto, III) es Falsa. Habilidad: Análisis

26 Apliquemos nuestros conocimientos
4. En la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La marca de clase del intervalo [10, 15[ es 12,5. II) El intervalo modal es [25, 30]. III) La mediana se encuentra en el intervalo [20, 25[. Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III Intervalos Frecuencia [10, 15[ 42 [15, 20[ 23 [20, 25[ 35 [25, 30] 86 ¿Cuál es la alternativa correcta?

27 Apliquemos nuestros conocimientos
Resolución: Analizando cada afirmación: I) La marca de clase del intervalo [10, 15[ es 12,5. La marca de clase del intervalo es el promedio de los extremos: Marca de clase = 2 Intervalos Frecuencia [10, 15[ 42 [15, 20[ 23 [20, 25[ 35 [25, 30] 86 Marca de clase = 25 2 Marca de clase = 12,5 Por lo tanto, I) es Verdadera.

28 Apliquemos nuestros conocimientos
Resolución: II) El intervalo modal es [25, 30]. El intervalo modal es aquel que tiene mayor frecuencia. Por lo tanto, II) es Verdadera. Intervalos Frecuencia [10, 15[ 42 [15, 20[ 23 [20, 25[ 35 [25, 30] 86

29 E Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Análisis Resolución:
III) La mediana se encuentra en el intervalo [20, 25[. Intervalos Frecuencia Frecuencia acumulada [10, 15[ 42 [15, 20[ 23 65 [20, 25[ 35 100 [25, 30] 86 186 Agregándole a la tabla una columna con la frecuencia acumulada: Podemos observar que hay un total de 186 datos. La mitad de los datos, entonces, es 93. La mediana será el promedio entre los datos ubicados en la posición 93 y 94. E Según la columna de la frecuencia acumulada, ambos datos están en el intervalo [20, 25[. Por lo tanto, III) es Verdadera. Habilidad: Análisis

30 Apliquemos nuestros conocimientos
5. Según el gráfico, ¿cuál es el valor de la media aritmética (o promedio)? A) 3,3 B) 5,6 C) 9,5 D) 56 E) 560 45 Dato Frecuencia 35 10 5 2 4 6 8 ¿Cuál es la alternativa correcta?

31 Apliquemos nuestros conocimientos
Resolución: Construyendo la tabla de frecuencia asociada al gráfico se tiene: 45 Dato Frecuencia 35 10 5 2 4 6 8 Dato Frecuencia 2 5 4 35 6 45 8 10 Sumando las frecuencias se tiene que el número de datos es: n = = 100

32 B Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución:
Calculando la media aritmética (o promedio) se tiene: x = x1  f1 + x2  f2 + …. + xn  fn n (Reemplazando) x = 2      10 100 (Multiplicando) Dato Frecuencia 2 5 4 35 6 45 8 10 x = 100 (Sumando) x = 560 100 (Dividiendo) B x = 5,6 Habilidad: Aplicación

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