EQUIPO #7 Aplicaciones de Grafos Erick Ramiro Adrián.

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1 EQUIPO #7 Aplicaciones de Grafos Erick Ramiro Adrián

2 INTRODUCCION Un grafo es una pareja G = (V, A), donde V es un conjunto de puntos, llamados vértices, y A es un conjunto de pares de vértices, llamadas aristas. Para simplificar, notaremos la arista {a, b} como ab.

3 INTRODUCCION La posición de los vértices no importa, y se puede variar para obtener un grafo más claro. Prácticamente cualquier red puede ser modelada con un grafo: una red de carreteras que conecta ciudades, una red eléctrica o un alcantarillado.

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Puentes de Konigsberg Uno de los primeros problemas que fueron modelados usando grafos fue el que confrontó Leonard Euler (1736). En la ciudad de Kaliningrado (antigua Königsberg) había siete puentes sobre el río Pregel. Uno de los puentes conectaba dos islas entre sí. Una de las islas estaba conectada a una ribera por dos puentes y otros dos puentes la conectaban con la otra costa. La otra isla poseía un puente hacia cada ribera. Euler se preguntó si sería posible comenzar un paseo desde cualquier punto y atravesar cada puente una y sólo una vez, regresando al punto departida.

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Puentes de Konigsberg Aplicando grafos se puede encontrar una mejor manera de regresar a nuestro punto de partida con el menor tiempo y en el caso de los puentes esfuerzo. Utilizando el modelo de la figura, donde los vértices representan los puntos de tierra y las aristas representan los puentes.

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Grafos Planos Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten, se dice que es plano. Aplicación Se dibujan tres casas y tres pozos. Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos. Como no se llevan bien en absoluto, no quieren cruzarse jamás. ¿Es posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces?. Respuesta NO Un grafo es plano si se puede dibujar sin cruces de aristas.

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Teorema de los 4 colores En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los 4 colores, resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken. El teorema de cuatro colores establece que cualquier mapa geográfico puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color. Dos regiones se dicen adyacentes si comparten un segmento de borde en común, no solamente un punto.

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Teorema de los 4 colores La forma precisa de cada país no importa; lo único relevante es saber qué país toca a qué otro. Estos datos están incluidos en el grafo donde los vértices son los países y las aristas conectan los que justamente son adyacentes. Entonces la cuestión equivale a atribuir a cada vértice un color distinto del de sus vecinos. Si se empieza por el país central a y se esfuerza uno en utilizar el menor número de colores, entonces en la corona alrededor de a alternan dos colores. Llegando al país h se tiene que introducir un cuarto color. Lo mismo sucede en i si se emplea el mismo método.

9 Aplicaciones de Gráfos Clasificación de los Grafos
Los grafos se utilizan en aplicaciones muy diversas (redes de comunicaciones, redes de transporte, circuitos, planificación de tareas) cada una de las cuales utiliza una noción distinta de grafo. Los grafos de pueden clasificar atendiendo Al número de arcos que puedan existir entre dos nodos: 􀂃 Grafos múltiples (vuelos entre aeropuertos) 􀂃 Grafos simples (líneas de ferrocarril) A la orientación de los arcos: 􀂃 Grafos orientados (vuelos entre aeropuertos) 􀂃 Grafos no orientados (red de carreteras, líneas de teléfono) A la existencia de funciones definidas sobre los arcos o los nodos: 􀂃 Grafos no valorados 􀂃 Grafos valorados (red de carreteras con kms, vuelos con duración)

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Internet Al visitar una pagina web y hacer click a un enlace, visto como un grafo los vértices son los sitios, y cuyas aristas son lógicamente los enlaces.

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Otras Aplicaciones Gracias a la teoría de Grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Los grafos se utilizan los mismos también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd. Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar

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Bibliografía Documento PDF “cap3.pdf”, Autor Oscar Meza Documento PDF “temaVII”, Autor Juan Miguel Figueroa