Herramientas matemáticas

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1 Herramientas matemáticas
CALIDAD DE SUMINISTRO ELÉCTRICO Herramientas matemáticas 2008 Dr. Luis Morán T.

2 Análisis de sistemas eléctricos
Los sistemas eléctricos operan normalmente con voltajes y/o corrientes generalmente periódicas pero no sinusoidales. Un error frecuente en el análisis de redes es intentar aplicar las relaciones especiales para sinusoides a formas de onda distorsionadas. Caso particular señales sinusoidales Caso general 2008 Dr. Luis Morán T.

3 Análisis de sistemas eléctricos
En estos casos se hace necesario el uso de otro tipo de herramientas matemáticas. Series de Fourier. Componentes simétricas. Transformada de Wavelets. 2008 Dr. Luis Morán T.

4 Análisis de sistemas eléctricos : caso ideal
En un sistema eléctrico ideal todas las corrientes y voltajes en régimen permanente son sinusoides. La potencia media en los circuitos en corriente alterna se calculan según las siguientes expresiones: 2008 Dr. Luis Morán T.

5 Análisis de sistemas eléctricos : caso ideal
2008 Dr. Luis Morán T.

6 Análisis de sistemas eléctricos : caso ideal
Magnitudes obtenidas 380 100 58 27 2008 Dr. Luis Morán T.

7 Análisis de sistemas eléctricos : carga no-lineal
Si un voltaje sinusoidal Vs se aplica a una carga no-lineal, la forma de onda de la corriente ya no será sinusoidal. El voltaje y la corriente pueden representarse mediante series de Fourier 2008 Dr. Luis Morán T.

8 Análisis de sistemas eléctricos : carga no-lineal
Las series de Fourier permiten describir formas de onda periódicas no sinusoidales en términos de una serie de sinusoides. 2008 Dr. Luis Morán T.

9 Análisis de sistemas eléctricos
Las series de Fourier permiten describir formas de onda periódicas no sinusoidales en términos de una serie de sinusoides. 2008 Dr. Luis Morán T.

10 Análisis de sistemas eléctricos : carga no-lineal
2008 Dr. Luis Morán T.

11 Análisis de sistemas eléctricos
El valor RMS y el THD se pueden definir a partir de la serie de Fourier. El factor de potencia difiere respecto al caso ideal , incluye un factor de distorsión. Este factor representa la reducción del factor de potencia por desplazamiento debido efecto de la forma de onda distorsionada. 2008 Dr. Luis Morán T.

12 Términos Asociados al Espectro Armónico.
Componente fundamental: es la amplitud de la señal sinusoidal cuya frecuencia es igual a la de la función de origen (Ej: h1=50[Hz]). 2008 Dr. Luis Morán T.

13 Términos Asociados al Espectro Armónico.
Armónica dominante: es la componente de la serie de Fourier que presenta la mayor amplitud (Ej: h5=250[Hz]). 2008 Dr. Luis Morán T.

14 Términos Asociados al Espectro Armónico.
Armónicas impares: son las componentes de la serie de Fourier cuya frecuencia es un múltiplo impar de la frecuencia fundamental (Ej: h= [Hz]). 2008 Dr. Luis Morán T.

15 Términos Asociados al Espectro Armónico.
Armónicas pares: son las componentes de la serie de Fourier cuya frecuencia es un múltiplo par de la frecuencia fundamental (Ej: h4=200[Hz]). 2008 Dr. Luis Morán T.

16 Términos Asociados al Espectro Armónico.
Subarmónicas: componentes de la serie de Fourier con frecuencia igual a un submúltiplo de la frecuencia fundamental (Ej: h0.5=25[Hz]). 2008 Dr. Luis Morán T.

17 Términos Asociados al Espectro Armónico.
Inter-armónicas: señal con frecuencia que no se relaciona con la frecuencia fundamental (Ej: h9.3=465[Hz]). 2008 Dr. Luis Morán T.

18 Términos Asociados al Espectro Armónico.
Tanto las subarmónicas como las interarmónicas no tienen sentido en el espectro de Fourier (no están definidas matemáticamente), pero si existen en sistemas de potencia producto de fenómenos transitorios no periódicos. Estas componentes presentan frecuencias iguales a múltiplos no enteros de la componente fundamental. 2008 Dr. Luis Morán T.

19 Fuentes que Originan Interarmónicas
Términos Asociados al Espectro Armónico. Fuentes que Originan Interarmónicas El más severo en provocar éstos efectos es el Cicloconversor, debido a su conexión directa entre el rectificador con el inversor. Diferentes topologías con electrónica de potencia. Los Hornos de Arco, debido a el fenómeno de flicker (parpadeo en el voltaje) , lo cual produce interarmónicos de baja frecuencia. Motores de Inducción pueden ser fuente de interarmónicos, producto de una magnetización irregular entre el estator y rotor, lo cual provoca la saturación del fierro. 2008 Dr. Luis Morán T.

20 Componentes Simétricas
Herramienta matemática para tratar con circuitos polifásicos desbalanceados. Tres fasores desbalanceados de un sistema trifásico se pueden descomponer en tres sistemas balanceados de fasores: Componente de secuencia positiva. Componente de secuencia negativa. Componente de secuencia cero. 2008 Dr. Luis Morán T.

21 Componentes Simétricas
Componente de secuencia positiva Componente de secuencia negativa Componente de secuencia cero 2008 Dr. Luis Morán T.

22 Componentes Simétricas
Como cada uno de los fasores desbalanceados originales es la suma de sus componentes, entonces: 2008 Dr. Luis Morán T.

23 Componentes Simétricas
Sea “a” un operador que origina una rotación de 120°en la dirección contraria a las manecillas del reloj, entonces: Considerando el operador “a” , y tomando como referencia Va, las componentes de Vb y Vc se pueden expresar como: 2008 Dr. Luis Morán T.

24 Componentes Simétricas
Considerando lo anterior se obtiene: En forma matricial: 2008 Dr. Luis Morán T.

25 Componentes Simétricas
Después de realizar algunas operaciones matemáticas, se llega a que: Análogamente se puede utilizar otra referencia (Vb o Vc). De la misma forma, se pueden obtener las componentes de secuencias de las corrientes de línea, voltajes de línea, etc. 2008 Dr. Luis Morán T.

26 Ejemplo gráfico: 2008 Dr. Luis Morán T.

27 Ejemplo gráfico: Voltaje desbalanceado del sistema (Va) 2008
Dr. Luis Morán T.

28 Ejemplo gráfico: Voltajes de secuencia positiva 2008 Dr. Luis Morán T.

29 Ejemplo gráfico: Voltajes de secuencia cero 2008 Dr. Luis Morán T.

30 Ejemplo gráfico: Voltajes de secuencia negativa 2008 Dr. Luis Morán T.

31 Componentes Simétricas
Relación entre armónicas y componentes de secuencia 2008 Dr. Luis Morán T.

32 Componentes Simétricas
2008 Dr. Luis Morán T.

33 Componentes Simétricas
Circulación de terceras armónicas en transformadores trifásicos 2008 Dr. Luis Morán T.

34 Equipos para medir la Calidad de Suministro Fluke 43
Volts / Hz / Amps. Potencia (kVA / kW / kVAr / fp). Armónicas (hasta 51), THD. Sags y Swells. Transientes de voltaje. Corriente Inrush. Osciloscopio. 2008 Dr. Luis Morán T.

35 Equipos para medir la Calidad de Suministro Dranetz 4300
Volts / Amps. Transientes de voltaje y corriente. Frecuencia. Otros cálculos vía software. 2008 Dr. Luis Morán T.

36 Equipos para medir la Calidad de Suministro Tektronix THS720P
Volts / Hz / Amps. Potencia (kVA / kW / kVAr / fp). Armónicas (hasta 51), THD. Transientes de voltaje. Corriente Inrush. Osciloscopio. Multímetro. 2008 Dr. Luis Morán T.

37 Equipos para medir la Calidad de Suministro Reliable Power Meter
Volts / Amps / Hz. Corriente por tierra. Desbalance. Armónicos. Flicker. Energía, demanda, fp, reactivos. 2008 Dr. Luis Morán T.

38 ¿ Cómo determinar las armónicas ?
Medir: ¿ dónde... transformadores de medida ? Discretizar: ¿ cuántos puntos por período ? Calcular: ¿ cuáles fórmulas (reglamento) ? 2008 Dr. Luis Morán T.

39 Medir Señales de Voltaje y Corriente Transformadores de Medida
Las señales corresponden a la corriente de una línea de un filtro sintonizado a la armónica 11. La señal color rojo es la corriente medida directamente. La señal color azul es la corriente medida a través de un transformador de corriente. No hay diferencia a simple vista. 2008 Dr. Luis Morán T.

40 Medir Señales de Voltaje y Corriente Transformadores de Medida
Zoom de las señales de corriente anteriores. No hay diferencia a simple vista. 2008 Dr. Luis Morán T.

41 Medir Señales de Voltaje y Corriente Transformadores de Medida
Espectro armónico. Color rojo es directa y color azul es a través de un transfomador de medida. Directa Transformador. Hasta la armónica 51 no hay diferencias notorias. Esto se refleja en los índices tales como valores rms y THD. 2008 Dr. Luis Morán T.

42 Discretizar Señales de Voltaje y Corriente ¿ Cuántas muestras y niveles por período ?
Los instrumentos son digitales (para realizar cálculos) y por lo tanto discretizan las señales. La presición depende de dos aspectos, éstos son (a) los niveles de discretización y (b) la frecuencia de discretización. Los niveles de discretización dependen del tipo de conversor (8 bit, 16 bit). La frecuencia de discretización depende de la velocidad de conversión (muestras por período) 2008 Dr. Luis Morán T.

43 Discretizar Señales de Voltaje y Corriente Número de bits del conversor
Los niveles de discretización dependen del tipo de conversor (8 bit, 14 bit, 16 bit). Los niveles son en total 2 # bit = 256 para 8 bit. El error máximo es de: para 8 bit. 2008 Dr. Luis Morán T.

44 Discretizar Señales de Voltaje y Corriente Número de muestras por período
La velocidad de muestreo finita implica un número de muestras finito por período. El Teorema de Nyquist indica que se requieren al menos dos muestras por periódo. 3 señal continua 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 señal discretizada -3 Si se desea medir hasta la armónica 51 se deben utilizar al menos 102 muestras por período. La última armónica es capturada con dos muestras... ¿ es suficiente ?. 2008 Dr. Luis Morán T.

45 Discretizar Señales de Voltaje y Corriente N = 2 (dos muestras por período)
Caso Caso 2 3 v(1) área para efectos de cálculo 3 no hay área 2 2 1 1 v(2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -1 v(1) -2 v(t) v(2) -2 v(t) -3 -3 Los cálculos dependerán de la sincronización del muestreo con la señal continua al tener dos muestras por período. En el Caso 1 el valor rms sería el peak de la señal, el Caso 2 indicaría un valor rms cero. 2008 Dr. Luis Morán T.

46 Discretizar Señales de Voltaje y Corriente N < 2: Aliasing
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 armónico submuestreado El submuestrear un armónico conlleva la identificación de armónicos inexistentes. Este fenómeno se conoce como el efecto aliasing. Al submuestrear una señal se incurre en la determinación errónea de la amplitud y fase de las armónicas existentes. La solución es filtrar la señal en estudio. -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 señal submuestreada 2008 Dr. Luis Morán T.

47 Discretizar Señales de Voltaje y Corriente Aliasing en Frecuencia
B.W. ws -ws 2ws -2ws espectro de la señal discretización espectro de la señal discretizada El espectro de la señal original tiene un ancho de banda B.W. El muestreador tiene espectro distinto de cero a frecuencias múltiples de la frecuencia de muestreo. La señal resultante puede tener un espectro sobrepuesto (aliasing) si ws > 2 B.W. 2008 Dr. Luis Morán T.

48 Discretizar Señales de Voltaje y Corriente Filtro Aliasing
B.W. ws > 102 -ws 2ws -2ws wf wf = 51 ws ws- wf espectro de la señal espectro ideal del filtro espectro de la señal filtrada La señal se filtra para eliminar los armónicos superiores. El filtro tiene un ancho de banda que se ajusta a la frecuencia de muestreo. Si se requieren 51 armónicos la frecuencia de muestreo debe de ser superior a 102 y por lo tanto el filtro se diseña con un ancho de banda de 51 armónicos. 2008 Dr. Luis Morán T.

49 Cálculo en Señales de Voltaje y Corriente Valor rms discreto
El valor rms de la señal continua está dado por, -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 área para efectos de cálculo v(t) v(1) v(2) v(8) La integral, es el área del cuadrado de la señal. Por lo tanto, el valor RMS es, 2008 Dr. Luis Morán T.

50 Tensión de fase de entrada de un VDF Zoom de tensión de fase en el VDF
Cálculo en Señales de Voltaje y Corriente Valor rms discreto - Caso práctico I Tensión de fase de entrada de un VDF Zoom de tensión de fase en el VDF La tensión RMS entregada fue de 270 V. Al filtrar la señal y recalcular se obtuvo 221 V (lo esperado). 2008 Dr. Luis Morán T.

51 Cálculo en Señales de Voltaje y Corriente Valor rms discreto - Caso práctico II
Tensión en los terminales de un motor de un ASD La tensión RMS fue de 450 V. Al filtrar la señal y recalcular se obtuvo 201 V (que es lo esperado). 2008 Dr. Luis Morán T.

52 Cálculo en Señales de Voltaje y Corriente Valor rms de un armónico
El valor RMS de un armónico en una señal continua está dado por, con, La versión discreta de las ecuaciones anteriores son derivadas de una aproximación de la integral continua. Estas son, Las expresiones anteriores presumen la existencia de una señal periódica de período wo, con armónicos de orden inferior a N/2. 2008 Dr. Luis Morán T.

53 Cálculo en Señales de Voltaje y Corriente Valor rms de un armónico - Caso I
Corriente de entrada en un alimentador. Tabla de armónicos Espectro 2008 Dr. Luis Morán T.

54 Cálculo en Señales de Voltaje y Corriente Valor rms de un armónico - Caso II
Corriente de red en un ASD. ¿ Cuál es el armónico fundamental ? ¿ Qué armónico es la envolvente ? ¿ Cuál es el valor RMS de la fundamental y armónicas ? ¿Cómo determina un instrumento la fundamental ? 2008 Dr. Luis Morán T.

55 Cálculo en Señales de Voltaje y Corriente Valor rms de un armónico - Caso III
Corriente de motor en un ASD. La componente fundamental está oscilando en frecuencia. ¿ Cuál es el armónico fundamental ? ¿ Cómo determinar el valor RMS de la fundamental y armónicas ? WAVELETS!!! 2008 Dr. Luis Morán T.

56 Transformada Wavelet La idea básica de analizar señales en el dominio conjunto tiempo y frecuencia, es poder observar los cambios espectrales de frecuencia a medida que pasa el tiempo. Con esto se puede ver variaciones en el tiempo de las componentes frecuenciales de la señal. Se pueden analizar las señales no periódicas o no estacionarias (Diferencia fundamental con método Transformada Fourier). Permite analizar señales con algún grado de distorsión o con variaciones de frecuencia e identificar estados transientes en el tiempo. 2008 Dr. Luis Morán T.

57 Transformada Wavelet (WT)
Donde: f(t) : función a analizar. Y : función Wavelet Madre. S : factor de escalamiento (contracción/dilatación). t : desplazamiento temporal (traslación). t : variable uni-dimensional continua. 2008 Dr. Luis Morán T.

58 Función Wavelet Madre y(s,t).
Y , Valor real o complejo, con soporte positivo. Cumple con: Suave. Localización en el Tiempo. Localización en Frecuencia 2008 Dr. Luis Morán T.

59 Función Wavelet Madre y(s,t).
Wavelet Madre ‘Morlet’ Wavelet Madre ‘Sombrero Mexicano’ 2008 Dr. Luis Morán T.

60 Ejemplos: Funciones Wavelet Madres y(s,t).
Familias de Wavelets 2008 Dr. Luis Morán T.

61 Dependientes del tiempo y frecuencia.
Coeficientes Cs,t de WT. Dependientes del tiempo y frecuencia. Representan las magnitudes del contenido espectral de f(t). 2008 Dr. Luis Morán T.

62 Transformada Wavelet Continua (CWT)
Parámetros (s,t) de WT son continuos en R. Restricción: 2008 Dr. Luis Morán T.

63 Teoría Wevelet Discreta
El filtro pasa-altos H1 extrae “detalles” de las frecuencias más altas de la señal, mientras que el filtro pasa-bajos H0 produce la señal a iterar restante de ancho de banda disminuido. Banco de Filtros de DWT (coeficientes) 2008 Dr. Luis Morán T.

64 Transformada Wavelet Un Procedimiento Propuesto para el Cálculo y Análisis Armónico con WT, es el siguiente: 1.- Generar un vector de los valores de la muestra. El tamaño de la muestra debe ser una potencia de dos. 2.- Procesar el vector mediante el algoritmo DWT.Supone la elección de wavelet madre. Esto generará un vector de 2^(niveles+1) elementos. (ej: wave() en MathCad®). 3.- Cada nivel contiene los coeficientes de WT que aproximan la función, ordenados desde la más baja frecuencia, hasta la más alta. (ej: 2,4,8,16,32,…,2^(niveles+1) 4.- Aplicar FFT u otro, para extraer el contenido armónico de las distintas frecuencias. 2008 Dr. Luis Morán T.

65 1.- Ejemplo Transformada Wavelet
Análisis de Armónico en Estado Estacionario Amplitud de señal estacionaria usando DFT Frecuencia de muestreo: ~0.8KHz 2008 Dr. Luis Morán T.

66 1.- Ejemplo Transformada Wavelet
Análisis de Armónico en Estado Estacionario Resultados de Simulación de Señal Estacionaria Usando WT (a), (d) y (g) son los resultados de WT en diferentes escalas; (b), (e) y (h) son los resultados del análisis usando DFT en el dominio del tiempo. 2008 Dr. Luis Morán T.

67 2.- Ejemplo Transformada Wavelet
Análisis de Armónico Variantes en el Tiempo Amplitud de señal variante en el tiempo usando DFT 2008 Dr. Luis Morán T.

68 2.- Ejemplo Transformada Wavelet
Análisis de Armónico Variantes en el Tiempo Resultados de Simulación usando WT: Amplitud de 3rd Amplitud de 7th 2008 Dr. Luis Morán T.

69 3.- Ejemplo Transformada Wavelet
Sistema Eléctrico Fuente de voltaje, línea, rectificador de 6 pulsos, carga RL. Señal de voltaje de la simulación anterior. 2008 Dr. Luis Morán T.

70 3.- Ejemplo Transformada Wavelet
Sistema Eléctrico Al aplicar la FFT a la señal, solo se observan las frecuencias fundamentales y los armónicos correspondientes (5ª, 7ª, 11ª, 13ª, etc.) No se observan los transientes o las conmutaciones del rectificador de seis pulsos. 2008 Dr. Luis Morán T.

71 3.- Ejemplo Transformada Wavelet
Sistema Eléctrico Análisis Voltaje de Entrada Rectificador Estático de 6P Identificación de los Estados Transientes y discontinuidades, en el Tiempo y Frecuencia. 2008 Dr. Luis Morán T.

72 3.- Ejemplo Transformada Wavelet
Sistema Eléctrico Análisis Voltaje de Entrada Rectificador Estático de 6 Pulsos La CWT proporciona una representación en el Tiempo y Frecuencia (Espectro en Frecuencia). Alto contenido Armónico, hasta los 800 Hz. siendo la 5ta. y 7ma. las de mayor incidencia. Gran distorsión de transientes a los 1200 Hz. y 1900Hz. Producidos por los Nocht de Voltaje. 2008 Dr. Luis Morán T.

73 ¿Cómo Calcular las Armónicas?.
Transformada Wavelet El uso de Wavelet para el análisis del problema de calidad de la energía, es una herramienta necesaria y complementaria al análisis Fourier. La Transformada de Wavelet es capaz identificar armónicos, subarmónicos e interarmónicos presentes en una señal dada. 2008 Dr. Luis Morán T.