Sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 ANÁLISIS DE LA PRECIPITACIÓN QUE SE REGISTRA EN UNA ESTACIÓN CLIMÁTICA.

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1 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 ANÁLISIS DE LA PRECIPITACIÓN QUE SE REGISTRA EN UNA ESTACIÓN CLIMÁTICA O CONJUNTO DE ELLAS.

2 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 PROBABILIDAD: SI UN EXPERIMENTO TIENE n RESULTADOS POSIBLES Y MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y SI DE ELLOS na RESULTADOS TIENEN UN ATRIBUTO a ES DECIR: P(A) = na/n

3 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 LO ANTERIORMENTE EXPUESTO SE PUEDE EXPRESAR, EXPERIMENTO “TIRO DE UN DADO” U “OCURRENCIA DE UNA TORMENTA” EL ATRIBUTO a PUEDE LLAMARSE “EL NÚMERO QUE SALE DEL TIRO DE DADO ES 2” O “LA PRECIPITACIÓN TOTAL ES DE 500 mm”

4 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 EL PERIODO DE RETORNO SE PUEDE DEFINIR: SEA A EL EVENTO “EL NÚMERO QUE SALE DEL TIRO DEL DADO ES 2” Y B EL EVENTO “LA ALTURA DE PRECIPITACIÓN EN 24 HORAS EN CUALQUIER AÑO ES DE 500 mm”

5 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 EL NÚMERO DE AÑOS EN QUE EN PROMEDIO, SE PRESENTA UN EVENTO COMO EL B DE LA DIAPOSITIVA ANTERIOR, SE LLAMA PERIODO DE RETORNO, INTERVALO DE RECURRENCIA O SIMPLEMENTE FRECUENCIA Y SE ACOSTUMBRA EMPLEAR EL SIMBOLO Tr

6 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 KOLMOGOROV PLANTEA: SI SE PRESENTA UN CONJUNTO DE CONDICIONES S, ENTONCES EL EVENTO A SEGURAMENTE OCURRE,O BIEN, SI SE PRESENTA UN CONJUNTO DE CONDICIONES S, ENTONCES EL EVENTO A NO PUEDE OCURRIR.

7 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 UNA MUESTRA DE UN EVENTO O ESPACIO MUESTRAL ES EL CONJUNTO DE VALORES QUE PLANTEAN ALGUNA TENDENCIA ESPECÍFICA,Y TIENEN SU PROPIA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD, MISMA QUE NO SE CONOCE REGULARMENTE.

8 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 CONSIDERANDO EL CONJUNTO DE DIEZ GASTOS MAXIMOS ANUALES, Y TOMANDO TODOS ELLOS COMO CONJUNTO UNIVERSO, PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE EL GASTO MÁXIMO ANUAL SEA MENOR O IGUAL A 1500 m3/s SE ENCUENTRA EN LOS LÍMITES SIGUIENTES: 0 <= P(X <= 1500 m3/s)<= 0.1 Y QUE SEA MENOR O IGUAL A 5000 m3/s ESTARÁ EN LOS LÍMITES 0.9<= P(X <= 5000 m3/s) <=1.0 AÑO12345678910 Q max m3/s 2000500045003800290031001500220039004700

9 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 AÑO12345678910 Q max m3/s 2000500045003800290031001500220039004700

10 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 SI ORDENAMOS LOS DATOS DE MAYOR A MENOR TENDREMOS LO SIGUIENTE: AÑO12345678910 Q max m3/s 5000470045003900380031002900220020001500 AHORA SI m ES EL NÚMERO DE ÓRDEN Y n EL NÚMERO TOTAL DE DATOS TENEMOS PARA 1500 UN VALOR DE 1/10 Y PARA 5000 UN VALOR DE 10/10, LO QUE EXPLICA EL RESULTADO ANTERIOR.

11 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 LO QUE HACE POSIBLE DESARROLLAR LA ECUACIÓN SIGUIENTE PARA PERIODO DE RETORNO: Tr= (n+1) /m ASÍ EL MÁXIMO EVENTO REGISTRADO TENDRA UN PERIODO DE RETORNO DE 11 AÑOS Y EL MÍNIMO DE 1.1 AÑOS

12 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 SI NO SE COMPRENDIO PARA 5000 m3/s Tr= (n+1) /m, será: (10+1)/1 y para 1500 m3/s será (10+1)/10. AÑO12345678910 Q max m3/s 5000470045003900380031002900220020001500 m n

13 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD USADAS EN HIDROLOGÍA

14 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 UNA VEZ QUE SE LE ASIGNA UN PERIODO DE RETORNO AL GASTO DE DISEÑO DE ALGUNA OBRA O UNA PRECIPITACIÓN MÁXIMA EN 24 HORAS, GENERALMENTE EL ANÁLISIS REDUNDA EN UN CONJUNTO DE VALORES FINITO, POR LO QUE SE HACE NECESARIA LA EXTRAPOLACIÓN PARA CONOCER POSIBLES VALORES PARA PERIODOS DE RETORNO MAYORES AL CONJUNTO FINITO.

15 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 POR EJEMPLO ES POSIBLE QUE PARA UN CONJUNTO DE 25 AÑOS DE REGISTRO SEA NECESARIO EXTRAPOLAR PARA UN PERIODO DE RETORNO DE 10000 AÑOS, LOGRANDO UN BUEN RESULTADO DE EXTRAPOLACIÓN A PARTIR DE UN REGISTRO MÍNIMO DE 10 AÑOS.

16 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

17 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL: F(x)=(1/(2Πσ) ½ )e -1/2(x-µ/σ) LA CUAL NO TIENE SOLUCION ANALITICA MAS SI NUMÉRICA Y EL PROCEDIMIENTO QUE SE DESCRIBE A CONTINUACIÓN MEDIANTE UN EJEMPLO LO DESCRIBE:

18 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 LOS GASTOS MÁXIMOS ANUALES REGISTRADOS EN LA ESTACIÓN HIDROMÉTRICA JUCHIPILA EN NAYARIT, SE MUESTRAN A CONTINUACIÓN AÑO1954195519561957195819591960 Q max m3/s 2230322022461804233720703682 AÑO1961196219631964196519661967 Q max m3/s 4240236770612489235037062675 AÑO1968196919701971197219731974 Q max m3/s 6267597147446000406069005565 AÑO1975197619771978 Q max m3/s 3130241417967430

19 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 a)¿Cuál es la probabilidad de que, en un año cualquiera, el gasto sea mayor o igual a 7500 m3/s?. b)Se planea construir cerca de este sitio un bordo para protección contra inundaciones. ¿Cuál debe ser el gasto de diseño si se desea que el periodo de retorno sea de 60 años?.

20 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 La media de los datos anteriores es: X= Sumatoria de i=1 hasta 25 de Xi y dividido entre el número total del conjunto de datos que es 25, el resultado es: 3886 m3/s AÑO1954195519561957195819591960 Q max m3/s 2230322022461804233720703682 AÑO1961196219631964196519661967 Q max m3/s 4240236770612489235037062675 AÑO1968196919701971197219731974 Q max m3/s 6267597147446000406069005565 AÑO1975197619771978 Q max m3/s 3130241417967430

21 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 La desviación estandar es: S =(( ∑ de i=1 hasta 25 Xi-X media ) 2 /n) 1/2 Para este caso es 1825.9 m3/s AÑO1954195519561957195819591960 Q max m3/s 2230322022461804233720703682 AÑO1961196219631964196519661967 Q max m3/s 4240236770612489235037062675 AÑO1968196919701971197219731974 Q max m3/s 6267597147446000406069005565 AÑO1975197619771978 Q max m3/s 3130241417967430

22 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 LA MEDIA ES 3886 m3/s. DESVIACIÓN ESTÁNDAR ES 1825.9 m3/s. LA RESPUESTA AL INCISO a SERÁ: PARA 7500 m3/s, UNA VARIABLE ESTANDARIZADA CONOCIDA COMO Z SERÁ: Z=X-X media /S; (7500m3/s – 3886 m3/s)/1825.9 m3/s = 1.98

23 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 SI VERIFICAMOS EN LA TABLA A-1 QUE TIENEN EN SUS MANOS, EL ÁREA BAJO LA CURVA DE PROBABILIDAD NORMAL TENDREMOS PARA Z= 1.98 QUE: F(X)= F(Z)= P(X<= 7500 m3/s)= 0.9761 POR LO QUE LA PROBABILIDAD DE QUE EL GASTO MÁXIMO ANUAL SEA MAYOR O IGUAL A 7500 m3/s RESULTA: P(X>= 7500 m3/s)= 1- P(X = 7500 m3/s)= 1- P(X<= 7500 m3/s)= 1- 0.9761=0.0239

24 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 Z

25 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 POR OTRO LADO EL PERIODO DE RETORNO SE ANALIZA COMO SIGUE: P(X<=x)=Tr-1/Tr PARA 60 AÑOS TENDREMOS UNA FUNCION DE PROBABILIDAD: F(x)=P(X<=x)=(60-1)/60=0.9833,Y AHORA DE LA TABLA A1 LA VARIABLE ESTANDARIZADA SERÁAPROXIMADAMENTE Z=2.126

26 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 DESPEJANDO X DE LA ECUACIÓN: Z=(X-X media )/S desviación estándar X = Z*S desviación estándar +X media 2.126(1825.9)+3886=7775.2 m 3 /s SEGÚN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTE SERÁ EL GASTO DE DISEÑO PARA UN Tr de 60 AÑOS.

27 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD LOGNORMAL

28 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 EN ESTA FUNCIÓN LOS LOGARITMOS NATURALES DE LA VARIABLE ALEATORIA SE DISTRIBUYEN NORMALMENTE, LA FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABLIDAD ES: F(x)=(1/(2Π) ½ )(1/x ß) e -1/2(x-α/ ß ) DONDE α Y ß SON LOS PARAMETROS DE DISTRIBUCIÓN. SIN EMBARGO ESTOS SON LA MEDIA Y DESVIACION ESTANDAR DE LOS LOGARITMOS DEL CONJUNTO DE VALORES ANALIZADOS

29 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 LOS VALORES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD SE OBTIENEN USANDO LA TABLA A 1, QUE TIENEN EN SUS MANOS, Y LA VARIABLE ESTANDARIZADA ES: Z=(ln x – α ) / ß

30 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 PARA COMPRENDER EL EMPLEO DE ESTA FUNCIÓN APLIQUEMOS ESTA METODOLOGÍA AL EJEMPLO DESARROLLADO ANTERIORMENTE EL CUAL ES: PARA EL CONJUNTO DE GASTOS PRESENTADOS EN EL EJEMPLO ANTERIOR, DETERMINAR: a)¿Cuál es la probabilidad de que, en un año cualquiera, el gasto sea mayor o igual a 7500 m3/s?.

31 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 b)Se planea construir cerca de este sitio un bordo para protección contra inundaciones. ¿Cuál debe ser el gasto de diseño si se desea que el periodo de retorno sea de 60 años?.

32 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 EL CONJUNTO DE VALORES SON LOS SIGUIENTES GASTOS, MISMOS QUE COINCIDEN CON EL EJEMPLO VISTO EN LA FUNCIÓN NORMAL AÑO1954195519561957195819591960 Q max m3/s 2230322022461804233720703682 AÑO1961196219631964196519661967 Q max m3/s 4240236770612489235037062675 AÑO1968196919701971197219731974 Q max m3/s 6267597147446000406069005565 AÑO1975197619771978 Q max m3/s 3130241417967430

33 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 La media y desviación estandar o valores α y ß, respectivamente son: α = Sumatoria i=1 hasta n (ln xi/25)=8.162 ß=( Sumatoria i=1 hasta n (ln xi-8.162) 2 /25) ) 1/2 = 0.451

34 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 La solución para el inciso a para x=7500 m3/s, la variable estandarizada será: Z=ln (7500)-8.162/.451=1.687

35 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 SI VERIFICAMOS EN LA TABLA A-1 QUE TIENEN EN SUS MANOS, EL ÁREA BAJO LA CURVA DE PROBABILIDAD NORMAL TENDREMOS PARA Z= 1.687 QUE: F(X)= F(Z)= P(X<= 7500 m3/s)= 0.9545 POR LO QUE LA PROBABILIDAD DE QUE EL GASTO MÁXIMO ANUAL SEA MAYOR O IGUAL A 7500 m3/s RESULTA: P(X>= 7500 m3/s)= 1- P(X = 7500 m3/s)= 1- P(X<= 7500 m3/s)= 1- 0.9545=0.0455

36 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 SI VERIFICAMOS EN LA TABLA A-1 QUE TIENEN EN SUS MANOS, EL ÁREA BAJO LA CURVA DE PROBABILIDAD NORMAL TENDREMOS PARA Z= 1.687 QUE: F(X)= F(Z)= P(X<= 7500 m3/s)= 0.9545 POR LO QUE LA PROBABILIDAD DE QUE EL GASTO MÁXIMO ANUAL SEA MAYOR O IGUAL A 7500 m3/s RESULTA: P(X>= 7500 m3/s)= 1- P(X = 7500 m3/s)= 1- P(X<= 7500 m3/s)= 1- 0.9545=0.0455

37 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 AHORA DESPEJANDO X DE LA ECUACIÓN PARA VARIABLE ESTANDARIZADA TENEMOS: X=e (z ß+ α) X=e (1.687(0.451)+8.162) Z=(ln x – α ) / ß

38 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 e (1.687(0.451)+8.162) El resultado es 7501.34 m3/s, resultado de tipo comprobatorio

39 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 Para la solución del segundo inciso, aplicamos el análisis de periodo de retorno empleado en la función Normal F(X)=Tr-1/Tr; para este caso es 60-1/60 =0.9833, y la variable estandariza, tendría un valor de 2.126 de la tabla respectiva

40 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 e (2.126(0.451)+8.162) El resultado es 9,143.75 m3/s, para un Tr de 60 años

41 sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 FUNCIÓN GUMBEL

42 DISTRIBUCIÓN GUMBEL SUPÓNGASE QUE SE TIENEN N MUESTRAS, CADA UNA DE LAS CUALES CONTIENE n EVENTOS, SI SE SELECCIONA EL MÁXIMO X DE LOS n EVENTOS DE CADA MUESTRA, ES POSIBLE DEMOSTRAR QUE A MEDIDA QUE n AUMENTA, LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE X TIENDE A: F(X)=e –e LOS VALORES DE ς Y В SON LOS PARAMETROS DE LA FUNCIÓN -ς(x-В)

43 DISTRIBUCIÓN GUMBEL DICHOS PARÁMETROS ς Y В PUEDEN SER ESTIMADOS COMO SIGUE: ς = 1.2825/S desviación estándar B=Xmedia-0.45 S desviación estándar CUANDO SE TRATE DE MUESTRAS MUY GRANDES DE ANÁLISIS MAYORES A LOS 300 DATOS.

44 DISTRIBUCIÓN GUMBEL O BIEN DICHOS PARÁMETROS ς Y В PUEDEN SER ESTIMADOS COMO SIGUE PARA MUESTRAS RELATIVAMENTE PEQUEÑAS: ς = Þ de tabla/S desviación estándar B=Xmedia- µ de tabla/ ς CUANDO SE TRATE DE MUESTRAS COMO LAS QUE HEMOS TRABAJADO.

45 nµÞ 100.49520.9496 150.51281.0206 200.52361.0628 250.53091.0914 300.53621.1124 350.54031.1285 400.54361.1413 450.54631.1518 500.54851.1607 550.55041.1682 600.55211.1747 650.55351.1803 700.55481.1854 EN EL CUADRO INFERIOR QUE SE PRESENTA EN ESTA Y LA SIGUIENTE LÁMINA, SE PRESENTAN LOS VALORES DE LOS PARÁMETROS

46 nµÞ 750.55591.1898 800.55691.1938 850.55781.1974 900.55861.2007 950.55931.2037 1000.56001.2065 EN EL CUADRO INFERIOR QUE SE PRESENTA LA CONTINUACIÓN DE LOS VALORES DE LOS PARÁMETROS

47 DISTRIBUCIÓN GUMBEL PARA EL EJEMPLO DESARROLLADO ANTERIORMENTE PARA LOS METODOS DE LOGNORMAL Y NORMAL TENEMOS UNA SOLUCIÓN COMO SIGUE: Para 25 años de registro, de la tabla anterior se obtiene lo siguiente: µ = 0.5309 y Þ = 1.0914

48 DISTRIBUCIÓN GUMBEL POR LO QUE SI SUSTITUIMOS EN LAS ECUACIONES CORRESPONDIENTES TENDREMOS: ς = Þ de tabla/S desviación estándar; 1.0914/1825.91=0.000598 (m3/S) -1 B=Xmedia- µ de tabla/ ς ; 3886- 0.5309/0.000598=2997.81 m3/s

49 DISTRIBUCIÓN GUMBEL RESOLVIENDO PARA X=7500 m3/s, de la ecuación siguiente tendremos: F(X)=e –e o bién e elevado a la –e elevado a la (-0.000598(7500- 2997.81); lo cual da como resultado: F(X)=0.9345, POR LO QUE : P(X>= 7500 m3/s)= 1- P(X = 7500 m3/s)= 1- P(X<= 7500 m3/s)= 1- 0.9345=0.065 -ς(x-В)

50 DISTRIBUCIÓN GUMBEL AHORA PARA UN Tr DE 60 AÑOS, TENEMOS: P(X<=x)=Tr-1/Tr = P(X<=x)=Tr-1/Tr = e –e F(x)=P(X<=x)=(60-1)/60=0.9833 Y DESPEJANDO X TENDREMOS: X=B-1/ ς ln ln (Tr/Tr-1)= 2997.81- (1/0.000598)ln ln(1/0.9833) = Un gasto de 9827.10 m3/s -ς(x-В)

51 CriterioResultado m3/s Cual adoptar NORMAL7785.33 LOGNORMAL9,143.75 GUMBEL9827.10