Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 La Teoría detrás los Gráficos de Ligaduras.

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1 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 La Teoría detrás los Gráficos de Ligaduras En esta presentación analizaremos los principios teóricas en las cuales está basada la metodología de los gráficos de ligaduras: las cuatro variables básicas, las propiedades de los elementos de almacenaje capacitivos e inductivos y el principio de la dualidad. Introduciremos también los dos tipos de transductores de energía: el transformador y el girador. La presentación acaba analizando las propiedades de gráficos de ligaduras hidráulicos.

2 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Contenido Las cuatro variables básicos de la metodología de los gráficos de ligaduraLas cuatro variables básicos de la metodología de los gráficos de ligadura Propiedades de elementos de almacenajePropiedades de elementos de almacenaje Gráficos de ligaduras hidráulicosGráficos de ligaduras hidráulicos Transductores de energíaTransductores de energía Sistemas electromecánicosSistemas electromecánicos El principio de la dualidadEl principio de la dualidad La regla del diamanteLa regla del diamante

3 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Las Cuatro Variables Básicos de la Metodología de los Gráficos de Ligaduras Además de las dos variables adjuntas e y f que encontramos hasta ahora, existen dos variables más que tienen importancia en el contexto de la metodología de los gráficos de ligaduras: p =   e · dt El momento generalizado: El desplazamiento generalizado: q =   f · dt

4 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Relaciones entre las Cuatro Variables Básicas e f qp  R C I Resistor: Capacidad: Inductancia: e = R( f ) q = C( e ) p = I( f )  Funciones arbitrarias no lineales en el 1 er y 3 ro cuadrante  No existen elementos de almacenaje otros que C y I.

5 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Elementos de Almacenaje Lineales Ley general de la capacidad: q = C( e ) Ley lineal de la capacidad: q = C · e Ley lineal de la capacidad derivada: f = C · dede dt Ley de la capacidad “regular” como la encontramos hasta ahora.

6 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 EsfuerzoFlujoMomento generalizado Desplazamiento generalizado efpq Circuitos eléctricos Voltaje u (V) Corriente i (A) Flujo  (V·sec) Carga q (A·sec) Sistemas de traslado Fuerza F (N) Velocidad v (m / sec) Momento M (N·sec) Desplazamiento x (m) Sistemas de giro Par de torsión T (N·m) Velocidad angular  (rad / sec) Momento angular T (N·m·sec) Ángulo  (rad) Sistemas hidráulicos Presión p (N / m 2 ) Caudal q (m 3 / sec) Momento de presión Γ (N·sec / m 2 ) Volumen V (m 3 ) Sistemas químicos Potencial químico  (J / mole) Flujo molar (mole/sec) -# de moles n (mole) Sistemas termo- dinámicos Temperatura T (K) Flujo de entropía S’ (W / K) -Entropía S (J / K )

7 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Gráficos de Ligaduras Hidráulicos I En los sistemas hidráulicos las dos variables adjuntas son la presión p y el caudal q. Aquí se usa la presión como esfuerzo, mientras que el caudal se usa como flujo. El almacenaje capacitivo describe la compresibilidad del fluido en función de la presión, mientras que el almacenaje inductivo modela la inercia del fluido acelerado. P hydr = p · q [W] = [N/ m 2 ] · [m 3 / s] = kg · m -1 · s -2 ] · [m 3 · s -1 ] = [kg · m 2 · s -3 ]

8 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Gráficos de Ligaduras Hidráulicos II q in q out p dp dt = c · ( q in – q out ) p qq C : 1/c Compresión: q  = k ·  p = k · ( p 1 – p 2 ) p1p1 Flujo laminar: q p2p2 pp q R : 1/k Flujo turbulento: pp q G : k p2p2 p1p1 q q  = k · sign(  p) ·  |  p| Hydro

9 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 La Conversión de la Energía Además de los elementos que consideramos hasta ahora para la descripción del almacenaje de energía ( C y I ) y su disipación (conversión a calor) ( R ), se necesitan dos elementos adicionales que describen la conversión de la energía. Se trata del transformador ( TF ) y del girador ( GY ). Mientras que resistores describen la conversión irreversible de energía libre a calor, transformadores y giradores se usan para el modelado de fenómenos de la conversión reversible de energía entre formas idénticas o diferentes de energía.

10 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Transformadores f 1 e 1 f 2 e 2 TF m Transformación: e 1 = m · e 2 Conservación de energía: e 1 · f 1 = e 2 · f 2  (m ·e 2 ) · f 1 = e 2 · f 2  f 2 = m · f 1 (4) (3) (2) (1)  El transformador puede describirse o usando las ecuaciones (1) y (2) o usando las ecuaciones (1) y (4).

11 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 La Causalidad del Transformador f 1 e 1 f 2 e 2 TF m e 1 = m · e 2 f 2 = m · f 1 f 1 e 1 f 2 e 2 TF m e 2 = e 1 / m f 1 = f 2 / m  Como tenemos una ecuación para los esfuerzos y otra para los flujos, el transformador tiene que evaluar un esfuerzo y un flujo. Por consecuencia se encuentra una barra de causalidad en el lado del transformador.

12 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Ejemplos de Transformadores Transformador eléctrico (en modo CA) Engranaje mecánico Amortiguador hidráulico m = 1/Mm = r 1 /r 2 m = A ´

13 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Giradores f 1 e 1 f 2 e 2 GY r Transformación: e 1 = r · f 2 Conservación de energía: e 1 · f 1 = e 2 · f 2  (r ·f 2 ) · f 1 = e 2 · f 2  e 2 = r · f 1 (4) (3) (2) (1)  El girador puede describirse o usando las ecuaciones (1) y (2) o usando las ecuaciones (1) y (4).

14 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 La Causalidad del Girador f 1 e 1 f 2 e 2 GY r f 1 e 1 f 2 e 2 r e 1 = r · f 2 e 2 = r · f 1 f 2 = e 1 / r f 1 = e 2 / r  Como tenemos que calcular una de las ecuaciones a la izquierda y la otra a la derecha del girador, las ecuaciones pueden resolverse o por los dos esfuerzos o por los dos flujos.

15 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Ejemplo de un Girador El motor CD genera un par de torsión  m proporcional a la corriente i a de la armadura, mientras que el voltaje u i inducido es proporcional a la velocidad angular  m. r = 

16 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Ejemplo de un Sistema Electromecánico uaua iaia iaia iaia iaia u Ra u La uiui τ ω1ω1 ω1ω1 ω1ω1 ω1ω1 τ B3 τ B1 τ J1 ω2ω2 ω 12 ω2ω2 ω2ω2 ω2ω2 τ k1 τGτG FGFG v v v v v F B2 F k2 FmFm -m·g τ J2 Conflicto de causalidad (causado por el engranaje mecánico)

17 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 El Principio de la Dualidad Es siempre posible “dualizar” un gráfico de ligaduras intercambiando las definiciones de los esfuerzos y flujos. En el proceso de la dualización, fuentes de esfuerzo se convierten en fuentes de flujo, capacidades se cambian a inductancias, resistores se hacen conductancias, y viceversa. Transformadores y giradores se quedan iguales, pero los valores de su transformación se invierten. Las dos uniones cambian de tipo. Las barras de causalidad se mueven al otro lado de la ligadura.

18 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 1 er Ejemplo Los dos gráficos de ligaduras producen resultados de simulación idénticos. u0u0 iLiL i1i1 i1i1 i1i1 i0i0 u0u0 u0u0 u1u1 uCuC uCuC uCuC i2i2 iCiC u0u0 i0i0 iLiL u0u0 u0u0 i1i1 i1i1 i1i1 u1u1 uCuC uCuC uCuC i2i2 iCiC

19 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 2 do Ejemplo uaua iaia iaia iaia iaia u Ra u La uiui τ ω1ω1 ω1ω1 ω1ω1 ω1ω1 τ B3 τ B1 τ J1 ω2ω2 ω 12 ω2ω2 ω2ω2 ω2ω2 τ k1 τGτG FGFG v v v v v F B2 F k2 FmFm -m·g τ J2 uaua iaia iaia iaia iaia ω1ω1 ω1ω1 ω1ω1 ω1ω1 ω2ω2 ω2ω2 ω2ω2 ω2ω2 ω 12 v v v v v uiui u Ra u La τ B1 τ B3 τ J1 τ k1 τ J2 τ τGτG FGFG FmFm F B2 F k2 -m·g

20 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Dualización Parcial Es siempre posible dualizar gráficos de ligaduras en partes. Es particularmente fácil dualizar un gráfico de ligaduras parcialmente en los transformadores y giradores. Los dos elementos de la conversión intercambian sus tipos. Por ejemplo puede tener sentido dualizar solamente la parte mecánica de un gráfico de ligaduras electromecánico, mientras que la parte eléctrica se queda en su forma original. También es posible dualizar el gráfico de ligaduras en cualquiera ligadura. La ligadura se convierte en un girador con una transformación de r=1. Un tal girador se llama girador simpléctico en la literatura de loas gráficos de ligaduras.

21 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Manipulación de Gráficos de Ligaduras Cada sistema físico con parámetros concentrados puede describirse por un gráfico de ligaduras. Sin embargo, la representación obtenida no es única. Diferentes gráficos de ligaduras pueden representar sistemas de ecuaciones idénticos. Ya encontramos un tipo de ambigüedad: el modelo dual. Sin embargo, existen otras clases de ambigüedades más que no pueden explicarse por la dualización.

22 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 La Regla del Diamante m2m2 B2B2 k 12 B 12 m1m1 B1B1 F SE: F F v2v2 I: m 2 v2v2 F m2 1 R: B 2 v2v2 F B2 0 v 12 0 R: B 12 1 R: B 1 v1v1 F B1 I: m 1 v1v1 F m1 C: 1/k 12 v1v1 F B12 v2v2 F k12 F B12 v1v1 F k12 v 12 v2v2  SE: F F v2v2 I: m 2 v2v2 F m2 1 R: B 2 v2v2 F B2 F k12 +F B12 v2v2 F k12 +F B12 v1v1 0 F k12 +F B12 v 12 1 R: B 12 v 12 F B12 1 R: B 1 v1v1 F B1 I: m 1 v1v1 F m1 C: 1/k 12 v 12 F k12 Diamante Variables diferentes Más eficiente

23 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Referencias Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 7.Continuous System ModelingChapter 7