Ingeniería Industrial. Estadística III Henry Lamos Díaz

Presentación del tema: "Ingeniería Industrial. Estadística III Henry Lamos Díaz"— Transcripción de la presentación:

1 Ingeniería Industrial. Estadística III Henry Lamos Díaz
DISEÑOS FACTORIALES Ingeniería Industrial. Estadística III Henry Lamos Díaz

2 EJEMPLO Un ingeniero diseña una batería para usar en un motor de cierto producto. Para ello dispone de tres tipos diferentes de material. Como considera que la temperatura es un factor influyente en la duración de la batería, decide diseñar el experimento combinando los tres materiales con tres temperaturas concretas. ¿Cómo llevaría a cabo el experimento? Realice un diseño para el experimento Defina la unidad experimental ¿Cuántas unidades experimentales tomaría? Diseño Factorial

3 EJEMPLO ¿ Qué efecto tienen el tipo de material y la temperatura sobre la vida de la batería? ¿ Existe alguna elección del material que produzca de manera regular una vida larga de la batería independientemente de la temperatura? O sea, ¿Hay posibilidad de un material sea más recomendado a una temperatura en concreto y no lo sea a otra distinta? Diseño Factorial

4 Duración en horas de la batería Temperatura Experimento
Tipo de Material DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS

5 ¿QUÉ ES? Es el estudio de los efectos de dos o más factores de interés. Para ello en cada ensayo o réplica completa se investigan todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores deseados. Ejemplo. Si el factor A tiene a niveles, el factor B tiene b niveles y el factor C tiene c niveles, cada réplica contiene todas las abc combinaciones de los tratamientos. Diseño Factorial

6 VENTAJAS DE DISEÑOS FACTORIALES
Son más eficientes que estudiar cada factor solo. Son necesarios cuando pueden haber interacciones presentes a fin de evitar conclusiones incorrectas. Permiten conocer las estimaciones de una factor con varios niveles de factores restantes. Diseño Factorial

7 DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES
Se tiene dos factores A y B, el factor A tiene a niveles y el factor B tiene b niveles. Cada réplica n contiene todas las ab combinaciones de los tratamientos. En total se tienen abn observaciones o corridas. Factor B … b Y111, Y112, …, Y11n Y121, Y122, …, Y12n … Y1b1, Y1b2, …, Y1bn Y211, Y212, …, Y21n Y221, Y222, …, Y22n Y2b1, Y2b2, …, Y2bn Ya11, Ya12, …, Ya1n Ya21, Ya22, …, Ya2n Yab1, Yab2, …, Yabn 1 2 . a Factor A Diseño Factorial

8 8 NOTACIONES Diseño Factorial DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS

9 9 µ es la gran media de la población, que es el promedio de todas las medias de los tratamientos Se llama el i-ésimo efecto del renglón, el valor de indica el grado con el cual el i-ésimo nivel del factor A tiende a producir resultados que son mayores o menores que la gran media de la población. Se llama el j-ésimo efecto de columna o factor B, indica el grado con el cual el j-ésimo nivel de la columna tiene a producir resultados que son mayores o menores que la gran media de la población. DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS Diseño Factorial

10 10 NOTACIONES Interacción: Cuando el efecto de un factor depende del nivel del otro factor Diseño Factorial DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS

11 En este caso sería positivo y sería negativa.
11 Se llama interacción. El efecto de un nivel de factor A (o B) puede depender del nivel del factor B (o A) que esta apareado con el factor A. Los términos de interacción miden el grado con el que este ultimo ocurre. Por ejemplo, suponga que el factor 1 del factor A tiende a producir un resultado grande cuando se aparea con el factor B de nivel 1, pero un resultado pequeño cuando se aparea con una columna de nivel 2. En este caso sería positivo y sería negativa. DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS Diseño Factorial

12 Dos conceptos importantes
EFECTO PRINCIPAL Cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel de un factor de interés primario. INTERACCIÓN Cuando la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma para todos los niveles de los otros factores. Cuando una interacción es grande, lo efectos principales tienen escaso significado ya que la interacción suele enmascarar la significación de los efectos principales. Diseño Factorial

13 Modelos Modelo de los Efectos
Donde µ es el efecto promedio de la media global, τi es el efecto del nivel i-ésimo del factor A de los renglones, βj es el efecto del nivel j-ésimo del factor B de las columnas, (τβ)ij es el efecto de la interacción entre el factor A en el nivel i y el factor B en el nivel j, y ɛijk es un componente del error aleatorio. Diseño Factorial

14 Modelo de las Medias Modelo de Regresión
Donde la media de la celda ij-ésima es Modelo de Regresión Útiles cuando uno o más de los factores del diseño son cuantitativos. Diseño Factorial

15 Hipótesis Acerca de la igualdad de los efectos de los tratamientos de los renglones o factor A. Ho: τ1 = τ2 = … = τa = 0 H1: al menos una τi ≠ 0 Acerca de la igualdad de los efectos de los tratamientos de las columnas o factor B. Ho: β1 = β2 = … = βb = 0 H1: al menos una βj ≠ 0 Acerca de la interacción entre las columnas y los renglones. H0: (τβ)ij = 0 H1: al menos una (τβ)ij ≠ 0 Diseño Factorial

16 ANÁLISIS DEL MODELO Se definen:
Observaciones bajo el nivel i-ésimo del factor A Observaciones bajo el nivel j-ésimo del factor B Observaciones de la celda ij-ésima De todas las observaciones Diseño Factorial

17 Suma de cuadrados La suma de cuadrados total corregida puede escribirse como Diseño Factorial

18 Se tiene finalmente Los Grados de libertad asociados son
Efecto Grados de Libertad A a-1 B b-1 Interacción AB (a-1)(b-1) Error ab(n-1) Total abn-1 Diseño Factorial

19 Cuadrados Medios Cada suma de cuadrados dividida por sus grados de libertad es un cuadrado medio, los valores esperados de los cuadrados medios son Si son verdaderas las hipótesis nulas de que no hay efectos en los tratamientos de los renglones, ni de los tratamientos de las columnas, ni interacción, entonces los valores esperados de los Cuadrados Medios son todos estimaciones de la varianza. Diseño Factorial

20 ANOVA Cada Hipótesis Nula deberá rechazarse si: Fuente de variación
Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio F0 Tratamientos A SSA a-1 MSA MSE Tratamientos B SSB b-1 MSB Interacción SSAB (a-1)(b-1) MSAB Error SSE ab(n-1) Total SST abn-1 Cada Hipótesis Nula deberá rechazarse si: Diseño Factorial

21 Cálculos Manuales Diseño Factorial

22 Tipo de material Temperatura 15 70 125 1 2 3
130, 155, 74, 180 34, 40, 80, 75 20, 70, 82, 58 2 150, 188, 159,126 136, 122, 106, 115 25, 70, 58, 45 3 , 168, 160 174, 120, 150, 139 96, 104, 82, 60 Tipo de material Temperatura 15 70 125 1 539/4 229/4 230/4 998/12 2 623/4 479/4 198/4 1300/12 3 576/4 583/4 342/4 1501/12 1738/12 1291/12 770/12 3799/36 Se obtienen los totales y los promedios por celdas, renglones, columnas y Total Diseño Factorial

23 Efectos Tipo de material Temperatura 15 70 125 1 12.28 -27-97 15.69
-22.36 2 8.11 9.36 -17.47 2.8 3 -20.38 18.61 1.78 19.55 39.3 2.06 -41.36 Diseño Factorial

24 Gráfica tipo de material-temperatura
Vida Promedio Se observa que en promedio el materia C tiene mayor duración. El material A parece ser inadecuado para la batería. Temperatura Diseño Factorial

25 Gráfica tipo de material-temperatura
Diseño Factorial

26 Anova Interacción entre las columnas y los renglones. H0: (τβ)ij = 0
Fuente de variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio F0 Tipos de Material 10,683.72 2 5,341.86 7.91 Temperatura 39,118.72 19,559.36 28.97 Interacción 9,613.78 4 2,403.44 3.56 Error 18,230.75 27 675.21 Total 77,646.97 35 Interacción entre las columnas y los renglones. H0: (τβ)ij = 0 H1: al menos una (τβ)ij ≠ 0 Diseño Factorial

27 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Los parámetros del modelo se obtienen mediante: Diseño Factorial

28 Conclusiones Tanto el material como la temperatura son factores determinantes para la duración de las baterías. Además, por haber interacción, puede ocurrir que un material sea más recomendado a una temperatura, pero no lo sea a otra distinta. A menor temperatura mayor duración de la batería, independiente del material utilizado. Al variar la temperatura de 15 a 70, la duración se mantiene con el material 3, y disminuye con los materiales 1 y 2. Diseño Factorial

29 Si comparamos la temperatura de 70 y la de 125, la duración disminuye con los materiales 2 y 3, y apenas cambia con el material 1. Si lo que deseamos es que al aumentar la temperatura la duración no disminuya excesivamente, la mejor opción es el material 3. Al haber interacción, tiene sentido querer comparar el tipo de material a una temperatura en concreto; por ejemplo a 70. Diseño Factorial

30 VERIFICACIÓN DEL MODELO
La violación de supuestos básicos y la adecuación del modelo se investigan mediante los residuales. Se hace uso de gráficas para analizar. Si el modelo es adecuado, los residuales deben estar sin estructura; es decir, no deben haber patrones obvios. Residuales del modelo Diseño Factorial

31 Gráficas Gráfica de Probabilidad Normal Se verifica la normalidad.
No debe presentar formas curvas, debe ser una recta. Se detectan puntos atípicos. Gráfica de los Residuales contra los niveles del factor deseado (A o B) Si hay alguna dispersión mayor en alguno de los tratamientos se concluye que el nivel del factor produce lecturas más erráticas que otras. Gráfica de los Residuales contra valores ajustados Si esta gráfica presenta algún patrón o forma particular, indica que existe relación . Niveles del Factor Valores ajustados Diseño Factorial

32 Gráfica de probabilidad Normal
Residuales Diseño Factorial

33 Residuales contra Factores
Temperatura Tipo de Material Gráfica de los residuales contra el tipo de material para el ejemplo. Gráfica de los residuales contra la temperatura para el ejemplo. Estadística III. Diseño Factorial

34 Residuales contra Diseño Factorial

35 En la práctica algunas variables de respuesta no siguen una distribución normal sino que se distribuyen, por ejemplo, Poisson, binomial o Gamma, etc. En algunas de estas distribuciones la media está relacionada con la desviación estándar, y, al cambiar la media de un tratamiento a otro, con ella cambia la variabilidad de la respuesta. Soluciones: 1. Utilizar métodos de análisis no paramétricos. Investigar 2. Hacer el análisis mediante modelos lineales generalizados (GML) 3. Transformar la variable respuesta DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS

36 DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS

37 INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
Diseño y Análisis de Experimentos INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS Después de realizar el experimento el experimentador está listo para sacar conclusiones prácticas acerca del problema bajo estudio. Las conclusiones pueden obtenerse mediante: Regresión Lineal. Se desarrolla un modelo empírico para pronosticar y optimizar. Comparaciones gráficas de las medias. Se grafican las medias de los niveles sobre el eje x. Contrastes. Comparaciones de Pares de Medias de los tratamientos. Diseño y Análisis de experimentos

38 Método de Tukey para intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Diseño y Análisis de Experimentos Método de Tukey para intervalos de confianza y prueba de hipótesis Diseño y Análisis de experimentos

39 Método de Tukey para intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Diseño y Análisis de Experimentos Método de Tukey para intervalos de confianza y prueba de hipótesis Diseño y Análisis de experimentos

40 COMPARACIONES MULTIPLES
PRUEBA DE TUKEY. SE FIJA EL FACTOR B EN UN NIVEL ESPECIFICO (NIVEL 2, T=70)

41 Cuando la interacción es significativa, las comparaciones entre las medias de uno de los factores (A o B) pueden ser oscurecidas por la interacción AB. Entonces, se fija un nivel del factor B y se aplica, por ejemplo, la prueba de Tukey a las medias del factor A con ese nivel. Si la interacción es significativa se puede comparar las medias de todas las ab celdas para determinar cuáles difieren significativamente. Diseño Factorial

42 Ejercicio en clase Tipo de cristal Tipo de fosforo 1 2 3 280 300 290
En un artículo de Industrias Quality Control se describe un experimento para investigar el efecto del tipo de cristal de fosforo sobre la brillantez de un cinescopio. Los datos son los siguientes: Tipo de cristal Tipo de fosforo 1 2 3 280 300 290 310 285 295 230 260 220 235 240 225 Diseño Factorial

43 Ejericicio continuación
¿Existe algún indicio de que alguno de los dos factores influya en la brillantez? Utilizar α=0.05 ¿Los dos factores interactúan? Utilizar α=0.05 Analizar los residuales de este experimento Diseño Factorial

44 Ejercicio I Los datos recogidos en la siguiente tabla son los tiempos de supervivencia, en horas, de unos animales a los que se les suministra al azar tres venenos y cuatro antídotos (o tratamientos). Se pretende estudiar qué antídoto es el adecuado para cada veneno. Antidoto Veneno I II III IV A1 A2 A3 Diseño Factorial

45 Debe responde Plantear el modelo adecuado.
Definir la suma de cuadrado del efecto del veneno en el antídoto I. Determinar la distribución de probabilidad . ¿Qué valor tiene la variable aleatoria en los datos? ¿Son los venenos igual de peligrosos? ¿Los antídotos son igual de efectivos? La efectividad de los antídotos, ¿es la misma para todos los venenos? Estudiar, utilizando el método de diferencias significativas mínimas (LSD), qué antídoto(s) es el más efectivo Diseño Factorial

46 Modelo estadístico para tres factores
Modelo de las Medias Donde la media de la celda ijk-ésima es Diseño Factorial

47 Modelo estadístico para tres factores
Una interacción de dos factores típica es La interacción de tres factores se presenta cuando las interacciones del efecto principal y dos factores no logran explicar la variación en las desviaciones de las medias de las celdas La interacción de tres factores es la diferencia entre la desviación de la media de celdas y la suma de los efectos principales y los efectos la interacción de dos factores Diseño Factorial

48 Continuación La interacción significativa de los tres factores implica que la interacción dos de ellos nos es constante para los niveles del tercer factor Diseño Factorial

49 Si no hay Interacción… Entonces el Cuadrado Medio de los residuales es un estimador insesgado de la varianza y los efectos principales se prueba con: Diseño Factorial

50 Si no hay Interacción… Si llega a existir un patrón en la gráfica se puede llegar a concluir que el supuesto sobre no interacción entre los factores es falso. Diseño Factorial

51 Continuar con el ejemplo de la temperatura y el tipo de material asumiendo que no existe interacción
Diseño Factorial

52 UNA OBSERVACIÓN POR CELDA
Cuando se encuentran experimentos con una sola réplica. En este caso la varianza del error no se puede estimar puesto que el efecto de la interacción de los dos factores y el error experimental no pueden separarse de alguna manera obvia. Por ello no se cuenta con pruebas para los efectos principales a menos que el efecto de la interacción sea cero. Diseño Factorial

53 Si no hay Interacción… Diseño Factorial

54 Para probar si hay Interacción
Tukey desarrolló una prueba Con 1 Grado de Libertad Con (a-1)(b-1)-1 Grados de Libertad La Hipótesis Nula de que no hay ninguna interacción deberá rechazarse si Diseño Factorial

55 Las impurezas presentes en un producto químico son afectados por dos factores, la presión y la temperatura. Temperatura Presión 25 30 35 40 45 100 5 4 6 3 125 1 2 150 Diseño Factorial

56 2. DISEÑO FACTORIAL GENERAL
En este caso hay a Niveles del Factor A, b Niveles del Factor B y c Niveles del Factor C. Entonces habrá abcn observaciones si se hacen n réplicas del experimento completo. Modelo Diseño Factorial

57 ANOVA Fuente de variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad
Cuadrado Medio Fₒ A SSA a-1 MSA MSE B SSB b-1 MSB C SSC c-1 MSC AB SSAB (a-1)(b-1) MSAB AC SSAC (a-1)(c-1) MSAC BC SSBC (b-1)(c-1) MSBC ABC SSABC (a-1)(b-1)(c-1) MSABC Error SSE abc(n-1) Total SST abcn-1 Diseño Factorial

58 Cálculos Manuales Diseño Factorial

59 Diseño Factorial

60 EJEMPLO Una empresa embotelladora de refrescos está interesada en obtener alturas de llenado más uniformes en las botellas que se fabrican en su proceso de manufactura. El ingeniero de proceso puede controlar 3 variables: El porcentaje de carbonatación (A), la presión de operación en el llenador (B) y las botellas producidas por minuto o rapidez de línea (C). Se decide trabajar 3 niveles para el factor A, y 2 niveles para los factores B y C. Se muestran los resultados obtenidos que representan la desviación promedio de la altura de llenado objetivo que se observa en una corrida de producción de botellas con cada conjunto de condiciones. Diseño Factorial

61 Datos Presión de operación (B) Yi… 25 psi 30 psi Rapidez de línea (C)
Porcentaje de carbonatación (A) Presión de operación (B) Yi… 25 psi 30 psi Rapidez de línea (C) 200 250 10 -3 -4 -1 1 2 12 3 5 6 11 20 14 9 7 13 16 21 59 4 Totales B x C y.jk. 15 34 75=Y…. Y.j.. 54 Diseño Factorial

62 Datos de la desviación de la altura de llenado del ejemplo para la construcción del ANOVA
TOTALES A X C Yi.K. C A 200 250 10 -5 1 12 6 14 25 34 TOTALES A X B Yij.. B A 25 30 10 -5 1 12 4 16 14 22 37 Diseño Factorial

63 Anova Fuente de variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad
Cuadrado Medio F0 A 2 B 45.375 1 64.059 C 22.042 31.118 AB 5.250 2.625 3.706 AC 0.583 0.292 0.412 BC 1.042 1.471 ABC 1.083 0.542 0.765 Error 8.500 12 0.708 Total 23 Diseño Factorial

64 AJUSTE DE CURVAS Y SUPERFICIES DE RESPUESTA
Es útil ajustar una curva de respuesta a los niveles de un factor cuantitativo con el propósito de contar con una ecuación que relacione la repuesta con el factor. La ecuación se usa para hacer interpolaciones. Se usan métodos de regresión lineal para ajustar estos modelos a los datos experimentales Diseño Factorial

65 AJUSTE DE CURVAS Y SUPERFICIES DE RESPUESTA
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Intercepción -39, 9, -4, 0, Peso porcentual 4, 0, 5, 1,4115E-05 cuadrático -0, 0, -5, 2,0715E-05 Ejercicio: hacer el ajuste para un polinomio de grado tres. Decidir cuál modelo es más plausible. Diseño Factorial

66 Modelo de regresión lineal
Para probar la capacidad de un determinado polímero para eliminar desechos tóxicos del agua, se hicieron experimentos a tres temperaturas (x=1,2,3) diferentes. Los datos siguientes indican los porcentajes de impurezas eliminadas (y) por el polímero en 21 ensayos independientes. Estadística III. H Lamos

67 Estadística III. H Lamos
A baja temperatura A temperatura media A Alta temperatura 42 36 33 41 35 44 37 32 40 29 38 39 34 45 Estadística III. H Lamos

68 Estadística III. H Lamos

69 AJUSTE DE CURVAS Y SUPERFICIES DE RESPUESTA
Tipo de material 1 2 3 B[1] -1 B[2] Ejercicio: hacer el ajuste para un polinomio de grado tres. Decidir cuál modelo es más plausible. Diseño Factorial

70 Salida Análisis de regresión: Vida vs. x1. x21. ...
Análisis de regresión: Vida vs. x1. x La ecuación de regresión es Vida = ,3 x1 - 50,3 x ,2 x22 - 3,08 x1^2 + 1,71 x1x ,8 x1x22 + 42,0 x1^2x ,0 x1^2x22 Predictor Coef SE Coef T P Constante 107, , ,34 0,000 x , , ,60 0,000 x , ,61 -4,74 0,000 x , ,61 1,15 0,261 x1^ , , ,34 0,740 x1x , , ,23 0,822 x1x , , ,71 0,100 x1^2x , ,99 3,23 0,003 x1^2x , ,99 -1,08 0,289 S = 25, R-cuad. = 76,5% R-cuad.(ajustado) = 69,6% Diseño Factorial

71 Salida Análisis de varianza Fuente GL SC MC F P
Fuente GL SC MC F P Regresión , ,0 11,00 0,000 Error residual , ,2 Total ,0 Diseño Factorial

72 Salida Fuente GL SC Sec. x1 1 39042,7 x21 1 10542,0 x22 1 141,7
Diseño Factorial

73 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS

74 1. BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS
En cualquier experimento, la variabilidad que surge de un factor perturbador puede afectar los resultados. Factor perturbador: Factor de diseño que probablemente tenga un efecto sobre la respuesta, pero en el que no existe interés. Se controla con aleatorización. Desconocido y no controlable Conocido pero no controlable Y se puede controlar Deben analizarse. Se controla con BLOQUES Diseño por bloques

75 Hacer que el error experimental sea tan pequeño como sea posible.
¿QUÉ ES? El diseño por bloques completos y aleatorizados es un diseño en el que las unidades (unidades de experimentación) a las que se aplican los tratamientos son subdivididas en grupos homogéneos llamados bloques, de tal manera que el número de unidades de experimentación en un bloque es igual al número (o a un múltiplo del mismo) de tratamientos en estudio. OBJETIVO Hacer que el error experimental sea tan pequeño como sea posible. Y reducir el error residual del experimento al eliminar la variabilidad Para ello el experimentador prueba cada nivel del factor en cada uno de los ejemplares de prueba. Diseño por bloques

76 UTILIDIDAD DE BLOQUEAR
Los bloques o ejemplares de prueba forman una unidad experimental más homogénea. Unidades de maquinaria. Lotes de materia prima, personas, tiempo. Combinaciones de factores no controlables. Probar la robustez de la variable deseada frente a las condiciones que no se pueden controlar. Diseño por bloques

77 ANÁLISIS ESTADÍSTICO Modelo para los datos Modelo de los Efectos Y11
Bloque Y11 Y21 … Ya1 Y12 Y22 Ya2 Y1B Y2B YaB Hay una observación por tratamiento en cada bloque, el orden en que se corren los tratamientos en los bloques se determina al azar. Modelo para los datos Modelo de los Efectos Supóngase que hay a tratamientos y b bloques Diseño por bloques

78 Hipótesis El interés se encuentra en probar la igualdad de las medias.
Media global. Efecto del tratamiento i-ésimo. Efecto del bloque j-ésimo. Término del error. Hipótesis El interés se encuentra en probar la igualdad de las medias. Donde Diseño por bloques

79 Análisis del modelo con efectos fijos
Total de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo. Promedio de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo. Total de las observaciones bajo el bloque j-ésimo. Promedio de las observaciones bajo el bloque j-ésimo. Gran total de todas las observaciones. Promedio de todas las observaciones. Diseño por bloques

80 SST = SSTRATAMIENTOS + SSBLOQUES + SSE
ANÁLISIS DE VARIANZA Suma de cuadrados total corregida y su partición: Grados de Libertad SST = SSTRATAMIENTOS + SSBLOQUES + SSE Diseño por bloques

81 Diseño por bloques

82 Los grados de libertad para las sumas cuadradas en Son :
Cada suma de cuadrados dividida por sus Grados de Libertad es un cuadrado medio. SST = SSTRATAMIENTOS + SSBLOQUES + SSE Diseño por bloques

83 Los valores esperados de los cuadrados medios son:
Estadístico de Prueba Se tienen dos estadísticos de prueba los cuales se obtienen dividiendo el cuadrado medio correspondiente por el cuadrado medio del error. Diseño por bloques

84 Anova La Hipótesis Nula deberá rechazarse si: Fuente de variación
Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio F0 Tratamientos SSTRATAMIENTOS a-1 MSTRATAMIENTOS MSE Bloques SSBLOQUES b-1 MSBLOQUES Error SSE (a-1)(b-1) Total SST N-1 La Hipótesis Nula deberá rechazarse si: Diseño por bloques

85 Cálculos Manuales Diseño por bloques

86 Ejemplo Objetivo de la investigación: en ciertas situaciones, las pruebas de nitrato en los tejidos de la espiga de trigo predecían una mayor cantidad de nitrógeno, en consecuencia, el investigador quería evaluar el efecto de varios programas de fertilización sobre esas cantidades de nitrógeno y sobre la producción de trigo, para refinar las recomendaciones del procedimiento.

87 Diseño del tratamiento: el diseño del tratamiento incluyó seis programas diferentes de aplicación de nitrógeno que podían proporcionar el intervalo de condiciones necesarias para evaluar el proceso. Para la comparación se incluyó un tratamiento sin nitrógeno al igual que la recomendación normal vigente. Diseño del experimento: el experimento se llevó a cabo en un campo irrigado, con un gradiente de agua en dirección del área de parcelas experimentales. Como las respuestas de las plantas dependían de la humedad disponible, las parcelas se agruparon en bloques de seis de manera que cada bloque se encontraba en partes con el mismo gradiente de agua, de manera que cualesquiera diferencias en las respuestas de las plantas causadas por el gradiente de agua podía asociarse con los bloques. El diseño de experimento resultante fue un diseño de bloques completo aleatorizado, con 4 bloques de seis parcelas a las que se asignaron al azar los tratamientos de nitrógeno.

88 Permutaciones 2 5 4 1 6 3 Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque 4 40.89 37.99 37.18 34.98 34.89 42.07 41,22 49.92 45.85 50.15 41.99 46.69 44.57 52.68 37.61 36.94 46.65 40.23 41.90 39.20 43.29 40.45 42.91 39.97 1 3 4 6 5 2 Permutaciones 6 3 5 1 2 4 2 4 6 5 3 1 Asignación de tratamientos a las unidades experimentales en un bloque completo Permutación Tratamientos B E D A F C

89 Diseño por bloques

90 Diseño por bloques

91 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO
Estimadores de los parámetros Residual Diseño por bloques

92 3. FORMACIÓN DE BLOQUES EN UN DISEÑO FACTORIAL
La presencia de un factor perturbador puede hacer necesario que el experimento de corra en bloques. Se corre cada una de las n réplicas utilizando un lote o bloque separado, que representa una restricción sobre la aleatorización. Dentro del bloque el orden en que se corren las combinaciones de los tratamientos está completamente aleatorizado. Diseño Factorial

93 Modelo de los Efectos Donde τi representa el efecto del Factor A, βj representa el efecto del Factor B, (τβ)ij es la interacción, δk es el efecto del bloque y ɛijk es el componente NID (0, σ²) del error. Se supone que la interacción entre los bloques y los tratamientos es insignificante. Incluye el efecto del bloque k-ésimo Diseño Factorial

94 Anova Diseño Factorial

95 EJEMPLO Un ingeniero estudia lo métodos para mejorar la capacidad de detectar objetivos en el campo de acción de un Radar. Dos factores que el ingeniero considera importantes son la cantidad de ruido de fondo, o “desorden del terreno”, en el campo de acción del radar y el tipo de filtro colocado sobre la pantalla. Se diseña un experimento utilizando tres niveles del desorden del terreno y dos tipos de filtro. Los datos se presentan a continuación. Diseño Factorial

96 Datos Anova Diseño Factorial

97 Otros conceptos… Gráfica de superficie de respuesta: Gráfica del plano de los valores de Y generados por las diferentes combinaciones de X1 y X2. Si hay alguna interacción se observará una forma curva en el modelo. Interacción significativa: Cuando una interacción es grande, lo efectos principales tienen escaso significado ya que la interacción suele enmascarar la significación de los efectos principales. Diseño Factorial

98 Modelo de regresión para dos factores
Diseño Factorial

99 Modelo de regresión para dos factores
Diseño Factorial

100 Estadística III. H Lamos

101 DISEÑO FACTORIAL 2 k HENRY LAMOS