Sistemas de medida para ángulos

Presentación del tema: "Sistemas de medida para ángulos"— Transcripción de la presentación:

1 Sistemas de medida para ángulos
Para medir ángulos se dispone de tres sistemas de medida, que son: Sistema sexagesimal Sistema centesimal Sistema absoluto Cada uno de estos sistemas posee su propia unidad de medida, sólo estudiaremos aquí el primer sistema: La unidad de medida del sistema sexagesimal es el grado sexagesimal, y cada grado se subdivide en minutos sexagesimales y cada minuto se subdivide el segundos sexagesimales

2 Sistemas de medida para ángulos
Grado sexagesimal: se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco de longitud igual a la trescientos sesenta ava parte de la longitud de la circunferencia. Lo que se entiende por un ángulo central se muestra en la siguiente figura: B Ángulo central O A arco

3 Sistemas de medida para ángulos
Un grado sexagesimal se denota por : 1º Es así que si nos referimos a 30 grados sexagesimales, esto se denota por 30º , de la misma forma se denota cualquier otro valor Cada grado sexagesimal se subdivide en sesenta partes iguales , llamados minutos sexagesimales, lo que se denota por : 1º = 60’ Donde la comilla que acompaña al lado derecho del sesenta nos dice que la medida está dada en minutos Entonces, para denotar 36 minutos, esto se escribe 36’, de la misma forma se denota cualquier otro valor

4 Sistemas de medida para ángulos
Cada minuto sexagesimal se subdivide el 60 partes iguales, donde cada una de estas partes se llaman segundo sexagesimal. Lo que se denota por: 1’ = 60’’ La doble comilla a la derecha del sesenta dice que la medida se refiere a segundo sexagesimal Es así, entonces, que la equivalencia entre las diferentes unidades de medida del sistema sexagesimal está dada por: 1º = 60’ = 3600’’ Lo que en palabras se lee “ un grado es igual a sesenta minutos e igual a tres mil seiscientos segundos” OBSEVACIÓN IMPORTANTES: De aquí en adelante el grado sexagesimal lo llamaremos simplemente grado

5 ¿ QUÉ SE ENTIENDE POR MEDIR UN ÁNGULO?
LA GRAN PREGUNTA ¿ QUÉ SE ENTIENDE POR MEDIR UN ÁNGULO?

6 LA GRAN RESPUESTA Cuando se habla de medir un ángulo se refiere a medir la mayor o menor abertura de los lados del ángulo Para medir los ángulos existe un instrumento que se llama transportador, se caracteriza por tener una reglilla en semicírculo donde aparecen las medidas sexagesimales para ángulos, es decir, los grados, minutos y segundos. Este instrumento lo estudiaremos a continuación:

7 EL GRAN INSTRUMENTO El transportador

8 ¿CÓMO SE USA? O Punto cero
Todo transportador posee un punto central O el que corresponde al centro del semicírculo de la reglilla, y un punto cero. Este punto central O siempre se debe hacer coincidir con el vértice del ángulo que se desea medir, ver figura:

9 ¿CÓMO SE USA? Además de hacer coincidir el vértice del ángulo AOB con el centro O del transportador se debe hacer coincidir el lado OA con el punto cero del transportador. Al observar el lado OB del ángulo AOB se ve que pasa por el lugar de la reglilla que marca 30º. Es así entonces, que la medida del ángulo AOB es de 30º B O A

10 ¿Cuál es la forma de denotar la medida de un ángulo?
Existen muchas maneras de escribir en forma abreviada la medida de un ángulo, se usará aquí la siguiente notación: Medida del ángulo AOB = m AOB

11 LA GRAN PREGUNTA 2 ¿ y esto cómo sigue?
Se continua con el estudio de los ángulos, requisito que es fundamental para lograr una clasificación más precisa de ellos. Luego “la medida”pasa a ser el punto de partida en el estudio tanto de los polígonos como de los poliedros.

12 CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA
ÁNGULO RECTO ÁNGULO EXTENDIDO ÁNGULO COMPLETO ÁNGULO AGUDO ÁNGULO OBTUSO ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Veamos la definición de cada una de estos ángulos, desde el punto de vista de su medida.

13 Ángulo recto Aquel ángulo que al ser medido, mide 90º, es llamado ángulo recto. Ver figura: B O A

14 Ángulo extendido Se dijo que el ángulo extendido era igual a dos ángulos rectos, y como un ángulo recto mide 90º, es claro que el ángulo extendido debe medir 180º, ya que su medida debe ser igual al doble del ángulo recto. B O A

15 Ángulo completo El ángulo completo es igual a cuatro ángulos rectos, lo que nos lleva a pensar que la medida de éste ángulo es igual 360º, que es justamente igual a cuatro veces 90º. Entonces, un ángulo completo puede definirse como aquel ángulo cuya medida es igual a 360º O B A

16 Ángulo agudo Se dijo que el ángulo agudo era menor que un ángulo recto, razón por la cual éste ángulo debe medir menos de 90º, es decir, que la medida debe estar comprendida entre los 0º y 90º B 0º < m AOB < 90º En este caso: O A m AOB = 35º

17 Ángulo obtuso Un ángulo cualquiera se llama ángulo obtuso cuando y sólo cuando su medida está entre 90º y 180º, lo que se denota: 90º < m AOB < 180º B O A En este caso la medida del ángulo AOB se denota por : m AOB = 135º

18 Ángulos complementarios
Recordemos que los ángulos complementarios son aquellos pares de ángulos consecutivos cuyos lados no común son perpendiculares entre sí. Dos ángulos se dice que son complementarios cuando y sólo cuando la suma de sus medidas es 90º. Es así, entonces, que si la medida de un ángulo AOB es 30º, su ángulo complementario CDE debe medir 60º , lo que simbólicamente se denota por: m AOB + m CDE = 90º 30º º = 90º Esto mismo se puede denotar de la siguiente manera:

19 Ángulos complementarios
m AOB = 90º - m CDE = 90º º O bien : m CDE = 90º - m AOB = 90º º E B C O A D

20 Ángulos complementarios
Al observar los dos ángulos presentados anteriormente, se puede ver que los lados OA y DE son perpendiculares entre sí, tal como se muestra en la figura: E C B D O A

21 Ángulos suplementarios
Se dijo que dos ángulos eran suplementarios cuando ellos eran adyacentes, y además se dijo que este concepto también estaba asociado con la medida de los ángulos. Veamos esto de la siguiente forma: Consideremos dos ángulos adyacente AOB y BOC , tal como lo muestra la figura: B C O A Nótese que los lados OA y OC están sobre la recta CA y cuando esto ocurre se dice que el ángulo AOC es un ángulo extendido, es decir, m AOC = 180º

22 Ángulos suplementarios
B C A O Al igual que para los ángulos complementarios, veamos esto de la siguiente forma: m AOB + m BOC = 180º 45º º = 180º

23 Ángulos suplementarios
B C A O m AOB = 180º - m BOC = 180º º = 45º m BOC = 180º - m AOB = 180º º = 135º Es importante destacar, al igual que para ángulos complementarios, los ángulo suplementarios no necesariamente son consecutivos, sino que pueden presentarse de la siguiente forma:

24 Ángulos suplementarios
B B O C A Al observar este dibujo es posible afirmar que para que dos ángulos sean suplementarios sólo se requiere que ellos, los ángulos, sumen 180º o formen lo que se llama un par lineal

25 Igualdad de ángulos Hemos podido hasta aquí tener claro lo que se entiende por ángulo, hemos podido clasificarlos, ya sea considerando sus características más importante, como también la medida de ellos. Lo anterior sólo nos permite establecer una comparación de tipo más bien general, es decir, cuando estamos en presencia de dos ángulos, ellos pueden ser iguales o distintos. Al decir que los ángulos son iguales, quiere decir que sus medidas son iguales, o bien que ellos son congruentes, concepto este último relacionado sólo con las figuras geométricas Si los ángulos son distintos, ellos pueden ser uno mayor o menor que el otro, esto último sólo se puede establecer cuando es posible conocer sus medidas.

26 Igualdad de ángulos Si los ángulos AOB y CDE fueran iguales, ello se denotaría por: m AOB = m CDE , o bien, AOB CDE Si los ángulos AOB Y CDE fueran distintos, esto se denotaría por: m AOB > m CDE , o bien, m AOB < m CDE