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1 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Modelado Inductivo En esta presentación, estudiaremos técnicas más generales para la identificación de modelos no lineales complejos a partir de observaciones de comportamientos de entradas y salidas. Estas técnicas intentan imitar las habilidades humanas del aprendizaje vicario, es decir, de aprender a partir de observaciones. Estas técnicas deberían funcionar en general, es decir, los algoritmos deberían ser capaz de capturar una relación funcional arbitraria y reproducirla fielmente. La técnicas además no tendrán ninguna inteligencia, es decir, su habilidad de generalizar patrones a partir de observaciones es casi nula.

2 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Contenido Modelado basado en conocimientos y en observacionesModelado basado en conocimientos y en observaciones Taxonomía de metodologías de modeladoTaxonomía de metodologías de modelado Modelado basado en observaciones y optimizaciónModelado basado en observaciones y optimización Modelado basado en observaciones y complejidadModelado basado en observaciones y complejidad Redes neuronales artificialesRedes neuronales artificiales Modelado paramétrico y no paramétricoModelado paramétrico y no paramétrico Modelado cuantitativo y cualitativoModelado cuantitativo y cualitativo Modelado borrosoModelado borroso Razonamiento inductivo borrosoRazonamiento inductivo borroso El sistema cardiovascularEl sistema cardiovascular

3 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Modelado Basado en Conocimientos y Observaciones Hasta ahora usamos casi exclusivamente técnicas de modelado basadas en conocimientos a priori. En muy pocas situaciones generamos modelos a partir de observaciones. La única vez cuando intentamos hacerlo identificando un modelo estilo Lotka-Volterra de la población de insectos Zeiraphera diniana (Guenée), no nos funcionó muy bien. Por otro lado, si usamos conocimientos a priori, como en el caso de modelar un resistor eléctrico usando la ecuación: u = R·i, no estamos modelando verdaderamente – estamos usando modelos ya hechos por otra gente.

4 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Taxonomía de Metodologías de Modelado Técnicas basadas en conocimientos Técnicas basadas en observaciones Modelos profundos Modelos superficiales Redes neuronales Razonadores inductivos FIR SD

5 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Modelado Basado en Observaciones y Optimización Cada metodología de modelado basada en observaciones está relacionada íntimamente a una optimización. Veamos otra vez más nuestro modelo Lotka-Volterra: Si aceptamos esta estructura para modelar la dinámica de la población de los insectos, capturamos el conocimiento de observaciones disponible en los valores de los parámetros del modelo Lotka- Volterra, es decir, a, b, c, k, x prey 0 y x pred 0. Modelando aquí implica identificar los valores de estos parámetros, es decir, minimizar el error entre los comportamientos observados y simulados usando optimización. P pred = -a · P pred + k · b · P pred · P prey P prey = c · P prey  b · P pred · P prey · ·

6 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Modelado Basado en Observaciones y Complejidad El modelado basado en observaciones es muy importante, especialmente cuando tratamos con sistemas desconocidos o solamente conocidos de forma parcial. Si modelamos nuevos tipos de sistemas, realmente no tenemos opción. Estos sistemas tienen que modelarse de forma inductiva, es decir, usando las observaciones disponibles. Cuanto menos sabemos de un sistema, más generales tienen que ser los métodos de modelado que usamos. Si no sabemos nada, tenemos que prepararnos para cualquier cosa. Para modelar un sistema totalmente desconocido, debemos permitir una estructura del modelo de complejidad arbitraria.

7 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Redes Neuronales Artificiales (ANN) I Una técnica popular y exitosa para el modelado de sistemas a partir de observaciones es usando redes neuronales artificiales (ANNs). ANNs se modelan copiando ciertos aspectos de las neuronas del cerebro. + u1u1 u2u2 unun … y x = w’ · u + b y = activación(x) w’ es el vector de pesos b es el sesgo activación() es una función no lineal, normalmente de forma sigmoidea: y = sigmoid(x) = 1.0 + exp(  x) 1.0

8 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Redes Neuronales Artificiales (ANN) II Muchas “neuronas” se agrupan en una estructura de matriz: Las matrices de pesos y los vectores de sesgos capturan la información de la función que requiere modelarse. u1u1 u2u2 y + + + + +++ + + + +

9 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Redes Neuronales Artificiales (ANN) III Se puede mostrar que una ANN con una sola capa escondida y bastante neuronas puede aprender cualquier función con un dominio compacto de variables de entrada. Con al menos dos capas escondidas, pueden aprenderse incluso funciones arbitrarias con agujeros en sus dominios de entrada y salida. u1u1 u2u2 u3u3 y1y1 y2y2 y3y3 Mapeo entrada/salida

10 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Modelos Paramétricos y no Paramétricos I Las ANN representan modelos paramétricos. El conocimiento de observaciones del sistema se mapea al (posiblemente muy grande) conjunto de parámetros de la ANN. Una vez entrenada la ANN, el conocimiento original se descarta. En su lugar se usa el comportamiento aprendido de la ANN para hacer predicciones. Eso puede ser peligroso. Si los datos de prueba, es decir, los patrones de entrada encontrados mediante el uso de la ANN son fuera del dominio de los datos de entrenamiento, la ANN probablemente predice basura, pero no se da cuenta de ello, ya que el conocimiento original se descartó.

11 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Modelos Paramétricos y no Paramétricos II Por otro lado, los modelos no paramétricos siempre hacen referencia a los datos de entrenamiento originales, y por consecuencia pueden programarse de tal manera que rechacen datos de prueba incompatibles con los datos de entrenamiento. El motor del Razonamiento Inductivo Borroso (FIR) que introducimos en esta presentación, es no paramétrico. Mediante la fase del entrenamiento, el FIR organiza los patrones observados y los deposita en una base de datos. Mediante la fase de prueba, FIR busca los cinco patrones de entrenamiento más similares (los cinco vecinos más próximos) en la base de datos comparando el nuevo patrón de entrada con los almacenados antes. Luego FIR predice la nueva salida como promedio ponderado de las salidas de los cinco vecinos más próximos.

12 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Modelos Cuantitativos y Cualitativos I Entrenar un modelo (sea paramétrico o no) implica resolver un problema de optimización. En el caso paramétrico, hay que resolver un problema de identificación de parámetros. En el caso no paramétrico, hay que clasificar los datos de entrenamiento, y guardarlos de una manera óptima en la base de datos. Entrenar tal modelo puede ser atrozmente lento. Por eso, tiene sentido buscar técnicas que ayuden a acelerar el proceso de entrenamiento.

13 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Modelos Cuantitativos y Cualitativos II ¿Cómo puede controlarse la velocidad de la optimización? De alguna forma hay que reducir el espacio de búsqueda. Una manera de lograr esto es convertir las variables continuas en variables discretas equivalentes antes de la optimización. Por ejemplo, si una de las variables de interés es la temperatura ambiente, podríamos considerar clasificar los valores de la temperatura en un espectro que vaya desde muy frío hasta extremadamente caliente tal como el siguiente conjunto discreto: temperatura = {helado, frío, fresco, moderado, templado, caliente}

14 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Variables Cualitativas Una variable que sólo toma valores en un conjunto discreto se denomina variable discreta. A veces, se denomina también variable cualitativa. Evidentemente, debe ser más barato buscar en un espacio discreto de búsqueda que en un espacio continuo de búsqueda. El problema con los esquemas de discretización, tales como el antes propuesto, es que en el proceso se pierde mucha información detallada potencialmente valiosa. Para evitar este inconveniente, L. Zadeh propuso un enfoque diferente denominado borrosificación (“fuzzification”).

15 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Variables Borrosas I La borrosificación actúa de la siguiente forma. Una variable continua se borrosifica al descomponerla en un valor de clase discreta y en un valor de pertenencia borrosa. Para el propósito del razonamiento, se tiene en cuenta sólo el valor de clase. Sin embargo, para el propósito de la interpolación, el valor de pertenencia borrosa también se tiene en cuenta. Las variables borrosas no son discretas, sino que se consideran cualitativas.

16 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Variables Borrosas II Los pares { Clase, pertenencia } de menor verosimilitud deben considerarse también, ya que de otra forma el mapeo no sería único. Presión sanguínea sistólica = 110  { normal, 0.78 }  { muy baja, 0.15 } Presión sanguínea sistólica = 141  { normal, 0.78 }  { muy alta, 0.18 }

17 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Variables Borrosas en el FIR El FIR realiza un enfoque algo distinto para resolver el problema de la unicidad. En lugar de mapear en reglas borrosas múltiples, el FIR mapea en una única regla, la que tiene mayor verosimilitud. Sin embargo, para evitar el problema de ambigüedad mencionado, el FIR guarda una información más: el “valor de lado.” Éste indica si el punto del dato está a la izquierda o a la derecha del pico del valor de pertenencia borrosa de una clase dada. Presión sanguínea sistólica= 110  { normal, 0.78, izquierda } left right Presión sanguínea sistólica = 141  { normal, 0.78, derecha}

18 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Redes Neuronales y Razonamiento Inductivo Redes NeuronalesFIR

19 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Razonamiento Inductivo Borroso (FIR) I Discretización de Información Cuantitativa (Recodificación Borrosa) Razonamiento sobre categorías discretas (Modelado Cualitativo) Inferencia de consecuencias sobre categorías (Simulación Cualitativa) Interpolación entre categorías vecinas utilizando lógica borrosa (Regeneración Borrosa)

20 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Razonamiento Inductivo Borroso (FIR) II FIR Recodificación Borrosa Recodificación Borrosa Modelado Borroso Modelado Borroso Regene- ración Regene- ración Simulación Borrosa Simulación Borrosa Datos nítidos

21 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Borrosificación en el FIR

22 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Modelado Cualitativo en el FIR I Tras recodificar los datos, hay que determinar cual de los conjuntos posibles de variables de entrada representa mejor el comportamiento observado. Entre todas las combinaciones posibles de entrada, tomamos la que da una relación de entrada/salida tan determinística como sea posible. Esto es, cuando se observa varias veces el mismo patrón de entrada en los datos de entrenamiento, queremos que los patrones de salida obtenidos sean tan consistentes como sea posible. Cada patrón de entrada debe observarse al menos cinco veces.

23 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Qualitative Modeling in FIR II y 1 (t) = f ( y 3 (t  2  t), u 2 (t  t), y 1 (t  t), u 1 (t) ) Base de reglas borrosas

24 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Modelado Cualitativo en el FIR III El modelo cualitativo es la máscara óptima, o sea, el conjunto de entradas que mejor predice una salida dada. Generalmente, la máscara óptima es dinámica, es decir, la salida actual depende de los valores actuales y pasados de las entradas y salidas. La máscara óptima puede aplicarse a los datos para obtener un conjunto de reglas borrosas que se pueden ordenar de manera alfanumérica. La base de reglas borrosas es nuestra base de datos de entrenamiento.

25 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Simulación Cualitativa en el FIR Matriz de Comportamientos Máscara óptima Patrón de entrada Computación de distancia Euclidiana d j Computación de salida f i =F(W*5-NN-out) Valor predicho 5 vecinos más próximos Patrones de coincidencia Clase Lado Pertenencia 2 2 3 1 3 1 1 ? Matriz de datos crudos

26 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Predicción de Series Temporales en el FIR Demanda de agua de la ciudad de Barcelona, Enero 85 – Julio 86

27 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Resultados de la Simulación I Prediction Real

28 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Modelado Cuantitativo y Cualitativo Técnicas de Modelado Deductivas * tienen un gran rango de validez en muchas aplicaciones, incluso en algunas previamente desconocidas * son frecuentemente inexactas en sus predicciones a causa de simplificaciones en los modelos (dinámicas no modeladas) Técnicas de Modelado Inductivas * tienen un rango de validez limitado y sólo pueden usarse para predecir el comportamiento de sistemas bien conocidos * son frecuentemente muy precisas en sus predicciones si aplicadas cautelosamente

29 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Modelado Mixto Cuantitativo y Cualitativo Es posible combinar técnicas de modelado cualitativas y cuantitativas. Subsistema cuantitativo Recodi- ficar Modelo FIR Regenerar Subsistema cuantitativo Recodi- ficar Modelo FIR Regenerar

30 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Aplicación: Sistema Cardiovascular I Aplicamos esta técnica a un sistema bastante complejo: el sistema cardiovascular humano. El sistema cardiovascular es compuesto de dos sub- sistemas: el sistema hemodinámico y el control nervioso central. El sistema hemodinámico trata con la física del flujo de sangre a través el corazón y los vasos sanguíneos. El control nervioso central sincroniza el control del flujo de sangre a través el corazón y los vasos sanguíneos.

31 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Aplicación: Sistema Cardiovascular II El sistema hemodinámico es esencialmente un sistema hidrodinámico. El corazón y los vasos sanguíneos pueden describirse por bombas, válvulas y tubos. Por con- secuencia, gráficos de ligaduras sirven para su descripción. El control nervioso central aún no se entiende completamente. El modelado cualitativo basado en observaciones puede ser la herramienta más apropiada para describirlo.

32 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 El Sistema Hemodinámico I Las cavidades del corazón y los vasos sanguíneos son los contenedores de la sangre. Cada contenedor almacena masa y por eso se describe por un elemento C. Algunos de los elementos C son no lineales y en el caso de las cavidades del corazón dependen del tiempo. El elemento mSe del lado izquierdo representa el volumen residual del vaso o de la cavidad. El elemento mSe del lado derecho representa la presión torácica que está influenciada por la respiración.

33 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 El Sistema Hemodinámico II

34 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 El Sistema Hemodinámico III

35 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 El Sistema Hemodinámico IV Los contenedores son representados por cajas. Terminan en uniones 0. Los flujos entre contenedores son representados por flechas. Terminan en ligaduras. Mientras los contenedores y los flujos intercambian, pueden conectarse entre sí sin ligaduras. Algunos de los flujos contienen inductores, mientras que otros solamente contienen resistores. Algunos también contienen válvulas que son representadas por elementos Sw.

36 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 El Corazón El modelo del corazón contiene las cuatro cavidades y las cuatro válvulas del corazón: la válvula pulmonaria y la válvula aórtica a las dos salidas de los ventrículos, y la válvula mitral y la válvula tricúspide entra las aurículas y los ventrículos. El bloque del ritmo sinusal controla las contracciones y relajaciones del músculo cardíaco. Los vasos coronarios son responsables de suministrar oxígeno al músculo cordíaco.

37 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 El Tórax El tórax contiene el corazón y los vasos san- guíneos más importantes. La función tabular por debajo calcula la presión torácica en función de la respiración. La sangre arterial es representada en rojo, mien- tras la sangre venosa es representada en azul. A la izquierda se ven las señales llegando desde el control nervioso central.

38 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Las Partes del Cuerpo De forma similar se modelan también las demás partes del sistema circulatorio de la sangre. Incluyen la cabeza y los brazos (el tronco braquiocefálico y sus vasos), el abdomen (las arterias y venas gastrointestinales) y las extremidades inferiores. Todos juntos forman el sistema hemodinámico. Faltan todavía las funciones del control nervioso central.

39 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 El Sistema Cardiovascular Controlador del ritmo cardíaco Controlador de la contractilidad del miocardio Controlador de la resistencia periférica Controlador de la elasticidad de las venas Controlador de la resistencia coronaria Control Nervioso Central (Modelo cualitativo) Regenerar Corazón Dinámica de flujos circulatorios Presión sanguínea de la carótida Recodificar Sistema Hemodinámico (Modelo cuantitativo) TH B2 Q4 D2 Q6 PAC Presión de las arterias del cerebro.

40 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Resultados de Simulación II

41 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Discusión I El gráfico de arriba muestra el controlador de resistencia periférica, Q4, durante una maniobra de Valsalva. Los datos medidos están superpuestos con los de simulación. Los resultados de simulación son en general muy buenos. Sin embargo, en el centro del gráfico los errores son algo mayores. Debajo hay dos gráficos que muestran la estimación de la probabilidad de que la predicción sea correcta. Puede verse que el FIR se da cuenta que los resultados de simulación en la zona central tienen poca probabilidad de tener alta calidad.

42 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Discusión II Esto puede aprovecharse. Se pueden realizar en paralelo varias predicciones junto con sus estimaciones de la probabilidad de que sean correctas. Pueden entonces conservarse las predicciones que están acompañadas por el mayor valor de confianza. Esto se muestra en el siguiente gráfico. Dos modelos distintos (máscaras subóptimas) se comparan entre sí. La segunda máscara funciona mejor, y además sus valores de confianza asociados son más altos.

43 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Resultados de Simulación III

44 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Conclusiones I El modelado cuantitativo, es decir, basado en los primeros principios, es la herramienta más adecuada para las aplicaciones que se comprenden bien, y donde las meta- leyes están bien establecidas. El modelado físico es lo más deseable, ya que ofrece una mayor comprensión y se puede extender más ampliamente más allá del rango de los experimentos previos. El modelado cualitativo es adecuado en áreas que no se comprenden muy bien, y donde todo el conocimiento que hay consiste esencialmente en observaciones crudas, es decir, donde aún no se han extraído meta-leyes a partir de observaciones previas.

45 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Conclusiones II El modelado borroso es un enfoque de modelado inductivo muy atractivo, ya que permite obtener medidas de confianza de las predicciones. El FIR es uno de los varios enfoques del modelado borroso. Ha sido aplicado extensa y exitosamente en una gama bastante amplia de aplicaciones de la ingeniería y de las ciencias blandas. Los modelos cualitativos no aportan conocimiento sobre el funcionamiento de un sistema. Sólo pueden usarse para predecir el comportamiento futuro, siempre y cuando los patrones de comportamiento se mantengan dentro de sus normas observadas.

46 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Aplicaciones industriales Modelado del Sistema Cardiovascular para Clasificación de Anomalías. Modelo de Anestesiología para Control del Nivel de Anestesia Durante Cirugías. Modelo de Crecimiento de Gambas para el criadero de gambas “El Remolino” en el norte de México. Predicción de la Demanda de Agua en Barcelona y Rotterdam. Diseño de Controlador Borroso para el manejo de Buques Petroleros. Diagnóstico de fallos en Centrales Nucleares. Predicción de Cambios Tecnológicos en la Industria de Telecomunicaciones.

47 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Referencias I Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 13.Continuous System ModelingChapter 13 Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 14.Continuous System ModelingChapter 14 Cellier, F.E., A. Nebot, F. Mugica, and A. de Albornoz (1996), “Combined Qualitative/Quantitative Simulation Models of Continuous-Time Processes Using Fuzzy Inductive Reasoning Techniques,” Intl. J. General Systems, 24(1-2), pp.95-116.Combined Qualitative/Quantitative Simulation Models of Continuous-Time Processes Using Fuzzy Inductive Reasoning Techniques

48 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Referencias II Nebot, A., F.E. Cellier, and M. Vallverdú (1998), “Mixed Quantitative/Qualitative Modeling and Simulation of the Cardiovascular System,” Computer Methods and Programs in Biomedicine, 55(2), pp.127- 155.Mixed Quantitative/Qualitative Modeling and Simulation of the Cardiovascular System Cellier, F.E. (2006), The Dymola Cardiovascular System Model, Version 2.0.The Dymola Cardiovascular System Model

49 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 15, 2008 Tesis de Doctorado Recientes Nebot, A. (1994), Qualitative Modeling and Simulation of Biomedical Systems Using Fuzzy Inductive Reasoning.Qualitative Modeling and Simulation of Biomedical Systems Using Fuzzy Inductive Reasoning Mugica, F. (1995), Diseño Sistemático de Controladores Difusos Usando Razonamiento Inductivo.Diseño Sistemático de Controladores Difusos Usando Razonamiento Inductivo de Albornoz, A. (1996), Inductive Reasoning and Reconstruction Analysis: Two Complementary Tools for Qualitative Fault Monitoring of Large-Scale Systems.Inductive Reasoning and Reconstruction Analysis: Two Complementary Tools for Qualitative Fault Monitoring of Large-Scale Systems López, J. (1999), Qualitative Modeling and Simulation of Time Series Using Fuzzy Inductive Reasoning.Qualitative Modeling and Simulation of Time Series Using Fuzzy Inductive Reasoning Mirats, J.M. (2001), Large-Scale System Modeling Using Fuzzy Inductive Reasoning.Large-Scale System Modeling Using Fuzzy Inductive Reasoning


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