COSMOLOGIA MODERNA JAVIER DE LUCAS.

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1 COSMOLOGIA MODERNA JAVIER DE LUCAS

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3 TEORÍAS DEL ORIGEN DEL UNIVERSO
Modelos de Cosmologías antiguas Einstein (1917): Teoría de relatividad general, un modelo de Universo modificó sus ecuaciones con una constante cosmológica para evitar la expansión Lemaitre (1931): Universo empezó en una gran explosión del superátomo George Gamov, Ralph Alpher, Robert Herman (1948): proponen un modelo más elaborado en la misma línea  base del modelo estándar de hoy día Fred Hoyle (1948): Teoría del Estado estacionario Varios: Modelo Estándar del Big Bang: modelo actual Varios: Modelos basados en Cosmología Cuántica. Hawking: Tiempo complejo-Ausencia de límites

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9 MODELO ESTANDAR Hoy día se acepta al Big Bang [BB] con Inflación [Inf]  y l-Materia Oscura Fría [l-MOF] (la letra griega l"Lambda" se usa para designar a la Energía Oscura) [BB] [Inf]  [l-MOF] como el mejor modelo existente que describe los datos astronómicos observados hasta ahora

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11 LA RELATIVIDAD GENERAL
En 1914, Einstein publica esta teoría que generaliza a marcos de referencia que pueden estar acelerados. Esta teoría es muy importante en Astronomía, puesto que permite entender la evolución misma del Universo…

12 LA RELATIVIDAD GENERAL
Es la teoría relativista de la gravitación Dos características fundamentales 1.- Espacio-tiempo está afectado por la materia: la masa lo puede curvar 2.- La materia se mueve a lo largo de líneas en el espacio-tiempo curvado Da ejemplo de una sábana con una manzana

13 La materia le dice al espacio cómo curvarse, el espacio le dice a la materia cómo moverse

14 El Universo después de Einstein

15 ESPECTROS Espectro de referencia. La lámpara está montada en el telescopio

16 EFECTO DOPPLER Cambia , dependiendo de la dirección del movimiento de la fuente Se observa un corrimiento al Azul: blueshift Se acerca al observador v En reposo c.r.a observador Se observa un corrimiento al rojo: redshift v Se aleja del observador

17 EFECTO DOPPLER

18 Alexander Friedmann Encuentra soluciones de la Ecuaciones de Einstein, en las que se percibe un Universo en expansión. The stationary type of Universe comprises only two cases which were considered by Einstein and de Sitter. The variable type of Universe represents a great variety of cases; there can be cases of this type when the world's radius of curvature ... is constantly increasing in time; cases are also possible when the radius of curvature changes periodically ... Friedmann (19 de Junio de 1922) The results concerning the non-stationary world, contained in [Friedmann's] work, appear to me suspicious. In reality it turns out that the solution given in it does not satisfy the field equations Respuesta de Einstein (18 de septiembre de 1922)

19 Friedmann ( ) determinó las diferentes soluciones para la dinámica del Universo en la Relatividad general. Dependen de la densidad del Universo con respecto a la densidad crítica ρ < ρcrit ρ = ρcrit Universo Einstein-de-Sitter ρ > ρcrit

20 SOLUCIONES DE FRIEDMANN

21 La ecuación de Friedmann
Esfera de masa M, radio RS, expandiéndose o contrayéndose donde RS = a(t) rS y rS es el radio de la esfera ahora RS

22 George Lemaitre (1894-1966) Sacerdote jesuita, belga.
En 1927 demostró que las ecuaciones de Einstein implican que el Universo está en expansión, lo cual fue demostrado por Hubble en En 1932 presentó una conferencia a la que asistieron Einstein y Hubble. A su término, Einstein comentó: Es ésta la más bella y satisfactoria explicación de la creación que haya oído nunca Es conocido como el padre de la teoría del Big Bang, nombre acuñado por Fred Hoyle. Muere el 20 de Junio de 1966, poco después del Descubrimiento de la Radiación de Fondo.

23 George Gamow Uno de los principales precursores de la Teoría del Big Bang. Propuso que el Universo comenzó en un estado de muy alta densidad y temperatura (una Gran Bola de Fuego) que después se enfrió. Hizo trabajos en una gran diversidad de temas científicos: explicó cómo pueden unirse 2 partículas de cargas positivas para formar núcleos más pesados (factor de penetración de Gamow); abundancia primordial, el decaimiento ; biofísica, etc.

24 Visita de Einstein a Monte Wilson en 1931
George E. Hale Humason, Hubble, St. John, Michelson, Einstein, Campbell, Adams

25 Vesto Melvin Slipher (1875-1969)
Lowell Observatory, Flagstaff, Arizona Fue el primero en medir la velocidad de las galaxias (la primera fue M31 en 1912) Tomando espectros de hasta 80 horas de exposición, descubrió que las galaxias se alejan de nosotros. Esta fue la primera evidencia de la Expansión del Universo.

26 Edwin Hubble (1889-1953) Las Galaxias son Universos Isla
El Universo se expande y obedece la Ley de Hubble V=H D Estudios acerca de la homogeneidad e isotropía del Universo. Sus principales resultados están en su libro: The Realm of the Nebulae, Edwin Hubble

27 LEY DE HUBBLE V = Ho D . Velocidad (Km/s) La constante de Hubble es
Distancia (Mpc) La constante de Hubble es la pendiente de esta línea

28 LEY DE HUBBLE (1929)  Expansión del universo
Relación entre la velocidad de recensión con respecto a nosotros y la distancia  Expansión del universo

29 LEY DE HUBBLE  Big Bang Universo está en expansión
En el pasado era más pequeño Tiene que haber tenido un comienzo  Big Bang ¿Estamos nosotros en un un sitio privilegiado? No. Es igual para todos los sitios Decir que mucho tiempo había disputa sobre si el universo fue creado en big bang o si era estatico. Tambien Einstein creía en universo estático El nombre Big Bang viene como nombre despectivo de un representante famoso (y militante) del grupo del universo estatico, Fred Hoyle Velocidad proporcional a distancia para todas las galaxias

30 Constante de Hubble Valores de la constante de Hubble a través del tiempo Hubble (1926): 500 km s-1 Mpc-1 Sandage (1956): 75 km s-1 Mpc-1 Desde entonces: km s-1 Mpc-1 Valor desde 2003: km s-1 Mpc-1

31 Edad del Universo millardos
VALOR DE H Autor Año de publicación Constante de Hubble Edad del Universo millardos Hubble7 1929 320 2 Harwit8 1973 75 9 Pasachoff9 1992 36 18 Gribbin10 1993 26 25 Freedman11 1994 65-99 8-12 Hawking12 43 15 Kuhn13 54 12 Matthews14 80 8 Ross15 38 17 Schmidt16 64-82 10-12 Wolff17 50 13 Actual Ho= 71 km/sec/Mpc (con un margen de error del 5%). Edad del Universo: millones de años Según la teoría que explica mejor los datos, el Universo se expandirá por siempre.

32 Historia del Universo Núcleosíntesis primordial
Época de recombinación: Recombinación de electrones y protones, desacoplamiento de fotones, formación de estructuras pregalácticas Universo dominado por materia

33 EL UNIVERSO EN UN AÑO 1 Enero 0h00: Big Bang
1 En. 2h30m: Época de recombinación Abril: Se forma la Vía Láctea Junio: Se forma el Sol y la Tierra Diciembre: Oxígeno en nuestra atmósfera 19 Dic.: Peces 21 Dic.: Plantas, insectos, anfibios 25 Dic.: Dinosaurios 30 Dic.: Mamíferos 31 Dic. 23 horas: Aparece el hombre

34 DEMOSTRANDO EL BIG BANG
Ley de Hubble  Expansión del Universo Radiación de fondo de microondas Abundancia de He (y algunos otros elementos ligeros)

35 DETECCIÓN DE LA RADIACIÓN DE FONDO
Descubierta en 1965 por casualidad por Wilson y Penzias, que trabajaban para la misma compañía de teléfono que Jansky Enorme apoyo para el modelo del Big Bang

36 MODELO DEL ESTADO ESTACIONARIO
Hermann Bondi, Thomas Gold y Fred Hoyle. Teoría que sostiene que el Universo ha sido y siempre será como es hoy. Supone que el Universo es uniforme, infinito y que no está en expansión. Requiere de creación continua de materia El descubrimiento de la Radiación de Fondo en el Universo acabó con el Modelo del Estado Estacionario

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38 ¿Que es la radiación de fondo?
Superficie de última interacción entre materia y radiación

39 Radiación milimétrica del fondo
Fotones que se liberaron en la época de recombinación Tenían entonces 3000K Han perdido su energía debido a la expansión, hasta los 2,725 K actuales

40 Radiación de fondo vista por COBE (1992) y WMAP (2003)
Espectro curva planckiana perfecta Temperatura 2.7 K, como esperado Muy homogéneo: Fluctuaciones de 1 parte en 106 Futura misión europea: Planck (2007)

41 Fluctuaciones en la Temperatura

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43 El Universo tiene 13,7 mil millones de años con un margen de error de aproximadamente 1%.
Las primeras estrellas se formaron 200 millones después del Big Bang. La luz de WMAP (Radiación de Fondo Cósmico) inicia su viaje años después del Big Bang. Contenido del Universo: 4% Átomos, 23% Materia Oscura Fría, 73% energía Oscura. Los datos imponen restricciones acerca de la energía Oscura. Parece ser más una “constante cosmológica" que un campo de energía con presión negativa, denominada "quintaessencia". Pero aún no se descarta esta última. Los neutrinos no juegan un papel relevante en la evolución de la estructura en el Universo. Estos hubieran prevenido el colapso temprano del gas en el Universo, retrasando la aparición de las primeras estrellas, lo que estaría en conflicto con los datos de WMAP. Resultados de WMAP

44 Observaciones de COBE Explorador del Fondo Cósmico

45 TCMB = To(1+z). La Teoría de Big Bang predice que la temperatura de
fondo cósmico es una función lineal del redshift z, de acuerdo con la siguiente expresión TCMB = To(1+z). La siguiente gráfica muestra que dicha predicción concuerda con las observaciones.

46 NUCLEOSÍNTESIS PRIMORDIAL
Observaciones: Gas consta de 75% de H y 25% de He. Tanto He no se puede formar en estrellas (la cantidad predicha debido a formación estelar es 0.25%) Se observa D y Li, elementos que no se pueden producir en estrellas, sino más bien se destruyen 1964: Hoyle & Taylor calcularon que el 25% de He se puede producir en época caliente después del Big Bang. También se produce D (2H), 3He y Li La Teoría del Big Bang predice lo correcto

47 NUCLEOSÍNTESIS PRIMORDIAL
Nucleosíntesis tiene lugar algunos minutos después del Big Bang cuando la temperatura está entre 1032 K y 109 K. Los elementos He, D y Li se forman cuando chocan protones y neutrones  cantidad que se forma depende de la abundancia de p y n (= bariones) Con una abundancia de bariones correspondiente a unos % de la densidad crítica (véase después) se puede explicar la abundancia de He, D y Li D se destruye en colisiones con materia  su abundancia da un limite a la masa barionica (p, n) en el Universo  Nucleosíntesis primordial da resultados consistentes para los tres elementos a la vez  Necesidad de materia oscura no-barionica

48 (expresado en término de la densidad crítica)
Abundancia de elementos más pesados que el H con respecto a la abundancia del hidrógeno, en función de la densidad bariónica (expresado en término de la densidad crítica) The predicted abundance of elements heavier than hydrogen, as a function of the density of baryons in the universe (expressed in terms of the fraction of critical density in baryons, Omega_B and the Hubble constant, h).

49 HISTORIA

50 HISTORIA

51 EVOLUCION DEL UNIVERSO

52 ¿COMO ES EL UNIVERSO EN QUE VIVIMOS?
Principio Cosmológico: El Universo es homogéneo e isótropo ….a escalas grandes Y puede ser plano, abierto o cerrado

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54 PLANO CERRADO ABIERTO

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56 EL UNIVERSO SE EXPANDE ACELERADAMENTE

57 COMPOSICION DEL UNIVERSO

58 COMPOSICION DEL UNIVERSO

59 Geometría del Espacio negativa plana positiva Lovachevski Gauss
Riemman Einstein

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61 La Densidad está relacionado con la geometría en el modelo estándar más simple (constante cosmológica = 0): Plano ρ = ρcrit Curvatura negativa ρ < ρcrit Curvatura positiva ρ > ρcrit

62 DEFORMA EL ESPACIO LA MASA

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64 UNIVERSOS CURVADOS ¿ATAJOS ESPACIALES?

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66 MODELO ESTANDAR Hoy día se acepta al Big Bang [BB] con Inflación [Inf]  y l-Materia Oscura Fría [l-MOF] (la letra griega l"Lambda" se usa para designar a la Energía Oscura) como el mejor modelo existente que describe los datos astronómicos observados hasta ahora

67 BIG BANG Es importante recalcar que el Big Bang no es como una explosión, sino que, a partir de una "singularidad", el entramado del propio espacio es el que se expande. Con el Big Bang comienza el espacio y el tiempo, y la teoría ha sido comprobada lo suficiente como para que, en la actualidad, la gran mayoría de la comunidad científica la apoye. Recordemos el descubrimiento de Penzias y Wilson de la radiación cósmica de fondo de microondas, el "eco" del Big Bang, y más  recientemente los trabajos de George Smoot basados en los datos suministrados por el satélite COBE, los hallazgos del WMAP y otros

68 BIG BANG ¿Y antes? ¿Es lógico hacerse esta pregunta? Dentro del Modelo Estándar, el Big Bang ocurre en el tiempo t = 0, "antes" no tiene sentido. En cualquier caso, nuestra manera de entender el tiempo nos lleva, inevitablemente, a hacernos esta pregunta. La respuesta involucra, necesariamente, a la Mecánica Cuántica y a la Relatividad General. A la primera, porque cuando el Universo era muy joven pasó por una época en la cual su tamaño era comparable al de un átomo, y por tanto se regía por las leyes de la Mecánica Cuántica; a la segunda, porque las propiedades del espacio-tiempo se rigen por la Relatividad General.

69 BIG BANG LA SINGULARIDAD
 Sentado científicamente el hecho del comienzo del Universo a partir de una singularidad, esto es, a partir de un punto de máxima densidad y mínimo volumen, el entramado del tiempo y el espacio sufre una "inflación", es decir, un aumento vertiginoso de dimensiones en intervalos infinitésimos, para continuar luego un proceso expansivo que apareja una disminución de la temperatura inicial. La singularidad del Big Bang fue demostrada a principios de los años setenta por Stephen Hawking y Roger Penrose; en Matemáticas, se entiende por singularidad un punto en el cual la función definida diverge hacia valores infinitos; en Física, una singularidad es una región del espacio-tiempo en la cual la curvatura es tan grande que las leyes relativistas no operan, ocupando su lugar las mecanico-cuánticas.

70 BIG BANG MODELO ESTANDAR
El BB original [modelo de Fridman-Lamaitre-Roberston-Walker, FLRW] fue confirmado en 1964 por Arno Penzias y Robert Wilson, con el descubrimiento de la RADIACIÓN COSMOLÓGICA DE FONDO [RCF], con lo cual ganaron el Premio Nobel en 1978. Este modelo cosmológico fue construído, en 1931, por el físico, matemático, astrónomo, cosmólogo y sacerdote belga Georges Édouard Lamaítre ( ), basándose en los trabajos teóricos de Einstein [quién había propuesto anteriormente un modelo cosmológico estático, no evolutivo, del Universo, de acuerdo con las creencias científicas heredadas de su época] y del físico ruso Alexander Friedman [quién descubrió que el modelo estático propuesto por Einstein era inestable y por lo tanto tal modelo debería ser del tipo "expansionista", y debería describir a un Universo evolutivo en expansión],  y fue posteriormente desarrollada por los físicos Ralph Asher Alpher, George Gamow y Hans Bethe [el grupo "alfa-beta-gamma"], la cual publicaron en 1948.

71 INFLACION Para resolver muchos problemas del BB original (1981: Alan Guth, Andrei Linde, y otros) se asume, aunque no se explica, que durante la evolución del Universo, el mismo pasó a través de un período de expansión super-luminal (más rápido que la velocidad de la luz), en el cual el factor de escala era exponencial,     a(t) ~ [f(t)]  ;  durante tal período, el Universo obtuvo una geometría plana y también se originaron las fluctuaciones de densidad de materia  (desviaciones de la homogeneidad e isotropía) necesarias para crear las estructuras observadas hoy dia, a partir del colapso gravitacional de las regiones donde la materia estaba más concentrada.   Los datos astronómicos recopilados por experimentos observacionales con satélites [1992: COBE = Cosmic Background Explorer] globos y otros aparatos, como BOOMERANG-1998 (Balloon Observations of Millimetric Extragalactic Radiation and Geophysics),  DASI-2001 (Degree Angular Scale Interferometer), WPAP(2003) y otros,  representan un apoyo muy fuerte a favor de la existencia de tal período.    Sin embargo, parece ser que tales evidencias aun no son concluyentes y se espera obtenerlas con la ayuda de la alta resolución del satélite europeo PLANCK (2007), el cual medirá la polarización de la RCF causada por las ondas gravitacionales que, supuestamente, quedaron remanentes de dicho período :

72 Si la extrapolación hacia el pasado es correcta,  hace mucho tiempo atrás todas las galaxias  estaban muy cerca una de la otra.   Podemos ir aun más atrás, hasta el tiempo en que a(t) = 0 :   el modelo entonces predice que para este tiempo, definido como "t = 0, el origen",   no existía distancia alguna entre un "punto"  y otro en el Universo.   TODO EL UNIVERSO SE ENCONTRABA EN UN ESTADO DE INFINITA DENSIDAD Y TEMPERATURA,  estado al cual se le llama SINGULARIDAD INICIAL [S-I] Como es bien  sabido, una singularidad es un infinito matemático  

73 COSMOLOGIA Desde el éxito de este modelo, en 1965, hasta la fecha, se han hecho muchas investigaciones teóricas  para encontrar una solución que elimine a la S-I del modelo, y se ha llegado a la conclusión de que NO ES POSIBLE eliminarla dentro del marco clásico de la Relatividad General: se deben introducir correcciones (cuánticas y/o no-lineales y/o alguna idea nueva, etc)  a las ecuaciones del  modelo para evitar que el Universo colapse cuando t tiende a  0.     Sin embargo, aún no ha sido posible eliminar a la S-I;   lo único que se ha logrado es que algunas  magnitudes, que describen ciertas propiedades del Universo, adquieran valores "estacionarios" cerca de la S-I, y no tiendan a infinito... la S-I aún persiste.   En otros modelos más complicados se logra eliminar a la S-I describiendo al evento "origen del Universo" como un fenómeno de transición por Efecto Túnel (efecto estudiado en Física Cuántica) :  el Universo se describe como una fluctuación cuántica de un estado de vacío de un "algo" indeterminado [1948: Alexander Vilenkin].   Este tipo de ideas se estudian dentro del marco de los denominados modelos de COSMOLOGÍA CUÁNTICA .  La evolución de este fluído perfecto se da dentro de un espacio-tiempo en expansión y de éste fluído surge todo lo observado hoy día en el Universo.   CUANTICA

74 LA NADA Y EL VACIO CUANTICO
Siempre se ha entendido el concepto de "nada" como la ausencia de todo, de espacio, tiempo, materia y energía. En Mecánica Cuántica, el concepto de nada es sustituído por el de "vacío cuántico", la ausencia de todo excepto de fluctuaciones. Al ser intemporal, "siempre ha estado ahí". Cuando el vacío cuántico se perturba, da lugar a materia más antimateria, a la generación de "algo" y exactamente la misma cantidad de "antialgo", para que de esta forma se mantenga la propiedad esencial del vacío de no contener nada material. El vacío debe contener el espacio-tiempo, en su forma más primigenia (singularidad), y también un antiespacio-tiempo; pero según la Cosmología Cuántica, la naturaleza del espacio- tiempo es tal que su némesis coincide consigo misma. Esto implica la "aparición" de singularidades originarias de Big Bangs, y por tanto, de Universos, en un número ilimitado e indeterminado de ocasiones, lo que nos lleva a la idea de la existencia actual de múltiples Universos, cuyas diferencias estriban, principalmente, en sus geometrías. Todos son posibles, aunque son más probables los que cumplen las leyes de la Relatividad General. Siguiendo el Principio Antrópico, nuestro Universo es como es porque aquí estamos nosotros para preguntarnos por qué es precisamente así. Es un Universo capaz de evolucionar hasta la aparición de la inteligencia, regido por unas leyes muy estrictas que permiten este singular evento. El hombre inteligente se pregunta por sus orígenes y trata, a lo largo de la Historia, de entender su existencia, para lo que construye, con tesón admirable, y a través de modelos, el edificio de la Ciencia. LA NADA Y EL VACIO CUANTICO

75 COSMOLOGIA CUANTICA Existen Teorías que explican que nuestro Universo se "originó" a partir de un "ALGO = Meta-Universo/Multi-verso = todo absoluto"  pre-existente, en un estado hasta ahora desconocido del que, hasta la fecha, las teorías actuales sólo pueden especular ["Qué había -antes- del Big Bang?"].  Anteriormente se hablaba de que existía una "singularidad" y que el Universo surgió de la misma. Hoy día hay fuertes motivos teóricos para pensar que tal singularidad puede no haber existido. Al "instante" en que nuestro universo surgió le llamaremos "tiempo 0",  o "T=0",  aun cuando la noción de "tiempo", tal y como esta definido dentro de la física actual, al parecer, no puede ser aplicada en este caso ya que según ciertos resultados en teorías de Gravitación Cuántica (como la Quantum Loop Gravity  [QLG], las SuperCuerdas/Teoría-M [SC/TM],  la Non-Commutative Geometry [NCG]),    el tiempo y el espacio (tal y como están definidos en la física convencional) dejan de "tener sentido" cuando nos acercamos al "origen" de nuestro Universo. Cabe la posibilidad de que T = 0  NO SEA CUANDO SUCEDIO el BB convencional, ya que en los modelos sobre Inflación, la época inflacionaria fue anterior a la época expansionista postulada por el BB original. Inmediatamente luego de T=0, nuestro Universo empieza a expandirse y a sufrir una serie de transformaciones llamadas "Transiciones de Fase" [TDF], que no son mas que transiciones de un estado a otro estado. Cada TDF se caracteriza por una "era", en la cual dominaban ciertos fenómenos físicos

76 LA AUSENCIA DE LIMITES Centrándonos en nuestro Universo, y siguiendo la Teoría de la Ausencia de Límites, de Stephen Hawking y Jim Hartle, estamos en un Universo oscilante, esto es, en un Universo sujeto a una sucesión interminable de expansiones y contracciones, pero con una notable, muy notable, particularidad. Siempre se asocia el Big Bang con el tiempo igual a cero, y el Big Crunch con el tiempo final, que es el modelo clásico de Friedmann delUniverso oscilante para una masa total capaz de frenar la expansión por la gravedad. Según el modelo de Hawking, una vez producido el primer Big Bang correspondiente a la fluctuación cuántica que originó nuestro Universo, se produce la inflación y posterior expansión del espacio en un "tiempo complejo".  

77 El tiempo que nosotros manejamos es sólo una de las dos componentes del tiempo complejo, la componente real, existiendo otra componente, la componente imaginaria. En el Big Bang, la componente real es cero, pero no lo es la componente imaginaria. A lo largo de la expansión, crece paulatinamente la componente real, mientras la imaginaria disminuye. El Universo en expansión llega a un radio crítico, a partir del cual cesa la expansión y comienza el colapso; el tiempo real comienza a disminuir hasta llegar a cero (Big Crunch), pero el tiempo imaginario ha ido aumentando, por lo que el tiempo complejo nunca se hace cero. Esto involucra la desaparición de las "singularidades", y por lo tanto, un Universo finito pero ilimitado, sin bordes ni fronteras, autocontenido. Podríamos visualizarlo en un símil como la esfera terrestre desde una perspectiva bidimensional, desplazándonos por su superficie desde el polo norte, que sería el Big Bang (¡ya no es una singularidad!), alcanzando un tamaño máximo en el ecuador, comprimiéndose después hasta alcanzar el polo sur, que sería el Big Crunch (tampoco es una singularidad), y a su vez una nueva expansión hasta volver al ecuador, donde vuelve a alcanzar su máximo tamaño, y nueva compresión hasta el polo norte (Big Crunch e inmediato Big Bang), en una infinita serie de ciclos

78 Parámetros cosmológicos
CONCLUSION Parámetros cosmológicos Determinados con observaciones de: Constante de Hubble en función de distancia Fondo de microondas cósmicos (WMAP) Resultados: Densidad critica (geometría plana) Materia: 30% Bariones: 3% Bariones visibles 0.3% Materia oscura 27% Energía oscura: 70% Futuro del Universo: expansión exponencial Edad del Universo: 13,7 mil millones de años

79 COSMOLOGIA FIN