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El centro de gravedad (C.G) es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas masas materiales.

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1 El centro de gravedad (C.G) es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas masas materiales de un cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. CENTRO DE GRAVEDAD

2 El centro de masas coincide sólo si el campo gravitatorio es uniforme, es decir, viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y dirección constante. En general para un campo gravitatorio que decrece con la distancia, el centro de gravedad está a una está más cerca del centro de masas que crea el campo, que el centro de gravedad del objeto. Sin embargo, para grandes distancias, como es el caso típico la diferencia entre ambas distancias es pequeña comparada con las propias distancias. Centro de masas y centro de gravedad

3 Centroide y centro de masas El centroide es un concepto definible en términos estrictamente geométricos, mientras que los conceptos de centro de masas y centro de gravedad son conceptos físicos. El centroide coincide con el centro de masa si la densidad másica del cuerpo es uniforme (de hecho aunque la densidad no se distribuya uniformemente el centroide y centro de masas continuarán coincidiendo si la distribución presenta simetría respecto al centroide).

4 Centroide y centro de gravedad El centroide, el centro de masas y el centro de gravedad coinciden para un cuerpo de densidad másica homogénea que está inmerso en un campo gravitatorio uniform

5 Propiedades del centro de gravedad Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable mientras la recta de acción de la fuerza de gravedad resultante que pasa su centro de gravedad intersecte la base de apoyo. Para objetos simplemente apoyados sobre una base rígida dentro del campo gravitatorio terrestre (que en primera aproximación puede considerarse constante para objetos de sólo unos metros de longitud) dicho objeto será estable si el centro de gravedad está situado sobre la vertical de la base de apoyo. Además si se desplaza el cuerpo de la posición de equilibrio (caracterizada por el hecho de que la distancia vertical entre el centro de gravedad y la base de apoyo es mínima), siempre habrá un torque de restauración. No obstante, cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de apoyo, el torque de restauración pasa sobre el cuerpo, debido a un torque gravitacional que lo hace rotar fuera de su posición de equilibrio.

6 Cálculo del centro de gravedad El centro de gravedad de un cuerpo K viene dado por el único vector que cumple que: Para un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorio es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a una equivalente a la definición del centro de masas. Para el campo gravitatorio creado por un cuerpo másico cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo másico y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto vienen dado por:

7 Por ejemplo para una barra homogénea de longitud L orientada hacia un planeta lejano, y cuyo centro de gravedad distan del centro de gravedad del planeta una distancia dCM, el centro de gravedad de la barra está situado a una distancia del centro del planeta dada por:

8 Figura 1. Símbolos usados para indicar la posición del "centro de gravedad", "punto de equilibrio" o de balanceo. Figura 3. Posición del C.D.G. según tipo de perfil Figura 2

9 SEGUNDA PARTE: COMO LOCALIZARLO Ya hemos visto en la figura 3 la situación, según tipo de perfil, del c. de g.. Si tenemos un ALA RECTANGULAR, el ejemplo más sencillo posible, vemos como la cuerda (distancia según el eje longitudinal del avión entre el borde de ataque -el anterior- y el de fuga -el posterior- del ala) es la misma desde la raíz al borde marginal, así que medimos el 30 % ( si es el % que corresponde a ese tipo de perfil) de esta cuerda a partir del borde de ataque. Una vez localizado el punto se hace desde él una perpendicular al eje longitudinal del avión y ahí estará localizado el centro de gravedad (figura 4). A lo largo de esta línea es donde colocaremos nuestros dedos para comprobar el antes referido balance. Figura 4

10 En el caso de un ALA TRAPEZOIDAL debemos hallar la Cuerda Media (CM) también llamada Cuerda Media Aerodinámica (CMA). En cuanto a la longitud sabemos de antemano que es la media aritmética de la cuerda en la raíz de ala C-1 y la del extremo C-2 pero tenemos que localizarla geométricamente. Para ello dibujamos a tamaño natural o a escala la planta alar y trazamos una línea que una los dos puntos medios o centros geométricos (cg) de las dos cuerdas extremas. Después prolongamos a partir del borde de fuga, por ejemplo, la cuerda C-1 de la raíz en un valor igual a C-2. Haremos lo mismo en el marginal donde añadimos a C-2 una longitud igual a C-1 (figura 5). Unimos los dos extremos de esta prolongaciones con una línea que va a cortar a la que unía los dos cg y en esa intersección se halla la Cuerda Media o CM, como veis paralela al eje longitudinal del avión. Sobre ella medimos el % que corresponda al perfil y desde ahí trazamos una perpendicular al eje longitudinal del avión lo que nos dará la situación exacta del Centro de gravedad.

11 CALCULO DE LA POSICION DEL C.G

12 El centro de gravedad de un objeto es: el también llamado "cetro de masas" de un objeto. el punto donde el objeto mantiene el equilibrio si se le pone en el filo de una navaja. el único punto donde los momentos de equilibrio estático respecto de tres ejes mútuamente perpendiculares son todos cero. el centroide del volumen del objeto, si el objeto es homogéneo. el punto donde se concentra toda la masa del objeto al realizar cálculos estáticos. el punto alrededor del cual el objeto gira en el espacio. el punto a través del cual se considera que actúa la fuerza de la gravedad. el punto donde se debe aplicar una fuerza externa para producir traslación pura de un objeto en el espacio.

13 La localización del CG se expresa en unidades de longitud, a lo largo de los tres ejes (X, Y, y Z). Estas son los tres componentes del vector distancia desde el origen del sistema de coordenadas hasta la posición del CG. El CG de masa compuestas se calcula a partir de los momentos tomados alrededor del origen. La dimensión fundamental de los momentos es, típicamente, FUERZA por DISTANCIA; no obstante, con el momento de masa pueden usarse unidades de MASA por DISTANCIA.

14 Se pueden usar los momentos de volumen, en caso de elementos homogéneos. Se debe tener cuidado en tomar los momentos de los elementos expresados en unidades compatibles. No obstante, esto no es muy útil para combinar elementos de masa. Un técnica más útil es usar los "momentos de offset". En este caso, el momento offset X, seria MX=+3W. Este momento puede ser fácilmente sumado a los momentos offset X de otros elementos de masa, la suma total ser dividida por el peso total, y el resultado seria la componente X de la posición del CG de la masa compuesta. Análogamente, los momentos offset Y y Z (MY=-5W y MZ=+7W), se pueden combinar con momentos offset Y y Z de otros elementos para determinar las componentes Y y Z de la posición del CG. Por desgracia, el término "momento offset X", es frecuentemente sustituido por "momento en X". Esto no tiene sentido matemático, pero como en el caso del término "libra de masa", es "comprendido" por muchos ingenieros.

15 Las componentes de distancia de la posición del CG, pueden ser positivas o negativas, y de hecho su signo depende de la selección hecha de los ejes de referencia.

16 El CG de una forma homogénea, se calcula determinando su centroide de volumen. En la vida real, la mayoría de los objetos no son homogéneos, así que el CG debe ser calculado sumando los momentos offset de cada uno de los tres ejes. Estos procesos se describen en detalle en las siguientes secciones: El centro de gravedad de un objeto puede situarse en el aire. Por ejemplo, el centro de gravedad de un segmento de tubería está en la línea central que pasa por su centro geométrico, incluso no habiendo metal en el centro de la tubería (figura 6). El CG compuesto de un objeto, puede ser calculado si se conocen los CGs de cada componente.

17 CG a lo largo de un sólo eje Considerese la barra de metal redondeada con dos pesos cilíndricos, tal como se muestra más abajo. Por simetría, el CG del objeto está sobre su línea central (ya que el CG de una masa homogénea está en su centroide de volumen). La posición del CG a lo largo de la longitud, se puede determinar sumando los momentos presentes alrededor del eje de referencia, como se muestra en la parte inferior de la figura (D=0). Supongamos que los pesos son: Wa = lb, Wb = lb, Wc = lb. Ma=Wa × D a = lbs × in = lb in Mb=Wb × D b = lbs × in = lb in Mc=Wc × D c = lbs × in = lb in Peso total = lb Momento total = lb in Posición CG = Momento total ÷ Peso total = ÷ = in Nótese que los elementos no tienen por qué ser del mismo diámetro para ser simétricos a los largo. De hecho, los elementos se pueden superponer (como al deslizar una tubería dentro de otra).

18 CG de cuerpos 3D asimétricos El centro de gravedad de un cuerpo asimétrico, se puede calcular de la misma forma que en el ejemplo anterior. Cada eje debe ser considerado por separado (Figura 8). Considérese un cilindro con rectángulos acoplados. El CG de cada componente es conocido por simetría, cálculo o medición. Se asigna un marco de referencia conveniente, es este caso uno tal que los CGs de cada componente caiga sobre los ejes, y los momentos offset se suman a lo largo de cada eje.

19 La dimensiones mostradas, son del CG de cada componente respecto del origen. Mx = Ma + Mb + Mc =.4 × =.70 lb-in CGx =.70 lb-in ÷ 4.8 lb =.146 in My = Ma + Mb + Mc = × = lb-in CGy = lb-in ÷ 4.8 lb = in Mz = Ma + Mb + Mc =.4 × × ×.5 =.70 lb-in CGx = 9.1 lb-in ÷ 4.8 lb = in

20 C.G de una forma compleja, similar a una forma estándard Considérese el cono hueco mostrado más abajo. Por simetría, el CG está sobre la línea central. La distancia del CG puede ser calculada usando herramientas de cálculo. No obstante, el CG de un cono sólido viene dado en cualquier manual (p. ej. el SAWE Handbook). Si se observa el hecho de que un cono hueco se puede crear al extraer un cono pequeño de uno más grande, se puede calcular el CG restando el momento del cono pequeño, al del cono grande. Los momentos de volumen se toman alrededor del centro de la base para encontrar el centroide del cono hueco. Cuando el cono se combina con otros elementos para encontrar el CG global, su peso actual y la posición del centroide calculado, se combinan con los de los otros elementos.

21 PI= A1 = H1÷ 4 = 5 A2 = H2÷ 4 = 4.55 V1 = (PI×1² × H1)÷ 3 = (PI × 4² × 20)÷ 3 = V2 = (PI×2² × H2)÷ 3 = (PI × 3.6² × 18)÷ 3 = Vnet = V1-V2 = 90.8 in³ CG=(A1V1- A2V2)÷ V net CG=((5)×(335.1)-(4.5)×(244.3))÷ 90.8

22 C.G de una forma compleja inusual Tarde o temprano, uno se encuentra una forma que no está catalogada en los manuales y que no puede crearse a partir de formas conocidas. Entonces, será necesario recurrir al cálculo para encontrar su CG. El concepto básico del cálculo, es el mismo que en los ejemplos previos, excepto que los momentos sumados son los correspondientes a porciones infinitesimales del objeto, en lugar se los momentos de objetos discretos más pequeños. El truco para simplificar este proceso, consiste en escoger la forma infinitesimal correcta, de manera que la integración tripe se pueda evitar. Nuestro elemento diferencial, no debe ser un pequeño cubo, a menos que no haya ningún tipo de simetría. Generalmente, se puede usar una barra rectangular que cubre la longitud completa del objeto, o un disco delgado o anillos cuyo diámetro es función de su posición. Para ilustrar la cálculo del CG, utilizaremos es mismo cono hueco del apartado anterior.

23 Posición del centroide desde el vértice = Mt ÷ Vt = ÷ 90.8 =13.65 ino = 6.35 in desde la base

24 C.G de un vehículo de reentrada Cualquier aplicación real, como localizar el CG de un vehículo de reentrada, combina las técnicas descritas previamente. Hace años, este tipo de cálculos se hacían a mano. Más tarde, se realizaron programas de computadora para manejar vehículos comunes. Ahora, la tendencia es utilizar una hoja de cálculo en un ordenador personal. Este tipo de programa tan versátil, permite al ingeniero personalizar su solución, utilizando el ordenador en su propio despacho, sin estar dependiendo de un programador o de los problemas de mantenimiento de los mainframes.

25 Confirmando los cálculos con mediciones físicas El instrumento utilizado para medir CGs de proporcionar dos funcionalidades importantes: 1.El instrumento debe estar diseñado de tal forma que se posible localizar con precisión la posición de la objeto bajo prueba (Unit Under Test, UUT), respecto de la máquina. Esto suele significar que la mesa de prueba del instrumento, debe girar, permitiendo que la UUT se pueda mover. La precisión de la medición del CG depende completamente de las superficies de referencia de la UUT y de su posición relativa al instrumento (de hecho, este es el factor que limita la precisión). 2.El instrumento debe tener la suficiente sensibilidad para detectar pequeños cambios en el momento estático. Por ejemplo, si la UUT pesa 1000 lb y se desea una precisión de in en la medida del CG, la sensibilidad del instrumento debe ser, al menos de 1 lb in.

26 Hay varios métodos que se pueden usar para medir el CG. Se listan a continuación, por orden de preferencia: 1.EL MEJOR METODO. Colocar la UUT en una mesa giratoria con pivote, y medir el momento de desequilibrio alrededor del pivote. Esto permite medir las coordenadas X e Y del C.G a la vez. Existen en el mercado sistemas computerizados que utilizan esta técnica (como las familias de instrumentos CG600 y KSR de Space Electronics). 2.UN BUEN METODO. Colocar la UUT en una máquina equilibradora, y medir la fuerza centrífuga debida al desplazamiento del CG respecto del eje de rotación. Este método es sensible a pequeños desplazamientos del CG, pero es impracticable para objetos grandes, y tiene una precisión limitada si el producto de inercia es grande.

27 3.UN BUEN METODO. Colocar la UUT en tres células de carga y calcular el CG a partir de la diferencia de fuerzas. Este método no permite determinar con precisión la posición de la UUT respecto de la máquina. La técnica tradicional, utilizaba tres células de carga idénticas, equidistantes del CG y tenia una baja sensibilidad inherente, debida a que el CG se calcula a partir de pequeñas diferencias entre dos números grandes. Una reciente modificación de este método, utilizando transductores de fuerza de alta resolución y nueva geometría, tiene una sensibilidad mucho más alta, y es una buena elección para aplicaciones de producción. Instalaciones dedicadas, pueden determinar la posición de la UUT. Una de sus ventajas es que este método permite medir el CG y el peso simultáneamente, y es el método más rápido. También es, posiblemente, el único método practicable para objetos muy grandes.

28 Los dos últimos métodos no se consideran industrialmente practicables. 1.METODO DE EQUILIBRADO DE LA HOJA DE LA NAVAJA. Posicionar y desplazar la UUT sobre el filo de una navaja hasta que se equilibre. Este método tiene una sensibilidad razonable par objetos largos y finos, pero no permite determinar con precisión el CG relativo a la máquina la instalación es generalmente inestable... 2.METODOS TEORICOS DESCRITOS EN LIBROS DE TEXTO. Colgar el objeto de un pivote o cable flexible y medir el ángulo con que cuelga el objeto. Este método es posible en laboratorios de Física, pero no en aplicaciones industriales.

29 Conversión de coordenadas cartesianas a polares Cuando se calcula, los datos del CG están expresados en coordenadas cartesianas. A menudo, es útil convertirlos a coordenadas polares. Muchos ordenadores y calculadoras científicas, hacen esto automáticamente. No obstante, si no, se puede usar el siguiente método: Magnitud -- Dos ejes M = SQR(X² + Y²) donde "SQR" significa raíz cuadrada Angulo A = arcTAN (Y/X) si X >= 0 e Y >= 0 (1º cuadrante) A = 180° - arcTAN (Y/X) si X = 0 (2º cuadrante) A = 180° + arcTAN (Y/X) si X < 0 e Y < 0 (3º cuadrante) A = 360° - arcTAN (Y/X) si X >= 0 e Y < 0 (4º cuadrante)

30 Conversión de coordenadas polares a cartesianas Una vez los datos han sido convertidos a forma polar, a veces es necesario convertirlos de nuevo a forma cartesiana, utilizando un nuevo sistema de referencia. Esto puede ocurrir si se quiere ajustar el offset del CG de un vehículo de reentrada, que fue equilibrado en su línea central. En este caso, las posiciones de los pesos de corrección, puede no caer sobre los ejes de referencia. Si no se dispone de calculadora, se pueden usar las siguientes fórmulas: X1 = M cos (A1) Y1 = M sin (A1) Donde X1 e Y1 son los nuevos ejes y A1 es el ángulo entre el momento vector de desequilibro y el eje X1.

31 Corrección del desequilibrio estático El satélite mostrado, tiene un desequilibrio estático de X = lb in e Y = lb in. Es necesario añadir pesos al vehículo para que este desequilibrio se reduzca a cero. Por desgracia, los únicos lugares donde estos pesos se pueden añadir, son a 33º y 255º. El radio del peso de corrección a 33º es 8.25 in y a 255º es 7.60 in. ¿Qué pesos se deben añadir a cada posición para compensar el desequilibrio? Si los pesos se pudiesen añadir a 0º y 270º, se necesitarían 4.65 lb in a 0º para compensar las lb in de desequilibrio en el eje X, y lb in a 270º para compensar las lb in de desequilibrio en el eje Y. No obstante, estas posiciones no están disponibles. Esta es la situación general en el equilibrado aeroespacial. El siguiente ejemplo presenta el método utilizado para determinar los nuevos pesos en posiciones permitidas: Primero se calcula la magnitud y el ángulo polares del momento resultante, después se calculan las coordenadas cartesianas de los momentos de corrección. Dividimos los momentos de corrección por sus rádios para obtener lo pesos de corrección.

32 Ecuaciones generales de corrección Sum [C sin Ac = M sin (180 - A)] Sum [C cos Ac = M cos (180 - A)] donde: C = Momentos de corrección Ac = Ángulos de corrección permitidos M = Momento de desequilibrio estático A = Angulo del momento de desequilibrio Nótese que estos cálculos en que interviene el desequilibrio estático, conciernen al peso más bien al peso que a la masa. En el ejemplo anterior, la figura no mostraba a qué altura debían añadirse los pesos. En general, los pesos deben ser añadidos a una altura lo más cercana posible a la del CG del vehículo, para que los pesos no produzcan desequilibrio por producto de inercia.

33 Calculando los pesos de corrección M = SQR (MX²+My ²) = lb in Los instrumentos de cálculo del CG, disponen de rutinas software que permiten especificar las posiciones disponibles para los pesos de corrección. El ordenador indica al operario cuanto peso añadir, y en qué posición.

34 Efectos del offset del CG durante el vuelo Si el CG de un vehículo aeroespacial giratorio no está en su centro geométrico (generalmente es también el centro de resistencia al volar a través de la atmósfera), entonces el vehículo tiene tendencia a girar sobre su CG. El vehículo puede también inclinarse de manera que el eje principal se alinee con el eje de rotación (esto se discute en detalle en la sección dedicada al producto de inercia). Esto resulta en una alteración de las características de fricción y arrastre del vehículo de reentrada, cuando este entra en la atmósfera.

35 Calculando los pesos de corrección M = SQR (Mx² + My²) = lb in A = arcTAN (12.32 ÷ -4.65) = ° Para encontrar los momentos de corrección C1 y C2 a 33° y 255° : Cx = C1 cos 33 + C2 cos 255 = 4.65 Cy = C1 sin 33 + C2 sin 255 = eq. (1): 0.84 C C2 = 4.65 eq. (2): 0.54 C C2 = Multiplicar ambos lados de la eq. (2) por : - (0.84 ÷ 0.54) y sumar a la eq. (1) 0 × C × C2 = C2 = lb in C1 = ( ×2) ÷ 0.84 C1 = lb in Pesos a añadir: W1 = lb in ÷ 8.25 in = 1.39 lb W2 = lb in ÷ 7.60 in = 2.52 lb

36 XYZW Etapa "-0.012" ". Etapa "+0.012" ". Etapa "+0.012" ". TOTAL. Combinar los datos de CG de subestructuras Consideremos el caso de un cohete de tres etapas. Los CGs de las etapas se han calculado de forma que estén en la línea central. Después de la construcción, se ha medido el CG de cada sección, obteniendo: Se presentan dos vistas del cohete. La planta muestra los ejes X e Y; el alzado, el eje Z.

37 XYZ Etapa 1+ in.in. Etapa 2in.+ in. Etapa 3in.+ in. Moment o total in. + in. Moment o/306 lb..+. Las coordenadas X e Y se miden desde la línea central de la sección; la coordenada Z de las etapas 1 y 3, se mide desde su intersección, mientras la coordenada Z de la tercera etapa se mide desde la intersección de las etapas 2 y 3. Para calcular la coordenada Z del CG, primero debemos trasladar la coordenada de la etapa 3, a la misma referencia que las etapas 1 y 2. Como la longitud de la etapa 2 es in, la coordenada Z es = in. Si las tres etapas estaban perfectamente alineadas en el ensamblado, entonces, el CG combinado de todo el cohete, se puede calcular sumando los momentos X, Y y Z alrededor del origen:

38 Si las tres etapas se ensamblan con un error de alineado, entonces: 1.Se selecciona una de las etapas como referencia. Para este ejemplo, escogemos la etapa 2. Las coordenadas del CG para esta etapa permanecerán sin cambios. 2.Se recalculan las coordenadas del CG para las etapas 1 y 3, para reflejar el error de alineado. Si las etapas no se ensamblan correctamente (p.ej. hay un espacio de in entre las etapas 2 y 3), entonces la dimensión Z = , se convierte en Si el eje X se desplaza hacia un lado en la primera etapa in, entonces la dimensión X = in de la primera etapa, se convierte en in, etc. Si las etapas están inclinadas unas respecto a las otras, el offset debido a la inclinación, se debe determinar a la altura del CG de la etapa. Por ejemplo, si la etapa 3 está inclinada de forma que el error en el eje Y con Z = 24.5 in es 0.020, entonces, la corrección del eje Z de la etapa 3 es:

39 0.020 x ( ÷ ) = in El nuevo valor de Y para la etapa 3 será: Y = = in 1.Una vez la tabla de coordenadas de los CG de las etapas 1 y 3 se ha revisado, el cálculo se realiza de forma idéntica a la del ejemplo con un alineado perfecto.


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