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Aliquot network Rede Alícuota Podemos entender el sistema también como una red, más concretamente como un grafo dirigido. Fijado una cantidad de nodos.

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Presentación del tema: "Aliquot network Rede Alícuota Podemos entender el sistema también como una red, más concretamente como un grafo dirigido. Fijado una cantidad de nodos."— Transcripción de la presentación:

1 Aliquot network Rede Alícuota Podemos entender el sistema también como una red, más concretamente como un grafo dirigido. Fijado una cantidad de nodos N (el conjunto de números {1, 2, 3,..., N-1, N}), dos nodos n 1, n 2 N estarán enlazados, n 1 n 2, si s(n 1 ) = n 2.

2 N = Conectividad total.

3 Untouchable numbers (Erdös) impossible values for sum of aliquot parts of n An untouchable number is a positive integer that cannot be expressed as the sum of all the proper divisors of any positive integer (including the untouchable number itself). n tales que n s(m) para todo m. The first few are 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146,... (Sloane's A005114). In 1973 Erdös Erdős has proven that there are infinitely many.

4 E(22) = 8N = 22

5 La conjetura de Goldbach reza así: Todo número par n mayor que 2 es expresable como suma de dos primos p y q. La conjetura de Goldbach Supongamos la conjetura cierta. Y sea x un natural mayor que 1: => 2x es par. => 2x = p + q, donde p, q primos. => 2x + 1 = p + q + 1, donde 2x + 1 es impar. Por tanto dado un número impar 2x +1, siempre existe un número p*q de tal forma que s(p*q) = p + q + 1= 2x + 1. Es decir, todo número impar tiene al menos un antecesor bajo la función divisores propios.

6 En realidad tenemos que hacer referencia a una versión un pelín más restrictiva de la conjetura de Goldbach que dice que: todo entero n mayor que 6 es expresable como la suma de dos primos distintos. Sencillamente porque 4 y 6 solo son expresables como suma de primos de esta manera: 4 = y 6 = Y en estos casos no se cumple s(p*q) = p + q + 1 porque p y q son iguales. Así, si la conjetura de Goldbach es cierta, no existen números de Erdös impares (a excepción del número 5 y el 7).

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8 E(N) = N

9 David Marchante

10 Javier Herrera Montojo "El cálculo de la cantidad de intocables de Erdos se realizó con una ventana de 10 a con saltos de 10.

11 Ciertamente los números de Erdos conocidos (menos el 5) son todos pares. Ahora bien, en el análisis de escala vemos que los números de Erdos E(N) dentro de una ventana de observación N van como E(N) = *N (de hecho, parece corresponder a la constante de Euler- Mascheronni, = ). Por lo tanto si estuviéramos midiendo realmente la cantidad de números de Erdos, el porcentaje de números de Erdos sería gamma, independientemente de la ventana de observación, es decir, el porcentaje de los naturales que son números de Erdos. Si este porcentaje es de gamma (de alrededor del 58%), significa que forzosamente algunos impares también tienen que ser números de Erdos. Y la conjetura de Goldbach debería de ser falsa.

12 Recordemos que al aumentar la ventana de observación algunos Erdos dejan de serlo, otros se mantienen y otros nuevos se incorporan. El scaling E(N) = *N nos proporciona una ley para este balance. Habría que pensar una estrategia para determinar el porcentaje "real" de intocables. Por ejemplo: Fijamos N y determinamos los tres tipos de intocables: los que desaparecen, los que permanecen y los nuevos incorporados. Ahora vamos haciendo crecer N y miramos como cambian estos tres grupos.

13 Aunque en este caso disponemos de una información importante: Jean-Luc Garambois ha demostrado que todos los antecesores de n, s(m) = n, son inferiores a n De modo que en este caso podemos establecer una ventana N sobre la que medir la cantidad de nodos de Erdös, pero contando con todos los enlaces que puedan provenir de otra ventana de tamaño N Y este sí que sería el verdadero scaling de los nodos de Erdös.

14 N. J. A. Sloane and Simon Plouffe, The Encyclopedia of Integer Sequences

15 #Table of n, a(n) for n = 1,..., 8153

16 Carlos Juárez Step: Cada 1000 pasos desaparecen unos 270. Comprobar E d = 0.27 N

17 E d = 0.44 N Javier Herrera Montojo "El cálculo de la cantidad de intocables de Erdos se realizó con una ventana de 10 a con saltos de 10". Esta gráfica debería ser la acumulada de la anterior.

18 Step: Carlos Juárez ¿? Dices: "prácticamente una línea recta..." Cada 1000 pasos aparecen nuevos unos 840. O sea que cada 1000 pasos crecen =570. El 57% de E n = 0.84 N

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20 Carlos Juárez Step: E(N) = E n (N)-E d (N) = ( )N E(N) = 0.57N

21 Javier Herrera Montojo "El cálculo de la cantidad de intocables de Erdos se realizó con una ventana de 10 a con saltos de 10.

22 Diego Vázquez "Contabilizar la cantidad de números de Erdös de los universos de dimensión desde 1 hasta 2000, aumentando de 1 en 1. "Se puede ajustar con una recta de pendiente , que no esta lejos de los que nos contaste en clase 0.577, teniendo en cuenta que es solo con 2000 números".

23 Carlos Juárez Step: ¿Cada 1000 pasos se mantienen el 57%? Teníamos que se iban, de los 1000, unos 270 y que entraban nuevos unos 840

24 Euler–Mascheroni constant En vez de ajustar E(N) a una recta, podríamos intentar ajustar a:

25 Direct escape nodes

26 De nuevo nos encontramos con el mismo problema que con los nodos de Erdös. Así que tendríamos que hacer medidas semejantes: Para cada ventana N: (1) nuevos nodos de escape directo. (2) nodos de escape directo que dejan de serlo. (3) nodos de escape directo que continúan siéndolo.

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30 Fijado N, llamaremos conjunto de escape E N de N al conjunto de todos los nodos o números n N tal que s(n) N, junto con todos los números de N que en sucesión los alcanzan. De nuevo hagamos las mismas medidas...

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