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SUBTEMA 2.1.2. RESULTANTE DE FUERZAS COPLANARES. El método analítico para la suma de vectores, consiste en utilizar las ecuaciones de las componentes rectangulares.

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1 SUBTEMA RESULTANTE DE FUERZAS COPLANARES. El método analítico para la suma de vectores, consiste en utilizar las ecuaciones de las componentes rectangulares de los vectores (Fx y FY).

2 Cuyas ecuaciones son: Fx = F cos θFy = F sen θ. Después de obtener la sumatoria de las fuerzas en X y en Y se aplica el Teorema de Pitágoras, cuya Fórmula es: ____________ R = (ΣFx) 2 + (ΣFy) 2.

3 Finalmente, para obtener el ángulo del vector resultante se hace uso de la función trigonométrica tangente, cuya fórmula es: Θ = tan -1 ΣFy ΣFx

4 Problemas para hallar el vector resultante por el método analítico. 1.- Tres sogas están atadas a una estaca, y sobre ella actúan tres fuerzas: A = 20 libras al Este, B = 30 libras a 30° al Noroeste; y C = 40 libras a 52° al Suroeste. Determine la fuerza resultante de forma analítica. Solución: primeramente se trazan los vectores en las coordenadas cartesianas:

5 A = 20 lb E B = 30 lb 30° NO θ = 30° C = 40 lb, 52° SO θ = 52°. E N S O

6 Primeramente se construye el cuadro de fuerzas. FánguloComp. XComponentes Y 20 lb0°20 lb0 30 lb30°-30 lb cos 30°30 lb sen 30° 40 lb52°-40 lb cos 52°-40 lb sen 52° _____________________ ____________________ ΣFx = 20 lb-30 lb cos 30°-40 lb cos 52° ΣFy= 30 lbsen30°-40 lb sen 52° ΣFx = 20 lb- 30 lb (0.8660)-40 lb (0.6156)ΣFy= 30 lb (0.5)-40 lb (0.7880). ΣFx = 20 lb lb lbΣFy= 15 lb lb ΣFx = 20 lb lbΣFy= lb ΣFx = lbΣFy= lb

7 Una vez obtenidos la sumatoria de fuerzas X y Y, se aplica la ecuación del teorema de Pitágoras para obtener la resultante. Por los signos de las componentes X y Y (ambos negativos), la resultante se graficará en el tercer cuadrante. ___________ R = (Fx) 2 +(Fy) 2. ______________________ R = ( lb) 2 + ( lb) 2. __________ R = lb R = 34.8 lb

8 Para obtener el ángulo de la resultante, se aplica la función trigonométrica tangente: θ = tan -1 Fy Fx θ = tan lb = lb tan = 28.36°. R = 34.8 lb, 28.36°. Al Suroeste.

9 El ángulo es debajo del eje x en el tercer cuadrante. La dirección o ángulo del vector resultante también se puede expresar como ° al sumar los 180° correspondientes a los dos primeros cuadrantes al valor de 28.36°, por lo cual la respuesta también se puede expresar como: R = 34.8 lb, ° medidos desde el primer cuadrante.

10 N S E O R = 34.8 lb Θ = 28.36° Fx = lb Fy = lb

11 2.- Encontrar el vector resultante y el ángulo del siguiente sistema de vectores por el Teorema de Pitágoras, medidos desde el Este: F1 = 2.5 N al Norte, F2 = 3 N a 25° al Noreste, F3 = 4 N al Este, y F4 = 2 N a 40° al Suroeste.

12 N E S O F1 = 2.5 N F2 = 3 N Θ = 25° F3 = 4 N F4 = 2 N θ = 40°

13 Cuadro de fuerzas con sus componentes rectangulares. F θcomp. Xcomp Y 2.5 N0°0 2.5 N 3 N25°3 N cos 25° 3 N sen 25° 4 N0°4 N 0 2 N0° -2 N cos 40° -2 N sen 40° ΣFx =3 N cos 25° ΣFy = 2.5 N + 3 N + 4 N - 2 N cos 40°. sen 25°- 2 N sen 40° ΣFx = 3 N x N – 2 N x ΣFx = N – N ΣFx = N – N = N. ΣFy = 2.5 N + 3 N x – 2 N x = ΣFy = 2.5 N – ΣFy = – = N.

14 ______________ R = (5.1869) 2 + (2.4824) 2. ___________ R = _________ R = R = 5.75 Newtons.

15 Θ = = Θ = tan = 25.6°.

16 R = 5.75 N Fy =2.48 N Y X Fx = 5.18 N Θ = 25.6°

17 3.- Encontrar el vector resultante y el ángulo del siguiente sistema de vectores por el Teorema de Pitágoras. V1 = 35 m/seg, al Este, V2 = 30 m/seg a 30° al Suroeste y V3 = 45 m/seg a 60° al Noroeste.

18 N S EO V1 = 35 m/seg V2 = 30 m/seg Θ =30° V3 = 45 m/seg Θ = 60°

19 Cuadro de fuerzas y componentes rectangulares. F θComp. XComp. Y 35 m/s0°35 m/s 0 30 m/s30° - 30 m/s cos 30°-30 m/s sen 30° 45 m/s60° - 45 m/s cos 60° 45 m/s sen 60° ΣFx = 35 m/s – 30 m/s cos 30° ΣFy = - 30 m/s sen 30° -45 m/s cos 60° m/s sen 60° ΣFx = 35 m/s – 30 m/s x m/s x 0.5= 35 m/s m/s m/s ΣFx = 35 m/s = m/s. ΣFy = -30 m/s x sen 30 ° + 45 m/s x sen 60° ΣFy = - 30 m/s x m/s x ΣFy = - 15 m/s m/s = m/s.

20 ____________________ R = ( m/s) 2 + (23.97 m/s) 2. ________________________ R = m 2 /s m 2 /s 2 ________________ R = R = 27.5 m/s.

21 Cálculo del ángulo de la resultante. Θ = = Θ = tan = 60.6°

22 Gráfica del vector resultante y su ángulo. N S E O VR =27.5 m/s Θ= 60.6° Θ= 119.4° Fx = m/s Fy = m/s


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