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Capítulo 3B - Vectores Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University Presentación PowerPoint de.

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2 Capítulo 3B - Vectores Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University © 2007

3 Los topógrafos usan mediciones precisas de magnitudes y direcciones para crear mapas a escala de grandes regiones. Vectores

4 Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: Demostrar que cumple las expectativas matemáticas: análisis de unidades, álgebra, notación científica y trigonometría de triángulo recto.Demostrar que cumple las expectativas matemáticas: análisis de unidades, álgebra, notación científica y trigonometría de triángulo recto. Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y vectoriales.Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y vectoriales. Determinar los componentes de un vector dado.Determinar los componentes de un vector dado. Encontrar la resultante de dos o más vectores.Encontrar la resultante de dos o más vectores. Demostrar que cumple las expectativas matemáticas: análisis de unidades, álgebra, notación científica y trigonometría de triángulo recto.Demostrar que cumple las expectativas matemáticas: análisis de unidades, álgebra, notación científica y trigonometría de triángulo recto. Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y vectoriales.Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y vectoriales. Determinar los componentes de un vector dado.Determinar los componentes de un vector dado. Encontrar la resultante de dos o más vectores.Encontrar la resultante de dos o más vectores.

5 Expectativas Debe ser capaz de convertir unidades de medición para cantidades físicas.Debe ser capaz de convertir unidades de medición para cantidades físicas. Convierta 40 m/s en kilómetros por hora x x = 144 km/h m s 1 km 1000 m 3600 s 1 h

6 Expectativas (cont.): Se supone manejo de álgebra universitaria y fórmulas simples.Se supone manejo de álgebra universitaria y fórmulas simples. Ejemplo: Resuelva para v o

7 Expectativas (cont.) Debe ser capaz de trabajar en notación científica.Debe ser capaz de trabajar en notación científica. Evalúe lo siguiente: (6.67 x )(4 x )(2) (8.77 x ) 2 F = = Gmm r 2 F = 6.94 x N = 6.94 nN

8 Expectativas (cont.) Debe estar familiarizado con prefijos del SIDebe estar familiarizado con prefijos del SI metro (m) 1 m = 1 x 10 0 m 1 Gm = 1 x 10 9 m 1 nm = 1 x m 1 Mm = 1 x 10 6 m 1 m = 1 x m 1 km = 1 x 10 3 m 1 mm = 1 x m

9 Expectativas (cont.) Debe dominar la trigonometría del triángulo recto.Debe dominar la trigonometría del triángulo recto. y x R y = R sen x = R cos R 2 = x 2 + y 2 sen y R

10 Repaso de matemáticas Seleccione Capítulo 2 del On-Line Learning Center en Tippens-Student Edition Si siente necesidad de pulir sus habilidades matemáticas, intente el tutorial del Capítulo 2 acerca de matemáticas. La trigonometría se revisa junto con los vectores en este módulo.

11 La física es la ciencia de la medición Comience con la medición de longitud: su magnitud y su dirección. Longitud Peso Tiempo

12 Distancia: cantidad escalar Una cantidad escalar: Sólo contiene magnitud y consiste de un número y una unidad. (20 m, 40 mi/h, 10 gal) A B Distancia es la longitud de la ruta tomada por un objeto. Distancia es la longitud de la ruta tomada por un objeto. s = 20 m

13 Desplazamiento-Cantidad vectorial Una cantidad vectorial: Contiene magnitud Y dirección, un número, unidad y ángulo. (12 m, 30 0 ; 8 km/h, N) A B D = 12 m, 20 o Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección especificada.Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección especificada.

14 Distancia y desplazamiento Desplazamiento neto: 4 m, E 6 m, W D ¿Cuál es la distancia recorrida? ¡¡ 10 m !! D = 2 m, W Desplazamiento es la coordenada x o y de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W.Desplazamiento es la coordenada x o y de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W. x= +4 x = +4 x= -2 x = -2

15 Identificación de dirección Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo.) 40 m, 50 o N del E EW S N 40 m, 60 o N del W 40 m, 60 o W del S 40 m, 60 o S del E Longitud = 40 m 50 o 60 o

16 Identificación de dirección Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste, norte. EW S N 45 o EW N 50 o S Clic para ver las respuestas S del E 45 0 W del N

17 Vectores y coordenadas polares Las coordenadas polares (R, ) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 50 0 N del E. 0o0o 180 o 270 o 90 o 0o0o 180 o 270 o 90 o R R es la magnitud y la dirección. 40 m 50 o

18 Vectores y coordenadas polares (R, ) = 40 m, 50 o (R, ) = 40 m, 120 o (R, ) = 40 m, 210 o (R, ) = 40 m, 300 o 50 o 60 o 0o0o 180 o 270 o 90 o 120 o Se dan coordenadas polares (R, ) para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes: 210 o 300 0

19 Coordenadas rectangulares Derecha, arriba = (+, +) Izquierda, abajo = (-, -) (x, y) = (?, ?) x y (+3, +2) (-2, +3) (+4, -3) (-1, -3) La referencia se hace a los ejes x y y, y los números + y – indican posición en el espacio

20 Repaso de trigonometría Aplicación de trigonometría a vectoresAplicación de trigonometría a vectores y x R y = R sen x = R cos R 2 = x 2 + y 2 Trigonometría sen y R

21 Ejemplo 1: Encuentre la altura de un edificio si proyecta una sombra de 90 m de largo y el ángulo indicado es de 30 o. 90 m 30 0 La altura h es opuesta a 30 0 y el lado adyacente conocido es de 90 m. h h = (90 m) tan 30 o h = 57.7 m

22 Cómo encontrar componentes de vectores Un componente es el efecto de un vector a lo largo de otras direcciones. A continuación se ilustran los componentes x y y del vector (R,. x y R x = R cos y = R sen Cómo encontrar componentes: Conversiones de polar a rectangular

23 Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en una dirección 30 o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento al este y cuánto al norte? x y R x = ? y = ? 400 m E N El componente y (N) es OP: El componente x (E) es ADY: x = R cos y = R sen E N

24 Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? x = R cos x = (400 m) cos 30 o = +346 m, E x = ? y = ? 400 m E N Nota: x es el lado adyacente al ángulo de 30 0 ADY = HIP x cos 30 0 El componente x es: R x = +346 m

25 Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? y = R sen y = (400 m) sen 30 o = m, N x = ? y = ? 400 m E N OP = HIP x sen 30 0 El componente y es: R y = +200 m Nota: y es el lado opuesto al ángulo de 30 0

26 Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? R x = +346 m R y = +200 m 400 m E N Los componentes x y y son cada uno + en el primer cuadrante Solución: La persona se desplaza 346 m al este y 200 m al norte de la posición original.

27 Signos para coordenadas rectangulares Primer cuadrante: R es positivo (+) 0 o > < 90 o x = +; y = + x = R cos y = R sen + + 0o0o 90 o R

28 Signos para coordenadas rectangulares Segundo cuadrante: R es positivo (+) 90 o > < 180 o x = - ; y = + x = R cos y = R sen + R 180 o 90 o

29 Tercer cuadrante: R es positivo (+) 180 o > < 270 o x = - y = - x = R cos y = R sen - R 180 o 270 o Signos para coordenadas rectangulares

30 Cuarto cuadrante: R es positivo (+) 270 o > < 360 o x = + y = - x = R cos y = R sen 360 o + R 270 o Signos para coordenadas rectangulares

31 Resultante de vectores perpendiculares Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares. R siempre es positivo; es desde el eje +x x y R

32 Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y una de 40 lb hacia el este actúan sobre un burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza NETA o resultante sobre el burro? 30 lb 40 lb Dibuje un esquema burdo. Elija una escala burda: Ej: 1 cm = 10 lb 4 cm = 40 lb 3 cm = 30 lb 40 lb 30 lb Nota: La fuerza tiene dirección tal como la longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar como si se tuvieran vectores longitud para encontrar la fuerza resultante. ¡El procedimiento es el mismo!

33 Cómo encontrar la resultante (cont.) 40 lb 30 lb 40 lb 30 lb Encontrar (R, ) a partir de (x, y) dados = (+40, -30) R RyRy RxRx R = x 2 + y 2 R = (40) 2 + (30) 2 = 50 lb tan = = o = o

34 Cuatro cuadrantes (cont.) 40 lb 30 lbR RyRy RxRx 40 lb 30 lb R RyRy RxRx 40 lb 30 lb R RyRy RxRx 40 lb 30 lb R RyRy RxRx = 36.9 o ; = 36.9 o ; o ; o ; o R = 50 lb

35 Notación vector unitario (i, j, k) x z y Considere ejes 3D (x, y, z) Defina vectores unitarios i, j, k i j k Ejemplos de uso: 40 m, E = 40 i 40 m, W = -40 i 30 m, N = 30 j 30 m, S = -30 j 20 m, out = 20 k 20 m, in = -20 k

36 Ejemplo 4: Una mujer camina 30 m, W; luego 40 m, N. Escriba su desplazamiento en notación i, j y en notación R,. -30 m +40 m R R = R x i + R y j R = -30 i + 40 j R x = - 30 mR y = + 40 m En notación i, j se tiene: El desplazamiento es 30 m oeste y 40 m norte de la posición de partida.

37 Ejemplo 4 (cont.): A continuación se encuentra su desplazamiento en notación R,. -30 m +40 m R = o (R, ) = (50 m, o ) R = 50 m = – = –

38 Ejemplo 6: La ciudad A está 35 km al sur y 46 km al oeste de la ciudad B. Encuentre la longitud y dirección de la autopista entre las ciudades. B R = 57.8 km = S de W. 46 km 35 km R = ? A R = -46 i – 35 j = = =

39 Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña si su brazo forma un ángulo de 28 0 con el suelo F = 240 N F FyFyFyFy FxFxFxFx FyFyFyFy F x = -|(240 N) cos 28 0 | = -212 N F y = +|(240 N) sen 28 0 | = +113 N O en notación i, j : F = -(212 N)i + (113 N)j

40 Ejemplo 8. Encuentre los componentes de una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del manubrio de una podadora. El ángulo con el suelo es de F = 300 N F FyFyFyFy FxFxFxFx FyFyFyFy F x = -|(300 N) cos 32 0 | = -254 N F y = -|(300 N) sen 32 0 | = -159 N 32 o O en notación i, j : F = -(254 N)i - (159 N)j

41 Método de componentes 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del 2o a la cola del 3o, y así para los demás. 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. 3. Escriba cada vector en notación i, j. 4. Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j. Luego convierta a (R, ).

42 Ejemplo 9. Un bote se mueve 2.0 km al este, luego 4.0 km al norte, luego 3.0 km al oeste y finalmente 2.0 km al sur. Encuentre el desplazamiento resultante. EN 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del 2o a la cola del 3o, y así para los demás. 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. Nota: La escala es aproximada, pero todavía es claro que la resultante está en el cuarto cuadrante. 2 km, E A 4 km, N B 3 km, O C 2 km, S D

43 Ejemplo 9 (cont.) Encuentre el desplazamiento resultante. 3. Escriba cada vector en notación i, j: A = +2 i B = + 4 j C = -3 i D = - 2 j 4. Sume algebraicamente los vectores A, B, C, D para obtener la resultante en notación i, j. R =R =R =R = -1 i + 2 j. 1 km al oeste y 2 km al norte del origen. EN 2 km, E A 4 km, N B 3 km, O C 2 km, S D 5. Convierta a notación R, Vea página siguiente.

44 Ejemplo 9 (cont.) Encuentre desplazamiento resultante. EN 2 km, E A 4 km, N B 3 km, O C 2 km, S D La suma resultante es: R = -1 i + 2 j R y = +2 km R x = -1 km R Ahora encuentre R, Ahora encuentre R, R = 2.24 km = N del O

45 Recordatorio de unidades significativas: EN 2 km A 4 km B 3 km C 2 km D Por conveniencia, siga la práctica de suponer tres (3) cifras significativas para todos los datos en los problemas. En el ejemplo anterior, se supone que las distancias son 2.00 km, 4.00 km y 3.00 km. Por tanto, la respuesta se debe reportar como: R = 2.24 km, N del O

46 Dígitos significativos para ángulos 40 lb 30 lbR RyRy RxRx 40 lb 30 lb R RyRy RxRx = 36.9 o ; o Puesto que una décima de grado con frecuencia puede ser significativa, a veces se necesita un cuarto dígito. Regla: Escriba los ángulos a la décima de grado más cercana. Vea los dos ejemplos siguientes:

47 Ejemplo 10: Encontrar R, para los tres desplazamientos vectoriales siguientes: A = 5 m B = 2.1 m 20 0 B C = 0.5 m R A = 5 m, 0 0 B = 2.1 m, 20 0 C = 0.5 m, Primero dibuje los vectores A, B y C a escala aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo burdo) 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector; note el cuadrante de la resultante. (R, ) 3. Escriba cada vector en notación i, j. (continúa...)

48 Ejemplo 10: Encuentre R, para los tres desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede ser útil una tabla.) Vector Vector componente x (i) componente y (j) A = 5 m m + 5 m 0 B = 2.1 m (2.1 m) cos (2.1 m) sen (2.1 m) sen 20 0 C = 0.5 m m m R x = A x + B x + C x R y = A y + B y + C y R y = A y + B y + C y A = 5 m B = 2.1 m 20 0 B C = 0.5 m R Para notación i, j, encuentre los componentes x, y de cada vector A, B, C.

49 Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 0 0 ; B = 2.1 m, 20 0 ; C = 0.5 m, componente x (i) componente x (i) componente y (j) A x = m A x = m A y = 0 A y = 0 B x = m B x = m B y = m B y = m C x = 0 C x = 0 C y = m C y = m A = 5.00 i + 0 j A = 5.00 i + 0 j B = 1.97 i j B = 1.97 i j C = 0 i j C = 0 i j 4. Sume los vectores para obtener la resultante R en notación i, j. R =R =R =R = 6.97 i j

50 Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 0 0 ; B = 2.1 m, 20 0 ; C = 0.5 m, R = 7.08 m = N del E R = 6.97 i j 5. Determine R, a partir de x, y: R x = 6.97 m R R y 1.22 m Diagrama para encontrar R,

51 Ejemplo 11: Un ciclista viaja 20 m, E luego 40 m a 60 o N del W, y finalmente 30 m a 210 o. ¿Cuál es el desplazamiento resultante gráficamente? 60 o 30 o R Gráficamente, se usa regla y transportador para dibujar los componentes, luego se mide la resultante R, A = 20 m, E B = 40 m C = 30 m R = (32.6 m, o ) Sea 1 cm = 10 m

52 A continuación se proporciona una comprensión gráfica de los componentes y la resultante: 60 o 30 o R Nota: R x = A x + B x + C x AxAx B BxBx RxRx A C CxCx R y = A y + B y + C y 0 RyRy ByBy CyCy

53 Ejemplo 11 (cont.) Use el método de componentes para encontrar la resultante o R AxAx B BxBx RxRx A C CxCx RyRy ByBy CyCy Escriba cada vector en notación i, j. A x = 20 m, A y = 0 B x = -40 cos 60 o = -20 m B y = 40 sen 60 o = m C x = -30 cos 30 o = -26 m C y = -30 sen 60 o = -15 m B = -20 i j C = -26 i - 15 j A = 20 i

54 Ejemplo 11 (cont.) Método de componentes o R AxAx B BxBx RxRx A C CxCx RyRy ByBy CyCy Sume algebraicamente: A = 20 i B = -20 i j C = -26 i - 15 j R = -26 i j R R = (-26) 2 + (19.6) 2 = 32.6 m tan = = 143 o

55 Ejemplo 11 (cont.) Encuentre la resultante o R AxAx B BxBx RxRx A C CxCx RyRy ByBy CyCy R = -26 i j R El desplazamiento resultante del ciclista se proporciona mejor mediante sus coordenadas polares R y. R = 32.6 m; = 143 0

56 Ejemplo 12. Encuentre A + B + C para los vectores que se muestran a continuación. A = 5 m, 90 0 B = 12 m, 0 0 C = 20 m, A B R A x = 0; A y = +5 m B x = +12 m; B y = 0 C x = (20 m) cos 35 0 C y = -(20 m) sen A = 0 i j A = 0 i j B = 12 i + 0 j B = 12 i + 0 j C = 16.4 i – 11.5 j C = 16.4 i – 11.5 j R =R =R =R = 28.4 i j C CxCxCxCx CyCyCyCy

57 Ejemplo 12 (cont.). Encuentre A + B + C A B C R R R x = 28.4 m R y = m R = 29.1 m = S del E

58 Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). A + B Considere primero A + B gráficamente: B A B R = A + BR A B

59 Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo. B A B --B--B A --B--B R A

60 Comparación de suma y resta de B B A B Suma y resta R = A + BR A B --B--B R A R = A - B La resta resulta en un diferencia significativa tanto en la magnitud como en la dirección del vector resultante. |(A – B)| = |A| - |B|

61 Ejemplo 13. Dados A = 2.4 km N y B = 7.8 km N: encuentre A – B y B – A. A 2.43 N B 7.74 N A – B; B - A A - B +A -B (2.43 N – 7.74 S) 5.31 km, S B - A +B -A (7.74 N – 2.43 S) 5.31 km, N R R

62 Resumen para vectores Una cantidad escalar se especifica completamente sólo mediante su magnitud. (40 m, 10 gal) Una cantidad escalar se especifica completamente sólo mediante su magnitud. (40 m, 10 gal) Una cantidad vectorial se especifica completamente mediante su magnitud y dirección. (40 m, 30 0 ) Una cantidad vectorial se especifica completamente mediante su magnitud y dirección. (40 m, 30 0 ) RxRx RyRy R Componentes de R: R x = R cos R x = R cos R y = R sen R y = R sen

63 Continúa resumen: RxRx RyRy R Resultante de vectores: Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como convertir de coordenadas polares (R, ) a rectangulares (R x, R y ). Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como convertir de coordenadas polares (R, ) a rectangulares (R x, R y ).

64 Método de componentes para vectores Inicie en el origen y dibuje cada vector en sucesión para formar un polígono etiquetado. Inicie en el origen y dibuje cada vector en sucesión para formar un polígono etiquetado. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. Escriba cada vector en notación i, j (R x, R y ). Escriba cada vector en notación i, j (R x, R y ). Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j. Luego convierta a (R Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j. Luego convierta a (R

65 Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo. B A B --B--B A --B--B R A

66 Conclusión del Capítulo 3B - Vectores


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