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1 Computacion Inteligente Relaciones fuzzy. 2 Contenido Vectores y matrices fuzzy Relaciones crisp Relaciones fuzzy Extension de un conjunto fuzzy por.

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Presentación del tema: "1 Computacion Inteligente Relaciones fuzzy. 2 Contenido Vectores y matrices fuzzy Relaciones crisp Relaciones fuzzy Extension de un conjunto fuzzy por."— Transcripción de la presentación:

1 1 Computacion Inteligente Relaciones fuzzy

2 2 Contenido Vectores y matrices fuzzy Relaciones crisp Relaciones fuzzy Extension de un conjunto fuzzy por una relacion crisp Extension de un conjunto fuzzy por una relacion fuzzy: composicion

3 3 Vectores y matrices fuzzy

4 4 Un vector fuzzy es un vector cuyos elementos tienen valores dentro del intervalo [0,1] Una matriz fuzzy es la aglomeracion de vectores fuzzy.

5 5 Suma de matrices fuzzy

6 6 Multiplicacion de matrices fuzzy

7 7 Relaciones crisp

8 8 Conjunto Producto Sean A y B dos conjuntos no vacíos, el conjunto producto o producto Cartesiano A × B se define como A × B = {(a, b) | a A, b B } El concepto de producto Cartesiano puede ser extendido a n conjuntos.

9 9 Conjunto Producto: ejemplo A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2}

10 10 Relaciones crisp Sean A y B dos conjuntos y existe una propiedad especifica entre los elementos x de A e y de B, Esta propidedad puede ser descrita usando el par ordenado (x, y). Un conjunto de tales pares (x, y), x A and y B, es denominado una relacion R.

11 11 Relaciones crisp R = { (x,y) | x A, y B } R es una relacion binaria y un subconjunto de A × B. El termino x esta en relacion R con y se denota como (x, y) R o x R ycon R A × B.

12 12 Relacion crisp: ejemplo Sea:A = {1,2,3} y B = {2,3,4} El producto carteciano A × B: {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)} R = el primer elemento no es menor que el segundo elemento R = {(2,2), (3,2), (3,3)}

13 13 Relacion crisp como un mapeo R = {(x, y) | x A, y B, y = f(x)} f : A B

14 14 Dominio y rango de una relacion Sea R una relacion entre A y B Dominio dom(R) = { x| x A, (x, y) R para algun y B } Rango ran(R) = { y | y B, (x, y) R para algun x A }

15 15 Relacion crisp: representacion Grafica Grafico dirigido

16 16 Relacion crisp: representacion Matricial O tambien: R = {(a 1,b 1 ), (a 2,b 2 ), (a 3,b 2 ), (a 4,b 2 )} Una relacion es un conjunto en el espacio producto

17 17 Relacion crisp: ejemplo Sea:A = {1,2,3} y B = {2,3,4} R = el primer elemento no es menor que el segundo elemento R = {(2,2), (3,2), (3,3)}

18 18 Relaciones crisp: ejemplo x esta en relacion R con y y es el cuadrado de x

19 19 Operaciones sobre relaciones Union: T = R S Si (x, y) R o (x, y) S, entonces (x, y) T Interseccion: T = R S Si (x, y) R y (x, y) S, entonces (x, y) T Complemento

20 20 Operaciones sobre relaciones Composicion R A × B, S B × C T = R S A × C si y solamente si al menos existe un tal que

21 21 Composicion de relaciones Relacion composicion Ejercicio: R = es el hermano de S = es el padre de Expresar verbalmente: R S, S S

22 22 Composicion: ejemplo Sea:A = {1,2,3}, B = {2,3,4} y C = {1,2,3} R = el primer elemento no es menor que el segundo elemento R = {(2,2), (3,2), (3,3)} S = el primer elemento es mayor que el segundo elemento S = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} R S = {(2,1), (3,1), (3,2)}

23 23 Relaciones fuzzy

24 24 Relaciones crisp La relacion clasica representa la presencia o ausencia de interaccion entre elementos de dos conjuntos. La relacion se puede expresar por la funcion caracteristica μ R : A × B {0, 1}

25 25 Relaciones difusas En las relaciones fuzzy la fuerza de la asociacion (correlacion) se representa por grados de pertenencia.

26 26 Relaciones multidimensionales En general: Tanto las relaciones crisp como las difusas se pueden definir en un espacio carteciano multidimensional...

27 27 Relaciones difusas La relacion R A × B se considera como un conjunto fuzzy en el espacio A × B

28 28 Relacion difusa: ejemplo La relacion R se considera como un conjunto fuzzy en el espacio A × B

29 29 Relacion Fuzzy Ejemplos: x esta cerca de y (x e y son numeros) x depende de y (x e y son eventos) x e y se parecen (x, e y son personas u objectos) Si x es grande, entonces y es pequeña (x es una observacion e y es una accion correspondiente)

30 30 Relacion fuzzy : representacion

31 31 Relacion fuzzy: Forma matricial Forma matricial

32 32 La relacion con expresion de conocimiento La relación fuzzy es principalmente útil para expresar conocimiento: Asumamos que el conjunto A es un conjunto de eventos y R una regla Entonces por la regla R, la posibilidad de ocurrencia del evento c luego de ocurrir el evento a es de 0.8, en el ejemplo

33 33 Dominio y rango de una relacion fuzzy Sea R una relacion fuzzy entre los conjuntos crisp A y B Dominio Rango

34 34 Operaciones sobre relaciones fuzzy Asumimos que R A × B y S A × B. Relacion Union: (x, y) A × B μ R S (x, y) = Max [μ R (x, y), μ S (x, y)] = S(μ R (x, y), μ S (x, y)) ¿Cómo es la forma matricial de la union? Operador generalizado

35 35 Operaciones sobre relaciones fuzzy Asumimos que R A × B y S A × B. Relacion Interseccion: (x, y) A × B μ RS (x, y) = Min [μ R (x, y), μ S (x, y)] = T(μ R (x, y), μ S (x, y)) Operador generalizado

36 36 Operaciones sobre relaciones fuzzy Asumimos que R A × B Relacion Complemento: (x, y) A × B

37 37 Operaciones sobre relaciones fuzzy Ejercicio: Sean R A × B y S A × B Encontrar la union, la interseccion y el complemento.

38 38 Composicion de relaciones fuzzy Dos relaciones fuzzy R y S estan definidas sobre los conjuntos A, B y C: R A × B,S B × C. La composition SR de las dos relaciones R y S se expresa por la relacion de A a C S R A × C

39 39 Composicion de relaciones fuzzy Asumimos que R A × B y S B × C. Composicion max-min: (a,b) A × B (b,c) B × C

40 40 Composicion de relaciones fuzzy Otra composicion: max-prod En general: Operador generalizado

41 41 Composicion de relaciones fuzzy Forma matricial

42 42 Composicion de relaciones fuzzy Otra representacion de la composicion

43 43 La composicion con expresion de conocimiento Las relaciones R y S son las expresiones de reglas que guian la ocurrencia de un evento o un hecho. La regla R indica la posibilidad de B cuando A ocurre. La regla S indica la posibilidad de C cuando B existe. Entonces, la posibilidad de C cuando A ha ocurrido puede ser inducida de SR Esta manera de actuar es llamada una inferencia Este es un proceso que produce nueva información

44 44 Propiedades de la composicion Asociatividad: Distributividad sobre la union: Distributividad sobre la intersection: Monotonicidad:

45 45 Extension de un conjunto fuzzy por una relacion crisp

46 46 Extension por relacion crisp. Def. Sea R A × B una relacion crisp de A a B Esta relacion crisp puede ser expresada por el mapeo f

47 47 Extension por relacion crisp. Def. Dada la relacion crisp expresada por el mapeo f, Entonces podemos obtener el conjunto fuzzy B en B por R y A

48 48 Ejemplo Sea el conjunto fuzzy A el conjunto de personas con una enfermedad contagiosa y el conjunto B el conjunto crisp el conjunto de personas en contacto con personas infectadas

49 49 Ejemplo La relacion de contacto R esta dada por la figura Notese que R es una relacion crisp. De la figura, b1 estuvo en contacto con a1 y a3

50 50 Ejemplo Con tal relacion y conjunto A, el conjunto de infectados B en B esta dado por Para b1 Para b2 Para b3

51 51 Ejemplo Forma matricial

52 52 El principio de extensión Podemos generalizar la extension de un conjunto fuzzy. Sea la funcion f del espacio X a Y, f(x 1, x 2,..., x r ) : X Y Entonces el conjunto fuzzy B en Y puede ser obtenido por la funcion f y los conjuntos fuzzy A 1, A 2,..., A r en X como sigue:

53 53 El principio de extensión Ai son cojuntos fuzzy en X La imagen de A bajo f(.) es un conjunto fuzzy B

54 54 El principio de extensión Por ejemplo, El principio de extension permite, la extensión de las operaciones con números (valores crisp) 5+4 numero real a operaciones con conjuntos difusos aprox 5+ aprox 4 valor fuzzy funcion

55 55 El principio de extensión Ejercicio: Hallar B y = f (x) = x + 4: A = 0.1/ /3 + 1/ /5; y = f (x1, x2) = x1 + x2 : A1 = 0.1/ /3 + 1/ /5; A2 = 0.4/5 + 1/6;

56 56 Fuzzy Sets Extension de un conjunto fuzzy por relacion fuzzy

57 57 Extension por relacion fuzzy Dados un conjunto fuzzy A definido en A, y una relacion fuzzy R A × B Puede existir una funcion de mapeo que exprese la relacion fuzzy R

58 58 Extension por relacion fuzzy Dados un conjunto fuzzy A definido en A, y una relacion fuzzy R A × B Entonces podemos obtener el conjunto fuzzy B en B por R y A

59 59 Calculo de la extension por relacion fuzzy La funcion de pertenencia del conjunto fuzzy B in B esta dada por donde A y R representan matrices fuzzy

60 60 Calculo de la extension por relacion fuzzy: Composicion Notese el simbolo usado: La operacion realizada es definida como composicion (Zadeh, 1973)

61 61 Extension por relacion fuzzy Ejemplo

62 62 Ejemplo Sea el conjunto fuzzy A el conjunto de personas con una enfermedad contagiosa y el conjunto B el conjunto crisp el conjunto de personas en contacto con personas infectadas

63 63 Ejemplo El grado de contacto esta dada por la relacioin R Notese que R es una relacion fuzzy. De la figura, b1 tuvo cierto grado de contacto con a1 y a3

64 64 Ejemplo Con tal relacion R y conjunto A, el conjunto de infectados B en B esta dado por Para b1

65 65 Ejemplo Con tal relacion R y conjunto A, el conjunto de infectados B en B esta dado por Para b2

66 66 Ejemplo Con tal relacion R y conjunto A, el conjunto de infectados B en B esta dado por Para b3 El conjunto B

67 67 Ejemplo Forma matricial

68 68 Extension por relacion fuzzy: interpretacion grafica

69 69 Ejercicio Dada la relacion fuzzy R y el conjunto singleton A Calcular el conjunto fuzzy correspondiente B en Y

70 70 Solucion Dada una relacion fuzzy R y el conjunto singleton A el conjunto fuzzy correspondiente B es

71 71 Extension por varias relaciones fuzzy La extension de un conjunto fuzzy por relacion fuzzy tambien es posible con varias relaciones Es decir, el conjunto fuzzy A puede ser propagado a traves de mas de una relacion mediante la operación composicion

72 72 Ejercicio Dados los conjuntos y las relaciones Encontrar C

73 73 Fuentes J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro- Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan. Humberto Martínez Barberá, Control Difuso. Universidad de Murcia Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001) Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.

74 74 Fuentes R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999 René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000 L.X. Wang, Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis, Prentice-Hall, 1.994

75 75 Fuentes Kwang-Hyung Lee, Textbook CS670 Fuzzy Theory, septiembre 2001 J. Galindo Gómez, Conjuntos y Sistemas Difusos (Lógica Difusa y Aplicaciones). Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación, Universidad de Málaga, 2002? Vojislav Kecman, Fuzzy logic basics. Slides accompanying the MIT Press book: Learning and Soft Computing. 2001


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