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Value-at-Risk Análisis y Gestión de Riesgo. Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 2 Distintos tipos de riesgo Riesgo país Riesgo.

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1 Value-at-Risk Análisis y Gestión de Riesgo

2 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 2 Distintos tipos de riesgo Riesgo país Riesgo de crédito Riesgo de reinversión Riesgo de iliquidez Riesgo de tipo de cambio Riesgo operativo Riesgo de mercado

3 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 3 Riesgo: algunos aspectos por considerar Un problema esencial asociado al término es que no se cuenta con una definición única para riesgo. Se pueden obtener ventajas relativas al trabajar con distintas técnicas para implementar su medición. Del diccionario: Contingencia o proximidad de un daño (un risco) El peligro o la posibilidad de sufrir pérdidas El monto que una compañía puede perder La variabilidad de los retornos de una inversión La posibilidad de no recibir el pago de una deuda Cada una de las contingencias que pueden ser objeto de un contrato de seguro

4 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 4 Visión intuitiva del riesgo de mercado Puntos por considerar: La oscilación de las variables económicas clave. Cambios en el perfil de riesgo de una empresa, de un patrimonio o de una emisión particular. Valor de la diversificación de portafolio: riesgo diversificable y riesgo no diversificable. Límites impuestos a la diversificación (legales o institucionales). Consecuencias Efectos directos e indirectos sobre el valor de los componentes de un portafolio. Efecto acumulado sobre el valor total del portafolio.

5 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 5 Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico Algunas medidas de riesgo simétrico: Desviación estándar y varianza Desviación absoluta respecto a la media Algunas medidas de riesgo asimétrico: Semidesviación estándar Probabilidades empíricas de pérdida Value-at-Risk

6 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 6 Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico Distribución asimétrica hacia ganancias Resultado esperado Distribución asimétrica hacia pérdidas

7 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 7 Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico Distribución asimétrica hacia ganancias Resultado esperado Distribución asimétrica hacia pérdidas Ambas tienen el mismo riesgo simétrico Los indicadores asimétricos identifican la segunda distribución de resultados como más riesgosa que la primera

8 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 8 Definición del Value-at-Risk Presupuestos Es posible reunir información representativa sobre los posibles resultados de una inversión en el corto plazo. Datos históricos o supuestos expertos Esta información permite describir el futuro (comportamiento estable) Tres elementos distintivos de la definición El Value-at-Risk incorpora: Horizonte de inversión Significancia estadística Significancia estadística Criterio asimétrico Criterio asimétrico

9 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 9 Definición del Value-at-Risk Definición Es la máxima pérdida esperada dentro de un horizonte de inversión de n días con una probabilidad de error de α% Horizonte de inversión Significancia estadística Significancia estadística Criterio asimétrico Criterio asimétrico

10 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 10 El VaR resume la pérdida máxima esperada (o peor pérdida) a lo largo de un horizonte de tiempo objetivo dentro de un intervalo de confianza dado. El cálculo del VaR está dirigido a elaborar un reporte de la siguiente forma: Se tiene una certeza de X% de que no se perderá más de V dólares en los siguientes N días V es el VaR de N -días para un nivel de confianza de X% Según la propuesta del Comité de Basilea el intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de probabilidad, desviaciones) y según la metodología de RiskMetrics es de un 95% (5% de probabilidad y desviaciones). Qué es Value at Risk (VaR)

11 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 11 Metodologías VaR alternativas Las similitudes Los tres métodos buscan estimar un valor crítico para las pérdidas potenciales. Las diferencias Cada método realiza distintos supuestos acerca de qué valores son representativos sobre las futuras pérdidas potenciales y cómo éstas se distribuyen estadísticamente. Método Analítico (Delta Normal) Método Montecarlo (Simulaciones) Método Histórico (Histogramas)

12 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 12 Metodologías VaR alternativas Método Analítico (Delta Normal) Método Montecarlo (Simulaciones) Método Histórico (Histogramas)

13 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 13 VaR Analítico - Delta Normal Supuestos El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar. Se asume que la distribución es normal (y, por ello, simétrica), con media y varianza conocidas. Sin embargo… ¿Es realmente normal? Problemas de estabilidad de medias y varianzas ¿De dónde procede la información sobre media y varianza? ¿Y los momentos superiores? A partir de los supuestos sobre la distribución, es posible calcular directamente el percentil de riesgo apropiado.

14 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 14 VaR Analítico - Delta Normal Posibles valores de la variable aleatoria 0 1%0%2%-1%-2% Probabilidad de ocurrencia

15 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 15 VaR Analítico - Delta Normal Posibles valores de la variable aleatoria 0 μ +1σμμ +2σμ-1σμ -2σ Probabilidad de ocurrencia μ -3σμ +3σ 68.26% 95.44% 99.74%

16 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 16 VaR Analítico - Delta Normal Con una probabilidad de 95% en una cola … =DISTR.NORM.ESTAND.INV(5%)= Valor crítico: Desviaciones estándar Posibles valores de la variable aleatoria Probabilidad de ocurrencia 5%90%5%

17 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 17 VaR Analítico - Delta Normal Generalización Si llevamos esta generalidad a una distribución normal N( ) tendríamos que normalizar para calcular qué valor de x se superará con una probabilidad de 5%.

18 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 18 VaR Analítico - Delta Normal Los dos componentes: la media y la volatilidad La media (μ) de los rendimientos suele calcularse como el promedio aritmético de las rentabilidades observadas en el corto plazo. Distinguir la diferencia entre media aritmética y geométrica en este caso. La volatilidad (σ) de los rendimientos se aproxima utilizando la desviación estándar de las rentabilidades observadas en el corto plazo. Conversión de plazos Es común (aunque no recomendable) convertir los rendimientos y volatilidades de un día en sus correspondientes anuales del siguiente modo:

19 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 19 VaR Analítico - Delta Normal Período de anulación de riesgo El periodo de Anulación de Riesgo (Defeasance Period), es el horizonte de tiempo elegido al cual se hará referencia para el cálculo de la medida de riesgo. Las medidas de riesgo vendrán referenciadas en función de ese horizonte temporal. Rendimiento: Volatilidad:

20 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 20 VaR Analítico - Delta Normal El intervalo de confianza Según la propuesta del Comité de Basilea[1] el intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de probabilidad, desviaciones estándar) a 10 días. Según la metodología de RiskMetrics[2] es de un 95% (5% de probabilidad y desviaciones estándar) a 1 día. [1] Banco de Pagos Internacionales, Amendment to the Capital Accord to Incorporate Markets Risk, Comité de Basilea, Basilea, Suiza, Enero de [2] Riskmetrics Technical Document – JP Morgan 1996

21 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 21

22 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 22 Dow Jones desde enero de 1997 hasta marzo del 2001

23 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 23 Data-> 1302 días Mean -> StandardDeviation -> Kurtosis -> Skewness ->

24 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 24 Asunción de Normalidad Data-> 252 días Mean -> Skewness -> Kurtosis -> StandardDeviation ->

25 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 25

26 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 26 Metodologías VaR alternativas Método Analítico (Delta Normal) Método Montecarlo (Simulaciones) Método Histórico (Histogramas)

27 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 27 VaR Montecarlo Supuestos El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar. Se asume que la distribución es una distribución conocida (no necesariamente normal o simétrica). Para ello es posible utilizar algún procedimiento de ajuste o bootstrapping. Sin embargo… ¿Es necesario que una serie de rendimientos se distribuya siguiendo un patrón conocido? Problemas de estabilidad de parámetros

28 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 28 VaR Montecarlo Procedimiento A partir de los supuestos sobre las distribuciones y sus covarianzas, es posible generar numerosos rendimientos futuros hipotéticos. Mediante la combinación de dichos retornos, se puede estimar resultados alternativos del portafolio y formar así un histograma empírico. Finalmente, a partir de este histograma, se puede estimar el percentil de riesgo apropiado. En síntesis Se asume que las distribuciones son conocidas y se generan numerosos mundos imaginarios que siguen estas distribuciones. El VaR se calcula comparando dichos escenarios simulados.

29 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 29 Movimiento Browmiano

30 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 30

31 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 31 Simulación de Montecarlo 1) Selección un proceso estocástico y sus parámetros. 2) Elección de la amplitud de periodo u horizonte de tiempo. 3) Selección de la serie de variables aleatorias. 4) Cálculo del pronóstico al final del horizonte temporal. 5) Creación de numerosos caminos aleatorios y de sus precios finales. 6) Cálculo de la distribución de los precios finales 7) Cálculo del VaR 8) Simulación con un mayor número de caminos aleatorios.

32 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 32 Selección de la serie de variables aleatorias: 10 pasos {7715.4, , , , 8071., , , , , , }

33 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 33 Simulación: 50 pasos { , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }

34 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín caminos

35 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín caminos

36 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 36 Histograma: 200 VaR= = puntos de indice Mean -> , StandardDeviation -> , Skewness -> , Kurtosis ->

37 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 37 Histograma:500 VaR= = puntos de índice

38 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 38 Metodologías VaR alternativas Método Analítico (Delta Normal) Método Montecarlo (Simulaciones) Método Histórico (Histogramas)

39 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 39 VaR Histórico Supuestos A diferencia de los dos primeros métodos, este enfoque no realiza supuestos sobre la manera de suavizar la distribución de los retornos. Se mantiene el supuesto previo de que el comportamiento pasado es representativo del futuro cercano. Procedimiento Se utiliza el propio histograma empírico de los retornos históricos para calcular el nivel de pérdidas crítico. Notar que los patrones de covarianza entre variables se incorporan directamente en el procedimiento.

40 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 40 VaR Histórico – Síntesis del proceso Valoración del portafolio Tasas de interés Tipos de cambio Spreads de riesgo Índices bursátiles Tasas de interés Tipos de cambio Spreads de riesgo Índices bursátiles Tasas de interés Tipos de cambio Spreads de riesgo Índices bursátiles Variables actualesCambios históricosValores posibles += Histograma de valores posibles

41 ¿Qué hay más allá del Value-at-Risk? Análisis y Gestión de Riesgo

42 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 42 ¿Por qué el VaR no es suficiente? Los trabajos de Artzner y Delbaen (1997), demuestran que el VaR tiene características indeseables: Falta de subaditividad Falta de convexidad Por ello, de modo agregado se dice que el VaR no es una medida coherente de riesgo. El VaR únicamente es coherente cuando está basado en distribuciones continuas normalizadas (ya que para una distribución normal el VaR es proporcional a la desviación estándar).

43 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 43 ¿Qué es el CVaR? Definición El Conditional-Value-at-Risk (CVaR) a un nivel de confianza dado es la pérdida esperada entre las pérdidas que son mayores que el VaR. Dicho de otra forma, es la pérdida esperada que es más grande o igual que el VaR. [ Uryasev S., y Rockafellar, R.T 2000] Implicancias Es un promedio de las pérdidas que exceden el VaR. Va a ser un indicador que no sólo tiene en cuenta el VaR sino también las pérdidas extremas de la distribución.

44 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 44 Acción de Yahoo VaR -> % CVaR-> %

45 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 45 VaR -> % CVaR-> % VaR -> % CVaR-> % Acción de Yahoo (Variantes)

46 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 46 Resumen de las ventajas del CVaR El CVAR calcula riesgos más allá del VAR lo que la hace una medida más conservadora, puesto que por definición así lo exige, por lo que el CVAR domina al VAR. El CVAR tiene la propiedad de ser una función siempre convexa respecto a las posiciones lo que permite la optimización en la posición de una cartera. El CVAR es continuo respecto al nivel de confianza. Es consistente con la aproximación de mínima varianza, ya que la cartera de mínima varianza es la que minimiza también el CVAR.

47 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 47 Sol Meliá Telefónica BSCH 486 observaciones

48 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 48 Carteras de dos acciones - Telefónica y BSCH Valor del portafolio Evolución del VaR y del CVaR en función a la proporción invertida en Telefónica (w 1 ) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día % Telefónica 38.78% BSCH CVaR -> 5.190% VaR CVaR Telefónica

49 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 49 El VaR para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH Evolución del VaR en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w 1 ), Telefónica (w 2 ) y BSCH (1- w 1 - w 2 ) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día. VaR Sol Meliá Telefónica Sol Meliá

50 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 50 El CVaR para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH Evolución del CVaR en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w 1 ), Telefónica (w 2 ) y BSCH (1- w 1 - w 2 ) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día % Sol Meliá 46.03% Telefónica 5.03% BSCH CVaR -> 4.530% CVaR Sol Meliá Telefónica Sol Meliá

51 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 51 Descomposición del VaR (1) Posición en un activo VaR 100% Portfolio VaR Incremental VaR Marginal VaR

52 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 52 Descomposición del VaR (2) Beta VaR Busca repartir el riesgo total entre cada una de las inversiones individuales, usando como coeficiente el índice beta entre el rendimiento del activo individual y el rendimiento de la cartera en su totalidad.

53 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 53 Ejercicios Cálculo del CVaR y descomposición del VaR con CVaR Expert

54 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 54 CVaR Histórico (1)

55 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 55 CVaR Histórico (2)

56 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 56 CVaR Histórico (3)

57 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 57 CVaR Histórico (4)

58 Siete lecciones importantes 5. Aplicación del Value-at-Risk

59 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 59 Primera lección G.I.G.O. (Garbage in… garbage out) Aspectos por considerar Cuidado con la forma de calcular rendimientos Un VaR a n días debería ser calculado utilizando rendimientos a n días. No es lo mismo calcular un retorno a 1 día y reexpresarlo utilizando el principio de las potencias. Cuidado con las eliminaciones de datos Al emplear el análisis histórico, debe cuidarse que todas las variables consideradas utilicen las mismas fechas de datos. Si se encuentran vacíos, es necesario reexpresar los retornos para que todos se encuentren en la misma base de tiempo

60 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 60 Segunda lección Usar el método más robusto En un mercado ilíquido y poco profundo, se presentan: Discontinuidades en los rendimientos Colas anchas (incertidumbre producida por casos extremos) Histogramas caprichosos Siempre que sea posible, conviene utilizar el método histórico para procesar la información. Considerar que también existen mecanismos de análisis de riesgo más robustos que el VaR CVaR BetaVaR IncrementalVaR…

61 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 61 Tercera lección Identificar claramente los factores de mercado ¿A qué factores de riesgo está expuesto el valor de la cartera? Tasas de interés ¿Es plana la curva de retornos? ¿Se desplaza paralelamente o puede girar? ¿Son constantes los spreads de riesgo por categoría? Tipos de cambio ¿En qué moneda se busca preservar el valor? Índices bursátiles ¿Es posible asociar el retorno de activos individuales a índices sectoriales, selectivos o generales?

62 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 62 Cuarta lección Reconocer que habrá información faltante… …e implementar soluciones consistentes ¿Qué hacer con los activos que no tienen precios de mercado? Renta fija: valoración teórica cuidadosa Renta variable: uso cuidadoso de índices y sensibilidades Alternativa integral: usar el vector de precios ¿Qué hacer con las tasas de interés? Es necesario construir curvas de retornos para los distintos tipos de inversiones (nacionales, soberanas, internacionales). Observar la necesidad de realizar interpolaciones y evitar los andenes.

63 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 63 Quinta lección Integrar el análisis de riesgo en la plataforma operativa El análisis VaR debe ser permanente Idealmente, la institución debería poder contar con la información actualizada diariamente. Esto implica un reto a nivel del flujo de datos precisos sobre posiciones y cotizaciones de instrumentos. El considerable volumen de datos involucrados introduce el riesgo de errores humanos. Debe buscarse incorporar la generación de reportes de riesgo de modo automatizado.

64 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 64 Sexta lección Calibrar el sistema a las necesidades de la empresa Utilizar el VaR ajustado a la media y el VaR relativo ¿Cuánto se desvía la pérdida máxima del nivel esperado? ¿Cuánto representa la pérdida como proporción de la cartera? Imponer límites a la exposición de riesgo Definir un sistema de alertas en función de las pérdidas relativas proyectadas. Poner a prueba su eficacia Utilizar procedimientos de back-testing para corroborar la capacidad predictiva del sistema y realizar los ajustes necesarios.

65 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 65 Sétima lección Distinguir el propósito de reporte normativo y el propósito de gestión de riesgo Los reportes solicitados por la Superintendencia de Banca pueden ser útiles con fines regulatorios, pero no necesariamente ofrecen la mejor evidencia para dirigir la empresa. Puntos por considerar: Definir claramente el ámbito de la cartera sujeta a riesgo. Acercarse a los usuarios finales de los reportes de riesgo. Explorar la demanda de información. Capacitar a los potenciales usuarios. Permitir decisiones informadas. Un mismo reporte no es para todos. Explicitar las funciones objetivo de cada área y cada funcionario. Incorporar en la cadena a personal especializado. No perder de vista: ¿Qué hay más allá del VaR?

66 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 66 Método analítico V:= vector de flujos W:=vector de proporciones

67 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 67 VaR Incremental El VaR incremental tiene por objeto calcular cuál es el VaR que aporta cada FM al VaR total de la cartera. Mide cual es la contribución al riesgo de un activo al portafolio de la cartera

68 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 68 VaR Incremental

69 Análisis Empírico: Medidas Clásicas vs. Medidas Modernas

70 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 70 Características de los Bonos Tabla 20.1 Características de los Bonos

71 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 71 Estadísticos y gráficos de la evolución de los rendimientos: SERIE SERIE Fuente: Reserva federal

72 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 72 Medidas Clásicas de Gestión Tabla 20.4 Medidas Clásicas de los bonos

73 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 73 Tabla 20.5 Medidas clásicas de las carteras CAMBIOS PARALELOS La cartera con mayor convexidad es la Cartera 6 (con ). Le sigue la Cartera 3 (con de convexidad). CAMBIOS NO PARALELOS La Cartera 19 y la Cartera 20 serían las mejores ya que la Cartera 19 minimiza el M-2 y la Cartera 20 minimiza el Ñ.

74 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 74 Principales Carteras Principales Carteras Asumiendo Normalidad

75 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 75 VaR y CVaR de las Principales Carteras VaR y CVaR de las Principales Carteras Distribuciones Reales

76 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 76 CARTERA 1 W1 = 40.35% W9 = 59.65% CVaR = 5.824% Dm = Cnx = M2= 5.28 CARTERA 2 W1 = % W10 = % CVaR = 5.393% Dm = Cnx = M2= CARTERA 3 W1 = % W11 = % CVaR = 5.443% Dm = Cnx = M2= CARTERA 4 W2 = % W9 = % CVaR = 6.250% Dm = Cnx = M2= CARTERA 5 W2 = 43.04% W10 = 56.96% CVaR = 5.819% Dm = Cnx = M2= CARTERA 6 W1 = 41.42% W9 = 58.58% CVaR = 5.869% Dm = Cnx = M2= OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR (INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN)

77 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 77 CARTERA 1 W1 = 33.99% W9 = 66.01% CVaR = % Dm = Cvx = M2= CARTERA 2 W1 = 32.52% W10 = 67.48% CVaR = % Dm = Cvx = M2= CARTERA 3 W1 = 32.17% W11 = 67.83% CVaR = 9.934% Dm = Cvx = M2= CARTERA 4 W2 = 33.92% W9 = 57.08% CVaR = % Dm = Cvx = M2= CARTERA 5 W2 =32.51% W10 = 68.49% CVaR = % Dm = Cvx = M2= CARTERA 6 W1 = 40.52% W9 = 59.48% CVaR = % Dm = Cvx = M2= OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR (INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN)


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