Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Presentación del tema: "Apuntes de Matemáticas 3º ESO"— Transcripción de la presentación:

1 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
U.D * 3º ESO E.AP. GEOMETRÍA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
U.D * 3º ESO E.AP. FÓRMULA DE HERÓN @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

3 Perímetro y área de triángulo
Perímetro de un triángulo es la suma de la medida de sus lados. P=a+b+c ALTURA Altura de un triángulo es el segmento que va de un vértice cualquiera al lado opuesto de forma perpendicular a dicho lado. ÁREA Área de un triángulo es la medida de la superficie plana que encierran sus lados. A = base x altura / 2 Al presentar como base cualquiera de sus lados presenta tres alturas y por ello tres expresiones: A = a.h / 2 A = b.h’ / 2 A = c.h” / 2 El área es única, por lo que ambas expresiones deben dar idéntico resultado. b c h a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

4 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Ejemplo 1 Hallar el perímetro y el área de un triángulo de lados a=7 cm, b= 5 cm y c= 4 cm, sabiendo que la altura del lado a vale 3 cm. ¿Qué tipo de triángulo es? P = a+b+c = = 16 cm A = a.ha / 2 = 7.3 / 2 = 10,50 cm2 Por los datos que nos dan, tres lados diferentes, es ESCALENO Como a2 <> b2 + c2  49 <>25+16 , NO es rectángulo. Ejemplo 2 Hallar el perímetro y el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos valen b=8 cm y c=6 cm. Hallar las altura relativa a la hipotenusa. La hipotenusa, lado a, valdrá: a2 = b2 + c2  a2 =  a2 = 100  a = 10 cm P = a+b+c = = 24 cm Al ser un triángulo rectángulo un cateto es la altura correspondiente al otro. A = b.hb / 2 = b.c / 2 = 8.6 / 2 = 48 / 2 = 24 cm2 Tenemos: 24 = a.ha / 2  48 = 10.ha  ha = 48 / 10 = 4,8 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

5 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
FÓRMULA DE HERÓN La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c). @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

6 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
FÓRMULA DE HERÓN Ejemplo Sea un triángulo de lados conocidos, siendo estos a=4 cm, b=5 cm y c=3 cm. Calcularemos su área por la fórmula de Herón. Primero calcularemos el semiperímetro (s). Ahora aplicamos la fórmula de Herón: Y se obtiene que el área del triángulo es de 6 cm2. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

7 Triángulo inscrito en una circunferencia
A partir de la fórmula de Herón tenemos otro procedimiento para hallar el área de un triángulo cualquiera. Sea un triángulo inscrito en una circunferencia de radio R. Entonces: @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

8 Triángulo inscrito en una circunferencia
Ejemplo Tenemos un triángulo de lados a, b, y c, inscrito en una circunferencia de radio R. Hallar su área. Datos: a= 3 cm, b= 5 cm, c= 4 cm; R= 2,5 Área: A = a.b.c / 4.R A = / 4.2,5 = 6 cm2 Nota: Al ser un triángulo rectángulo, podemos hallar su área de otra manera. Verificando la fórmula de Herón: A = cateto.cateto / 2 = a.c / 2 = 3.4/2 = 12/2 = 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

9 Triángulo inscrito en una circunferencia
Otro ejemplo Tenemos un triángulo de lados a, b, y c, inscrito en una circunferencia de radio R. Hallar uno de sus lados conocida el área. Datos: a= 5 cm, c= 7,5 cm; R= 4 cm; A= 18 cm2 Área: A = a.b.c / 4.R 18 = 5.b.7,5 / 4.4 Despejando b: 18.16 / 5.7,5 = b b = 288 / 37,5 = 7,68 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

10 Triángulo circunscrito en una circunferencia
También, a partir de la fórmula de Herón disponemos de un procedimiento más para calcular el área de un triángulo, pero ahora a partir de la circunferencia de radio r inscrita en el triángulo. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

11 Triángulo circunscrito en una circunferencia
Ejemplo Tenemos un triángulo de lados a, b, y c, inscrito en una circunferencia de radio r. Hallar su área. Datos: a= 4 cm, b= 5 cm, c= 3 cm; r= 1 cm Área: A = s.r Semiperímetro: s = (a+b+c )/2 =(4+5+3)/2 = 12/2 = 6 cm A = 6.1 = 6 cm2 Nota: Al ser un triángulo rectángulo, podemos hallar su área de otra manera. Verificando la fórmula de Herón: A = cateto.cateto / 2 = a.c / 2 = 3.4/2 = 12/2 = 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

12 Triángulo circunscrito en una circunferencia
Otro ejemplo Tenemos un triángulo de lados a, b, y c, inscrito en una circunferencia de radio r. Hallar el radio de la circunferencia inscrita conocida el área del triángulo. Datos: a= 3,37, b= 4 cm, c= 2,53 cm; A= 4,40 cm2 Área: A = s.r Semiperímetro: s = (a+b+c )/2 =(3,37+4+2,53)/2 = 9,9/2 s = 4,95 cm 4,40 = 4,95.r Despejando r: 4,40 / 4,95 = r  r = 0,89 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO