Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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VECTORES EN EL ESPACIO U.D. 9 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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BASES DE UN SISTEMA U.D * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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BASES Y COORDENADAS Los vectores v1 , v2 , v3 son un sistema de generadores de R3 si cualquier vector v R3 se puede expresar como combinación lineal de ellos: EJEMPLO: Los vectores de R3 : (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1). Cualquier vector (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1). EJEMPLO: Los vectores de R3 : (2,3,5), (1,4,0) y (0,0,2) son un sistema de generadores de R3 . En la expresión: (m,n,p)=a(2,3,5)+b(1,4,0)+c(0,0,2), siempre es posible calcular a, b y c cualesquiera que sean m, n y p. Los vectores B=(v1 , v2 , v3) son una base de R3  cumplen las dos condiciones siguientes: a) Son linealmente independientes. b) Son un sistema de generadores. Si B=(v1 , v2 , v3) son base de R3 , los escalares de la expresión: v = α.v1 + β.v2 + λ.v3 + … + μ.vn se llaman coordenadas del vector respecto a la base . @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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TEOREMAS DE LAS BASES Teorema. Los escalares son únicos. Teorema. En R3 una base está formada por tres vectores que sean linealmente independientes. EJEMPLO: Los vectores (2,3,5), (1,4,0) y (0,0,2) son una base de R3. Cualquier vector (m,n,p)=a(2,3,5)+b(1,4,0)+c(0,0,2). Los escalares a, b, c son las coordenadas del vector (m,n,p) respecto a la base {(2,3,5), (1,4,0), (0,0,2)}. EJEMPLO: Los vectores (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) son una base de R3 llamada base canónica. Cualquier vector (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1). Los escalares a, b y c son las coordenadas del vector (a,b,c) respecto a la base canónica. Respecto a la base canónica las coordenadas de un vector y sus componentes son iguales. De ahí que se hable indistintamente de coordenadas o componentes. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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EJEMPLO DE BASE Sea V un espacio vectorial y sea B un subconjunto de vectores de V. Diremos que B es una base de V si cumple dos condiciones: B es linealmente independiente. B es un sistema generador de V. EJEMPLO V1= (1, 1, 0), V2 = (0, 1, 1), V3 = (1, 0, 1) Miramos si son linealmente independientes: λ1.V1 + λ2.V2 + λ3.V3 = 0 λ1.(1,1,0) + λ2.(0,1,1) + λ3.(1,0,1) = 0 (λ1, λ1 ,0) + (0,λ2, λ2) + (λ3 ,0,λ3) = 0 λ1 + λ3 = 0, λ1 + λ2 = 0 , λ2 + λ3 = 0 Al resolver el sistema sólo resulta la solución trivial: λ1 = λ2 = λ3 = 0, por lo que el subconjunto B es linealmente independiente. …  @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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…  EJEMPLO B= { V1= (1, 1, 0), V2 = (0, 1, 1), V3 = (1, 0, 1) } Miramos si es un sistema generador. Sea (x, y, z) un vector cualquiera perteneciente al espacio vectorial V. Se debe cumplir: (x, y, z) = λ1.V1 + λ2.V2 + λ3.V3 (x, y, z) = λ1.(1,1,0) + λ2.(0,1,1) + λ3.(1,0,1) (x, y, z) = (λ1, λ1 ,0) + (0,λ2, λ2) + (λ3 ,0,λ3) λ1 + λ3 = x, λ1 + λ2 = y , λ2 + λ3 = z Como λ1 = x – λ2 resulta: x – λ2 + λ3 = y λ2 + λ3 = z Sumando ambas ecuaciones: λ3 = (y + z – x) / 2 Restando ambas ecuaciones: λ2 = (x – y + z) / 2 Y finalmente obtengo: λ1 = x – λ2 = (x + y – z) / 2 Luego siempre existen unos escalares λ1, λ2, λ3 que me generan cualquier vector de V. B es pues un sistema generador. Al cumplirse las dos condiciones, B es una base de V. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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RANGO DE UN SISTEMA DEFINICIÓN DE RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES. Es el máximo número de vectores linealmente independientes. EJEMPLO 1 Comprueba que B={(1,2,0), (2,0,1), (0,1,2)} es una base del espacio vectorial R3 y calcula las coordenadas del vector (3,1,4) respecto a dicha base. Solución Para que un conjunto de vectores puedan forman base, deben ser linealmente independientes. Para que un conjunto de n vectores sean linealmente independientes el rango de la matriz formada con ellos debe ser n Rang = 3  = –1– 8 = – 9 <> 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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…  EJEMPLO 1 Se debe cumplir: (3, 1, 4) = λ1.V1 + λ2.V2 + λ3.V3 (3, 1, 4) = λ1.(1,2,0) + λ2.(2,0,1) + λ3.(0,1,2) (3, 1, 4) = (λ1, 2.λ1 ,0) + (2.λ2, 0, λ2) + (0, λ3 , 2.λ3) λ1 + 2.λ2 = 3 2.λ1 + λ3 = 1 λ2 + 2.λ3 = 4 Resuelvo el sistema: A/B = Por Cramer, al ser un sistema compatible y determinado, y |A| = – 9 λ1 = (8 – 3 – 4) / (– 9) = –1/9 λ2 = (2 – 12 – 4) / (– 9) = 14/9 λ3 = (6 – 16 – 1) / (– 9) = 11/9 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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EJEMPLO 2 Indicar para qué valores de t los vectores u = (1, 1, 1), v = (2, 2, t) y w = (t, 0,0) no forman una base de R3. Solución Para que un conjunto de vectores puedan forman base, deben ser linealmente independientes. Para que un conjunto de n vectores sean linealmente independientes el rango de la matriz formada con ellos debe ser n Rang t = 3  t <> 0 t t Desarrollando el determinante queda: t2 – 2t <> 0 Resolviendo: t.(t – 2 ) = 0 Para t = 0 ó t = 2 no forman una base, por ser L.D. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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EJEMPLO 3 Indicar para qué valores de t los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, t) y w = (0, t, 0) forman una base de R3. Solución Para que un conjunto de vectores puedan forman base, deben ser linealmente independientes. Para que un conjunto de n vectores sean linealmente independientes el rango de la matriz formada con ellos debe ser n Rang t = 3  t <> 0 t t Desarrollando el determinante queda: – t2 <> 0 Resolviendo: t = 0 Para t = 0 no forman una base, por ser L.D. Para t <> 0 los vectores dados forman una base de R3. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.