@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.1 MATRICES U.D. 1 * 2º BCT.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.1 MATRICES U.D. 1 * 2º BCT

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.2 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN U.D. 1.1 * 2º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.3 El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente escalonado. Para hacer un sistema equivalente a otro se pueden hacer una o varias de las siguientes operaciones: –S–Se multiplica o divide una ecuación por un número. –S–Se cambia el orden de las ecuaciones. –S–Se cambia el orden de las incógnitas en todas las ecuaciones del sistema. –S–Se añade o se suprime una ecuación que sea combinación lineal de otras. –S–Se suma o resta a una ecuación otra multiplicada por un número. Si para ello se emplean sólo coeficientes y términos independientes, estructurados en forma de matrices, el proceso es más fácil como veremos en los siguientes apartados. Método de Gauss

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.4 Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a”/a Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’/a Queda:a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g + e’.y + f’z = g’ Siendo e, f, g, e’.f’ y g’ números reales. Método de Gauss

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.5 Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e Y obtengo finalmente: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j La solución del sistema será: z = j / h y = ( g – f.z ) / e x = ( d – c.z – b.y ) / a, en ese orden. Este método sirve cualquiera que sea el número de incógnitas. Método de Gauss

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.6 El método de Gauss se simplifica mucho si hacemos que el primer coeficiente de la primera ecuación valga la unidad ( a = 1). Sea:a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Divido toda la primera fila (ecuación) entre a. Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a” Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’ Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e CLAVE del Método de Gauss

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.7 Al aplicar el método de Gauss obtengo: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j Si h<>0 y hay tantas ecuaciones como incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE Y DETERMINADO (Una solución). Si h<>0 y hay menos ecuaciones válidas que incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE E INDETERMINADO (Infinitas soluciones). Si h = 0 y j <> 0 : SISTEMA INCOMPATIBLE (No hay ninguna solución). ANÁLISIS DE RESULTADOS

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.8 EJEMPLO 1 Sea: x - y + z = 1 - x + 2 y + z = 2 3.x – 2.y - z = 0 F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + F1 Queda: x - y + z = 1 y + 2.z = 3 y - 4.z = -3 F3 = F3 – F2 Y obtengo finalmente: x - y + z = 1 y + 2.z = 3 -6.z = -6 La solución del sistema será: z = -6 / -6 = 1 y = ( 3 – 2.1 ) / 1 = 1 x = ( 1 – 1.1 – (-1).1 ) / 1 = 1, en ese orden.

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.9 EJEMPLO 2 Sea: x - y + 2.z = 4 - 2.x + 2 y + z = 2 3.x + 5.y - z = 2 F3 = F3 - 3.F1 y F2 = F2 + 2.F1 Sea: x - y + 2.z = 4 5. z = 10 8.y - 7.z = - 10 Permuto la 2º y 3º fila Y obtengo finalmente: x - y + 2.z = 4 8.y - 7.z = - 10 5. z = 10 La solución: z = 10 / 5 = 2 y = ( - 10 + 7.2 ) / 8 = 1 / 2 x = ( 4 – 2.2 + (1 / 2 ) ) / 1 = 1 / 2, en ese orden.

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.10 EJEMPLO 3 Sea:3x - 6y + 2.z = 4 - 2.x + 2 y + z = 2 5.x + 5.y - z = 2 F1 = F1 : 3,, F2 = F2 : (-2),, F3 = F3 : 5 Queda: x - 2y + 2/3.z = 4/3 x - y - ½ z = - 1 x + y - 1/5 z = 2 /5 Muy importante: No olvidar dividir a TODOS los elementos de la fila F2 = F2 – F1,, F3 = F3 – F1 Y obtengo: x - 2y + 2/3.z = 4/3 y - 7/6. z = - 7/3 3y - 13/15 z = - 14 /15 F3 = F3 – 3xF2 x - 2y + 2/3.z = 4/3 y - 7/6. z = - 7/3 79/30 z = 91 /15

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.11 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Es similar al método de Gauss, y mucho más efectivo. Se emplean las mismas reglas de sistemas equivalentes que en el Método de Gauss. OBJETIVO: Conseguir que los coeficientes de la diagonal principal de un sistema sean unos y el resto de los coeficientes valgan cero. Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Opero mediante el Método de Gauss, obteniendo: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.12 Aplico el método de Jordan: Resto a la 2º fila la 3º fila multiplicada por f / h Resto a la 1º fila la 3º fila multiplicada por c / h Queda: a.x + b.y = k + e.y = p h.z = j Resto a la 1º fila la 2º fila multiplicada por b / e Queda: a.x = q  x = q / a e.y = p  y = p / e h.z = j  z = j / h MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.13 Un sistema de ecuaciones lineales queda determinado por sus coeficientes y sus términos independientes. Si situamos dichos números (coeficientes y términos independientes) en una tabla, en el mismo orden en que están situados en el sistema, obtendremos un conjunto ordenado llamado matriz, compuesto por tantas filas como ecuaciones y tantas columnas como incógnitas. Si es conveniente separaremos la matriz en dos matrices: Así tendremos la matriz del sistema o de los coeficientes. Y si a ésta la añadimos la columna de los términos independientes tendremos la matriz ampliada. Matrices y Sistemas

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.14 Ejemplo: 8.x + 4.y = 0 2.x + z = 5 x + y – 3.z = 1 La matriz del sistema será: La matriz ampliada será: Matrices y Sistemas