Unidad 5. Capítulo III. Valores y vectores característicos.

Presentación del tema: "Unidad 5. Capítulo III. Valores y vectores característicos."— Transcripción de la presentación:

1 Unidad 5. Capítulo III. Valores y vectores característicos.

2 Considere el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas lineales:
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. La notación matricial resulta muy conveniente al resolver sistemas de ecuaciones algebraicas o diferenciales. Los conceptos importantes del álgebra de matrices se pueden extender directamente de sistemas de ecuaciones algebraicas a sistemas de ecuaciones de ecuaciones diferenciales, como se muestra a continuación: Considere el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas lineales:

3 Este sistema puede expresarse en notación matricial como:
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. Este sistema puede expresarse en notación matricial como: o donde: A es la matriz de coeficientes de las incógnitas; x es el vector de incógnitas y b es el vector de términos independientes.

4 El determinante de la matriz de este sistema es:
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. Note que b contiene los términos no homogéneos, en el caso de que b = 0, se dice que el sistema de ecuaciones es homogéneo. Si b ≠ 0, se dice que es no homogéneo. El determinante de la matriz de este sistema es: La matriz A es no singular (det A ≠ 0), por lo que este sistema de ecuaciones tiene solución única. A continuación se desarrolla un método sistemático para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas.

5 Operaciones con renglones.

6 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
En un sistema de ecuaciones algebraicas, dos ecuaciones cualesquiera pueden intercambiarse, una ecuación puede multiplicarse por una constante no nula, y dos ecuaciones cualesquiera pueden sumarse para dar otra ecuación que sustituya a alguna de ellas. Estas manipulaciones, llamadas operaciones con renglones producen un sistema aparentemente diferente, sin embargo, es equivalente al sistema original. Es decir, tanto el sistema modificado como el original tienen la misma solución. Estas operaciones se pueden emplear para resolver simultáneamente un sistema de ecuaciones algebraicas.

7 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Las operaciones con renglones afectan tanto a los coeficientes como a los términos independientes. Primero se construye la matriz aumentada, agregando el vector b de términos independientes a la matriz de coeficientes A, como una columna adicional separada por una línea vertical, en la forma siguiente: Ahora, aplique las siguientes operaciones con renglones en la matriz aumentada para obtener la solución.

8 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
1. Sume el 1er renglón al 2° y sume (3) veces el 1er renglón al 3°, para hacer cero los coeficientes de la 1ª columna por debajo de la diagonal principal. Esto equivale a reemplazar la 2ª ecuación por la que se obtiene al sumar la 1ª ecuación a la 2ª, y reemplazar la 3ª ecuación por la que se obtiene sumando (3) veces la 1ª ecuación a la 3ª. El proceso elimina x1 de la 2ª y 3ª ecuaciones. 2. Divida el segundo renglón entre 2 para obtener 1 en la posición diagonal:

9 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Esto equivale a reemplazar la 2ª ecuación por la que se obtiene al dividirla entre 2. Como regla, se requiere tener 1 en todas las posiciones diagonales. 3. Sume 2 veces el 2° renglón al 1° y sume (7) veces el 2° renglón al 3°, para igualar a cero las posiciones de la 2ª columna fuera de la diagonal principal. Esto da:

10 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Esto equivale a reemplazar la 1ª ecuación por la que se obtiene al sumar 2 veces la 2ª ecuación a la 1ª, y reemplazar la 3ª ecuación por la que se obtiene al sumar (7) veces la 2ª a la 3ª. Este proceso elimina x2 de la 1ª y 3ª ecuaciones. 4. Divida el último renglón entre (29/2) para obtener un 1 en la posición diagonal: Esto equivale a reemplazar la 3ª ecuación por la que se obtiene al dividirla entre (29/2) .

11 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
5. Sume (3/2) veces el 3er renglón al 2° y sume (4) veces el 3er renglón al 1°, para igualar a cero las posiciones de la 3ª columna fuera de la diagonal, lo que resulta: Entonces, los valores de las incógnitas que satisfacen este sistema de ecuaciones algebraicas son:

12 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
La reducción por renglones es un método sistemático para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales y es apropiado para aplicaciones de computadora. Las operaciones elementales son manipulaciones legítimas de las ecuaciones del sistema y su objetivo final es el de reducir la matriz de coeficientes a la identidad. Si el j° coeficiente del j° renglón no es 1 (ajj ≠ 1), se debe dividir ese renglón entre ajj. Si ajj = 0, entonces se debe intercambiar el j° renglón por otro cuyo j° elemento no sea cero.

13 Sistemas homogéneos.

14 o, en notación matricial:
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. Un sistema homogéneo de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas puede expresarse en la forma: o, en notación matricial: donde A es la matriz de coeficientes, x el vector de incógnitas y 0 el vector de términos independientes (todos cero).

15 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Un sistema no homogéneo de n ecuaciones algebraicas con n incógnitas tiene una solución única sólo cuando el determinante del sistema: det A ≠ 0. Éste también es el caso para sistemas homogéneos, salvo que aquí la solución es la trivial x = 0, que generalmente no resulta interesante. Por tanto, un sistema homogéneo tiene solución significativa sólo cuando su matriz de coeficientes es singular, det A = 0 y en este caso el sistema tiene un número infinito de soluciones (incluyendo la solución trivial) o no tiene solución.

16 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema homogéneo: Solución: Este sistema homogéneo se puede expresar en notación matricial como Ax = 0, donde: El determinante del sistema es:

17 por lo que tiene un número infinito de soluciones.
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. por lo que tiene un número infinito de soluciones. La matriz aumentada del sistema es: y su reducción, mediante operaciones con renglones:

18 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
es equivalente a: un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que tiene un número infinito de soluciones, dado que a una de las incógnitas se le puede asignar cualquier valor real. Si se toma x3 = a, (con a arbitraria), la solución del sistema puede expresarse como:

19 Independencia lineal de vectores.

20 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
El concepto de independencia lineal de vectores es análogo al de independencia lineal de funciones. Se dice que dos vectores son linealmente independientes si uno no es múltiplo constante del otro; lo que significa, geométricamente, que los dos vectores no son paralelos. Generalizando, se dice que n vectores son linealmente independientes si la combinación lineal nula: implica que las n constantes C1, C2, …, Cn son todas nulas. De no ser así, son linealmente dependientes.

21 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
La solución de un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden con n funciones incógnitas incluye n vectores (con n elementos) linealmente independientes. Por tanto, se requiere establecer un procedimiento para determinar la independencia lineal de n vectores (cada uno con n elementos). Considere el siguiente sistema: de tres ecuaciones homogéneas con tres incógnitas C1, C2 y C3 cuya forma matricial es Ax = 0, donde:

22 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
que tendrá la solución trivial C1 = C2 = C3 = 0 sí y sólo sí el determinante de la matriz de coeficientes no es cero: Por tanto, n vectores son linealmente independientes sí, y sólo sí el determinante de la matriz cuyas columnas consisten en estos vectores, es diferente de cero.

23 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Ejemplo: Determine si los siguientes tres vectores son linealmente independientes: Solución: Primero se forma su combinación lineal usando las constantes C1, C2 y C3 y se iguala con a cero: Ecuación matricial que es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones algebraicas lineales homogéneas:

24 el determinante de su matriz de coeficientes es:
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. o el determinante de su matriz de coeficientes es: Así, la única solución de este sistema es la trivial por lo que los vectores dados son linealmente independientes.

25 se satisfaga para toda t en ese intervalo.
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. La independencia lineal entre vectores se puede estimar mediante la evaluación directa del determinante de la matriz cuyas columnas son los vectores dados. Los vectores son linealmente independientes cuando el determinante no es cero y, por el contrario, si det A = 0 son linealmente dependientes. En funciones vectoriales, n vectores vj(t) son linealmente dependientes en t1 < t < t2 si existen n constantes Cj, no todas cero, de modo que la ecuación: se satisfaga para toda t en ese intervalo.

26 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
El wronskiano W(t) determina la independencia lineal de los n vectores solución de un sistema de ecuaciones diferenciales de 1er orden con coeficientes constantes. El W(t) de n funciones vectoriales se define como el determinante cuyas columnas son estos vectores; es decir, los vectores son linealmente dependientes en un intervalo dado si W(t) = 0 para toda t en ese intervalo.

27 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Ejemplo: Determine si las tres funciones vectoriales siguientes son linealmente independientes en 0 < t < . Solución: Se evalúa W(t) como el determinante de la matriz cuyas columnas son los vectores dados: que nunca es cero en 0 < t < , por lo que v1, v2 y v3 son linealmente independientes en el intervalo.

28 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
La evaluación del wronskiano de funciones vectoriales W(t) puede simplificarse eventualmente tomando las funciones comunes de sus renglones o columnas como factor del determinante. Al hacerlo, se debe recordar que la multiplicación de un determinante por un factor equivale a multiplicar cualquiera de sus renglones o columnas por tal factor. Esto contrasta con las matrices, ya que multiplicar una matriz por un factor es equivalente a multiplicar todos sus elementos por ese factor.

29 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
La solución sistemática de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de la forma: Implica determinar los valores y vectores característicos de la matriz A; por lo que el resto de esta sección se dedica al cálculo de estos valores y vectores asociados con una matriz cuadrada A de coeficientes reales. La anterior ecuación matricial tiene una solución de la forma x = Celt, donde C es un vector de constantes, así:

30 Al dividir entre elt y reordenar se obtiene:
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. y así: Al dividir entre elt y reordenar se obtiene: Como el sistema es homogéneo, una solución apropiada de la ecuación es posible sólo si:

31 Valores y vectores característicos.

32 Considere la matriz A de n  n con coeficientes reales:
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. Considere la matriz A de n  n con coeficientes reales: Los valores reales o complejos de l que satisfacen: se llaman valores característicos de A y el vector no nulo K que satisface la ecuación: se llama vector característico de la matriz A asociado a l.

33 La matriz A  l I se expresa:
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. La matriz A  l I se expresa: y se obtiene restando l de los elementos de la diagonal principal de la matriz A. Así:

34 Expandiendo este determinante se obtiene:
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. Expandiendo este determinante se obtiene: una ecuación polinomial de grado n en l, denominado polinomio característico de la matriz A. Del álgebra se sabe que esta función tiene n raíces, pueden ser reales diferentes, reales repetidas o complejas. Así, una matriz de n  n tiene n valores característicos, que no son necesariamente reales y distintos. Un valor que se repite k veces tiene multiplicidad k. Un valor que no se repite es simple. Un valor complejo debe aparecer en pares conjugados.

35 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Si K es un vector característico, cualquier múltiplo constante, a K, también lo es. Esto se debe a que: Un vector característico se determina con un múltiplo constante arbitrario, cuyo valor no tiene relevancia y se puede seleccionar cualquiera excepto cero. Es conveniente especificar un vector característico igualando uno de sus elementos a cero o a uno, de tal forma que éste represente un vector geométrico cuya dirección es importante, pero no su longitud.

36 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Existe solamente un vector característico linealmente independiente que corresponde a un valor característico simple de una matriz A. Un valor característico de multiplicidad k puede tener m vectores característicos correspondientes, 1 ≤ m ≤ k. El caso m < k provoca cierta dificultad en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales. Además, debe tenerse en cuenta que algunos valores y sus correspondientes vectores característicos pueden ser complejos aun cuando cada elemento de la matriz A sea real.

37 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Se puede probar que los vectores que corresponden a diferentes valores característicos de una matriz A de n  n son linealmente independientes. Para valores de multiplicidad k > 1 el número de vectores característicos linealmente independientes de la matriz A de n  n puede ser menor que n. La única excepción de esta regla ocurre cuando la matriz es simétrica real, es decir, que todos sus elementos son reales y cuya transpuesta es igual a la misma matriz.

38 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Si A es una matriz simétrica real de n  n, entonces tiene n vectores característicos linealmente independientes, aun cuando se repitan algunos de sus valores característicos. En este caso todos los valores característicos son reales y hay k vectores característicos linealmente independientes asociados a un valor característico de multiplicidad k. En los siguientes ejemplos se ilustra la evaluación de los valores característicos y sus vectores característicos asociados, para diferentes casos.

39 Valores característicos reales y distintos.
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. Valores característicos reales y distintos. Ejemplo: Encuentre los valores vectores característicos de la matriz: Solución: Los valores característicos de esta matriz son las raíces de su ecuación característica det (A  lI) = 0. por lo que los valores característicos de la matriz dada son l1 = 7 y l2 = 1, reales y distintos.

40 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Por tanto, se espera obtener dos vectores característicos linealmente independientes de A, que se determinan a partir de: Para l1 = 7: que es una sola ecuación. Al suponer k11 = 1 se obtiene el vector característico:

41 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Para l2 = 1: que es una sola ecuación. Al suponer k12 = 1 se obtiene el vector característico: Observe que los vectores característicos son linealmente independientes; es decir, como se esperaba:

42 Valores característicos reales e iguales.
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. Valores característicos reales e iguales. Ejemplo: Encuentre los valores vectores característicos de la matriz: Solución: Los valores característicos de esta matriz son las raíces de su ecuación característica det (A  lI) = 0. por lo que los valores característicos de la matriz dada son reales e iguales l1 = l2 = 3.

43 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Los vectores característicos de la matriz A se determinan en este caso por la ecuación: Para l = 3: que es una sola ecuación. Al suponer k1 = 1 se obtiene el vector característico:

44 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Este vector característico de A es el único que satisface la independencia lineal, típico de las matrices de 2  2 que tienen valores característicos dobles. Se concluye entonces que solamente existe un vector característico linealmente independiente correspondiente a un valor característico de multiplicidad 2 asociado con una matriz de 2  2. Para matrices de 3  3 o mayores, puede haber dos vectores linealmente independientes correspondientes a un valor característico de multiplicidad 2, como se muestra en el siguiente ejemplo.

45 Matrices simétricas reales.
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. Matrices simétricas reales. Ejemplo: Encuentre los valores vectores característicos de la matriz: Solución: Los valores característicos de esta matriz son las raíces de su ecuación característica det (A  lI) = 0.

46 Como A es una matriz real y simétrica, la ecuación:
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. por tanto, los valores característicos de esta matriz son uno doble y otro simple l1 = 6 y l2 = l3 = 3. Como A es una matriz real y simétrica, la ecuación: proporciona sus tres vectores característicos linealmente independientes.

47 la matriz aumentada, reducida por renglones es:
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. para l1 = 6: la matriz aumentada, reducida por renglones es: Es equivalente al sistema de ecuaciones:

48 sistema equivalente a la ecuación individual:
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. Así, se tienen dos ecuaciones con tres incógnitas y, para resolverlas, basta con elegir cualquier valor para una de ellas. Haciendo k31 = 1 se tiene: para l2 = l3 = 3: sistema equivalente a la ecuación individual:

49 ¡un vector linealmente independiente!
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. Ahora se tiene una ecuación con tres incógnitas, por lo que se puede asignar valores arbitrarios a cualquiera par de ellas y despejar la 3ª. Con k12 = c1 y k22 = 0 se obtiene entonces x3 =  c1, por lo que: Por otra parte, con k13 = 0 y k23 = c2 se obtiene k33 = c2 y así: ¡un vector linealmente independiente!

50 Valores característicos complejos.
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. Valores característicos complejos. Ejemplo: Encuentre los valores vectores característicos de la matriz: Solución: Los valores característicos de esta matriz son las raíces de su ecuación característica det (A  lI) = 0. así, los valores característicos son complejos conjugados:

51 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
Los vectores característicos de A, asociados a l1,2 se determinan a partir de: Para l1: que son idénticas y con k1 = 1, se obtiene el siguiente vector característico:

52 U-5. Cap. III. Valores y vectores característicos.
o bien: Para el segundo valor característico, repitiendo los cálculos anteriores, se obtiene el vector característico complejo conjugado:

53 Caso especial: Matriz con un factor común.
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. Caso especial: Matriz con un factor común. Cuando los elementos de la matriz A están multiplicados por una variable escalar, ésta puede extraerse como factor común, dejando sólo valores numéricos como elementos de la matriz, por ejemplo: Aquí, los valores característicos de A son a veces los de A1 y los vectores característicos de A son los de A1, como se puede ver:

54 y como K no cambia por división, el vector característico no cambia.
U-5. Cap. III Valores y vectores característicos. de donde: y como K no cambia por división, el vector característico no cambia. La importancia de este resultado es que, si se requiere determinar los valores y vectores característicos por un método numérico, se puede aplicar el método numérico a la matriz A sin necesidad de conocer el valor de a.