Matemática IA.

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1 Matemática IA

2 SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULOS – ARCOS DE CIRCUNFERENCIA
EJERCITACION 1- Expresar el ángulo  = 0,31 rad, en grados, minutos y segundos centesimales G = 0,31 rad 400 G  rad G = G x 0,31 rad 2 Dato:  = 0,31 rad Incógnita:  en en grados, minutos y segundos centesimales G = 19,735213G = 19G 73M 52,13S

3 2- Expresar el ángulo  = 47°30’17” en radianes
Dato:  = 47°30’17” R = 0, rad Incógnita:  en radianes Atención!!!!! El sistema circular o radián no tiene submúltiplos ( no hay minutos ni segundos) 3- Expresar el ángulo  = 87G50M en radianes Dato:  = 87G50M  rad = 1, rad Incógnita:  en radianes 4- Expresar el ángulo  = 3,7 rad en grados minutos y segundos sexagesimales. Dato:  = 3,7 rad ° = 211°59´40” Incógnita:  en ° ´ ´´

4 SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULOS – ARCOS DE CIRCUNFERENCIA
EJERCITACION Cuanto mide el ángulo central de una construcción octogonal regular, expresado grados centesimales. Jerusalén. La Gruta del Pater Noster 360° = 45° Angulo central 8 G = 50G

5 SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULOS – ARCOS DE CIRCUNFERENCIA
EJERCITACION 6- ¿Que longitud tiene un arco de radio 2,3 m sabiendo que el mismo subtiende un ángulo de 1,8 rad? 2¶RADIO ¶ rad Long.arco? ,8rad Es una regla de tres simple: Long.arco = 1,8rad.2.¶.2,3m/2.¶.rad = 4,14m Arco =4,14 m

6 6) De una rampa se sabe que la pendiente es del 8% ¿Qué significa?
A-Mide 8 m B-Tiene un ángulo de 8° C-Cada 100cm sube 8 cm D-Se inclina 8 unidades de dibujo

7 Teorema del seno TRIANGULOS NO RECTANGULOS
PITÁGORAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Teorema del seno Permite calcular, lados y ángulos del triángulo SE USA CUANDO: NO PUEDE UTILIZARSE EL TEOREMA DEL COSENO SE USA CUANDO SE CONOCEN : A- DOS LADOS Y UN ANGULO NO COMPRENDIDO SE USA CUANDO SE CONOCEN: B- DOS ÁNGULOS Y UN LADO EN GENERAL CUANDO NO PUEDE SER UTILIZADO EL TEOREMA DEL COSENO Teorema del coseno A- DOS LADOS Y EL ANGULO COMPRENDIDO SE USA CUANDO : B- SE CONOCEN LOS TRES LADOS DEL TRIÁNGULO

8 TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO PARA CUALQUIER TRIÁNGULO
Teorema del seno a:senα=b:senβ= c:senγ axsen β:sen α = b bxsenγ:senβ= c Teorema del coseno Para calcular un lado: 𝒂 𝟐 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 -2xaxbxcos γ Para calcular un ángulo despejo: (𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 − 𝒄 𝟐 ):(-2xaxb)=cos γ

9 CÁLCULO DE SUPERFICIES DE TRIÁNGULOS EN GENERAL
Si se conocen dos lados consecutivos y el ángulo entre ellos comprendido: Superficie del triángulo= axbxsenα/2 Superficie= 7,54x12,55xsen 47,38º/2 Si solo se conoce el valor de los lados del triángulo: Superficie del triángulo: 2 𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐) Donde p= (a+b+c)/2 y a,b y c son los valores de los lados del triángulo

10 TRIÁNGULOS QUE NO SON RECTÁNGULOS
RESOLUCIÓN

11 TRIGONOMETRÍA ¿ Cuál será el perímetro de un lote de forma triangular conocidos los ángulos α= 60º y γ= 45º, y el lado C= 12m?. Datos: un lado y dos ángulos c = 12m a b A C B α= 60º γ= 45º ß Incógnitas: perímetro del triángulo. Perímetro: a+b+c TEOREMA DEL SENO: 12m/sen 45º= b/senß= a/sen 60º ß= 180º- 45º-60º= 75º 12m/sen 45º= a/sen 60º a= 12m.sen60º/sen 45º= 14,6969m 12m/sen 45º= b/sen75º b= 12m.sen75º/sen 45º=16,3923m PERÍMETRO: 12m+14,6969m+16,3923m=43,0892m

12 TRIGONOMETRÍA - Calcular, aplicando la fórmula de Heron, la superficie de un predio triangular del que se conocen sus lados, a saber: a= 13 m; b= 14 m; c= 15m. Sup= Datos: Valor de los lados P= (13m+14m+15m)/2= 21m Incógnitas: Sup. del triángulo = 84m2 Sup=

13 TRIGONOMETRÍA Conocidos los datos del triángulo ABC : a= 3; c=5 y ß= 120º. Se pide calcular el lado “b”. Datos: Dos lados consecutivos y el ángulo comprendido entre ellos. a b c ß Incógnitas: Calcular el tercer lado. Aplicamos el Teorema del coseno: b2= a2+c2- 2. a.c.cos 120º= cos120º=49m b2= 49 b=7m

14 TRIGONOMETRÍA Calcular los ángulos interiores del triángulo que se grafica. Sabiendo que: a= 6 b=7 y c=3. a b c A C α ß B Datos: El valor de los tres lados Incógnitas: El valor de los tres ángulos y el área del triángulo. Aplicando el Teorema del coseno: a2= b2+c2-2.b.c.cos α cosα= (a2- b2 – c2)/(-2.b.c) b2= a2+c2-2.a.c.cos ß cosß= (b2- a2 – c2)/(-2.a.c) c2= a2+b2-2.a.b.cos γ cosγ= (c2- a2 – b2)/(-2.a.b) Reemplazo valores en la 1º ecuación y obtengo: Cosα=( – 32)/(-2.7.3)= 0, arc. Cos (0, )=58º24´42,71” En la segunda: cosß= (72 – 62 – 32)/ (-2.6.3)= -0, α= 96º22´45,73´´ En la tercera: cosγ= (32 – 62 – 72)/(-2.6.7)=0, γ=25º12º31,56´´

15 TRIGONOMETRÍA Calcular los ángulos interiores de un local comercial si se conoce la medida del lado AC= 60 y AB=48 y la superficie del mismo que es de 864 m2. C A B b a c α ß γ Datos: dos lados consecutivos y la superficie del polígono. Incógnitas: ángulos interiores 864.2m2/(60m.48m) = sen α α=36º52´11,63” Sup= (AC.AB.Sen α)/2 = 864 m2 Conocidos α y los lados AC y AB que lo comprenden podemos aplicar el teorema del coseno para hallar el lado BC. BC2= AC2+AB2 -2.AC.AB.cos α BC2= COS 36º52´11,63”=1295,99 m BC=36 m Una vez hallado BC, podemos utilizar el teorema del seno para despejar por ejemplo el valor del ángulo ß: (AC/senß)= (BC/sen α) luego sen ß= (AC/BC)senα ß= 89º59´31,04” y γ= 180º- (36º52´11,63”+ 89º59´31,04”)= 53º08´17,33”

16 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS PENDIENTE DESPROYECCIÓN
RESOLUCIÓN

17 TRIGONOMETRÍA R: a = 3,5277m; c = 5,3333m c= 4m/0,75=5,33333..m
Calcular los lados a y c del triángulo que se grafica, sabiendo que el cos α=3/4 y el lado b = 4m. Datos: cos α=3/4 lado b=4m A C B α a c b Incógnitas: Lados a y c cos α=3/4= 0, cos α= b/c 0,75= 4m/c metros, luego: c= 4m/0,75=5, m Aplicando Pitágoras: c2= a2+b2 luego a2= c2-b2, luego: a= 3,5277m R: a = 3,5277m; c = 5,3333m

18 TRIGONOMETRÍA Una escalera tiene una pendiente del 60 %. Si la huella mide 27,5 cm a-¿Qué tamaño tendrá la contrahuella?. b-¿Cuál es el nivel de acceso principal si el arranque esta a y la escalera tiene 4 escalones?. α 27,5cm contrahuella Datos: pendiente= tangente de α en porciento, i= 60% tg α= 0,60 Incógnitas: Contrahuella y nivel de acceso principal (Contrahuella/huella)= 0, (contrahuella/27,5cm)= 0,60= tg α contrahuella=16,50cm Nivel de acceso principal= 4 escalonesx 16,50cm N.A.P= 66cm

19 TRIGONOMETRÍA Un caño de desague pluvial tiene una pendiente i = 1,5%. Según los datos del terreno. ¿Cuál será el nivel del piso de patio?. Datos: pendiente “i”= 1,5% 35m y nivel 0,00 0,00 Pend. :1,5% Nivel patio 35,00 m h Incógnitas: Nivel de patio (h) Pendiente= 1,5% significa que la tg del ángulo que forma el caño con la horizontal es de: tgα= 0,015 tgα= h/ 35 m 0,015= h/35m Respuesta: h= 0,015x35m= 0,525m

20 TRIGONOMETRÍA Desarrollo= 2,042m+0,8083m+2,309m= 5,1579m
El gráfico que se adjunta corresponde al perfil del corte transversal de un techo. Se pide calcular el desarrollo de dicho techo entre los puntos denominados ABCD. Datos: altura de punto C, h=2m ángulos de inclinación de los segmentos BC, 60º y CD, 60º. Radio de curvatura del tramo AB= 1,30m r = 1,30m 2m 60º r A B C D Incógnitas: AB+BC+CD= long. cubierta AB= ¼ 2¶RADIO= ¼ 2¶ 1,3m= AB=2,0420m BC? Sen 60º= (2m - radio )/BC BC= (2m - radio )/sen60º BC=0,8083m CD? Sen 60º= 2m/CD CD= CD= 2m/sen 60º CD= 2,309m Desarrollo= 2,042m+0,8083m+2,309m= 5,1579m

21 datos del croquis que se adjunta.
TRIGONOMETRÍA Calcular la medida de la ochava (X) de un terreno esquina, conociendo los datos del croquis que se adjunta. α L Datos: triángulos isósceles. α= 30º X a1 a 2,5m 9 m Incógnitas: El valor “X” X+2 a= L X=L-2. a Calculo “L”: 2.9.cos30º 9m α L/2 2,5m a α sen α= 2,5m/ a a= 2,5m/senα a=5m (L/2)/9m= cos 30º (L/2)= cos 30º. 9m L/2= 7,7942m L= 15,58846m X=L-2 a= 15,58846m- 2. 5m= 5,58846m

22 TRIGONOMETRÍA Una galería comercial de planta en “L” tiene un techo a dos aguas tal como se marca en el corte de la figura. Calcular la superficie del techo. CORTE A-A = 35º 16,00 m 12 m A 8 m 8m 20,00 m 4,00m 1 2 3 4 Datos: Dimensiones de la planta Incógnitas: La superficie del techo Sup= 20m. 2.L+8.2.L Sup= m/cos 35º+8.2.4m/cos35º 4 m 35º L COS 35º= 4m/L L= 4m/COS 35º Sup= m/cos 35º+8.2.4m/cos35º Sup: 273,4535 m2

23 TRIGONOMETRÍA TRIANGULOS RECTANGULOS
1- Una pileta de natación familiar tiene un piso con pendiente longitudinal del 8%.¿Cuántos litros de agua se necesitan para llenarla si las dimensiones son las que se indican en planta y corte siendo el ancho de la pileta de 10 m.?. 10 m 5 m b = ¿? 1,50 m Pend.: 8% Datos: Dimensiones de la pileta en planta. Incógnitas: Capacidad de la pileta Capacidad: Vol lts/m³= (Vol prisma rectangular+Vol cuña) lts/m³ Vol. Prisma rectangular: 10m.5m.1,5m= 75m³ Vol. Cuña : 10m.5m.(b-1,5m)/2=20 m³ Tgα= 0,08=(b-1,5m)/10m b-1,5m= 0,08.10m b= 0,8m+1,5m= 2,3m Capacidad= (75m³+ 20m³). 1000kg/m³= l

24 TRIGONOMETRÍA TRIANGULOS RECTANGULOS

25 TRIGONOMETRÍA TRIANGULOS RECTANGULOS
Datos: altura de la pirámide= 20,6 m α = 51° Incógnita a : La superficie de la planta tg α = h / y Y = 20,6 m / tg 51° = 16,6815 m x 2 =33,3631m ( lado de la base) Incógnita b: Apotema de la pirámide ( x) sen 51° = 20,6 m/ sen 51° = 26,5072 m Incógnita c: superficie de la cara triangular Sup= base x altura / 2 = 33,3631 m x 26,5072 m/2 = 442,1811 m²

26 TRIGONOMETRÍA TRIANGULOS RECTANGULOS
Datos: altura de la pirámide= 20,6 m α = 51° Incógnita d : pendiente de las caras Pendiente = tangente trigonométrica del angulo tg 51° = 1,2348 x 100 = 123 , 48% Incógnita e: Longitud de las aristas oblicuas Aplico Teorema de Pitágoras arista = √ ( 26,5072 m)² + ( 16,6815 m ) ² arista = 31,3193 m Incógnita f: cantidad de paneles de vidrio de 2,628 m² cada uno Sup de las 4 caras = 442,18 m² x 4 = 1768, 72 m² / 2,628 m = 673, paneles de vidrio

27 TRIGONOMETRÍA TRIANGULOS RECTANGULOS

28 TRIGONOMETRÍA TRIANGULOS RECTANGULOS
Datos: Tramo de escalera proyectado en planta = 3,5 m desnivel tramo 1= 1,8 m Desnivel tramo 2 = 2,67 m Incógnita a : pendiente de la escalera Tangente ángulo = 1,87 m / 3,50 m = 0,534285 La pendiente es 0, x 100 = 53,4285 % Incógnita b : la proyección en planta del segundo tramo tg ángulo = (2,67 m – 1,87 m) / proyección en planta proyección = 0,80 m / 0,534285 = 1,497 m

29 POLIGONOS

30 TRIGONOMETRÍA TRIANGULOS RECTANGULOS
Tg α = 1,148m/ apotema Ap.= 1,148 m/tg 22,5° Ap= 2,7715m apotema Incógnita a : superficie de la cubierta de la pérgola octogonal Cálculo del lado del octógono sen 22,5° = mitad lado/ 3 m( radio) lado = (sen 22,5° x 3m) x 2 = 2,296 m Sup .cubierta = ( 2,296 m x 3,5 m) / 2 = 4,018 m² x 8 = 32,144 m² Incógnita b : la pendiente de la cubierta Coseno ángulo = apotema / 3,5 m = 2,7715m/ 3,5 m= 0, α = 37,645956° Incógnita c : Cálculo de porcentaje Sup. en planta : perim. x apotema / ( 2,296 x 8 ) x 2,7715 / 2 = 25,45 34m² 32,144 / 25,4534 = 1,2628 x 100 = 26,28 %

31 POLIGONOS base menor = a altura = 15 m Base mayor = 2a
ángulo rad /2π= ángulo °/360° Angulo rad = 90° x 2π / 360° = 1, rad

32 TRIGONOMETRÍA TRIANGULOS RECTANGULOS
Datos: Terreno cuadrado de 750 m² a canjear por uno equivalente en forma de trapecio regular. Incógnita a : perímetro del terreno trapezoidal Sup. Trapecio = (B + b) x H /2 750 m ² = ( 2 a + a) x 15 m/ 2 (750 m ² x 2) / 15 m = 3 a m / 3 = a a = 33,333 m a = 66,666 m Perímetro = , , ,5525 m = 151,5515 m Incógnita b : el valor de la diagonal Diagonal = √ (33,666 m) ² + ( 15 m) ² = 36,5525 m Incógnita c : Cálculo de ángulos tg β = 15 m/ 33,333m = 0, β = 24, ° x 2 π /360° =0, rad α = 360 ° - (24, °+90°+90°) α = 155, °x 2 π /360° = 2,7187 rad β 15 m 33,333 m

33 PROPORCIONES

34 TRIGONOMETRÍA TRIANGULOS RECTANGULOS
Datos: Terreno rectangular / lado mayor = 30 m Se desea subdividir en 2 terrenos cuadrado y rectangular áureo Incógnita a 1: superficie del terreno original Módulo = L / l ,618 = 30m/ l l = 30m / 1,618 = 18,5414 m sup. = 30 m x 18, 5414 m = 556,2422 m ² Incógnita a 2: Dimensiones de los dos terrenos obtenidos Terreno cuadrado = 18, 5414 m de lado Terreno rectangular = 11,4586 m x 18,5414 m M = 1,618 Incógnita a 3 : porcentaje de superficie 556,2422 m ² % (18, 5414 m x 18, 5414 m) 343,7835 m ² ,80 % (11,4586 m x 18,5414 m ) 212,4584 m ² ,19 %