PROBLEMAS ARITMÉTICOS Tema 4 4º ESO Op A

PROBLEMAS ARITMÉTICOS Tema 4 4º ESO Op A

PROBLEMAS ARITMÉTICOS
1. Proporcionalidad 1.1. Simple 1.2. Compuesta 2. Repartos 3. Porcentajes 4. Depósitos y préstamos bancarios 5. Mezclas 6. Móviles 7. Llenado / vaciado de depósitos

1. Proporcionalidad 1.1. Simple Compuesta Dos variables Tres variables Directa o Inversa Directa o Inversa Directa: Si una magnitud aumenta, la otra aumenta Si una magnitud disminuye, la otra disminuye Inversa: Si una magnitud aumenta, la otra disminuye Si una magnitud disminuye, la otra aumenta

1. Proporcionalidad Simple y Compuesta Pasos resolución de problemas Identificar las magnitudes del problema y explicar brevemente su relación, diciendo si es directa o inversa Planteamiento del problema por regla de tres (se puede hacer en el primer lugar si así se desea) Resolución del problema Establecer la solución al problema

PROPORCIONALIDAD SIMPLE Directa / Inversa
Ejemplo 1. Se sabe que la altura y la sombra de un edificio son proporcionales. Si la sombra de un edificio de 30 metros mide 8 metros, ¿qué altura tendrá otro edificio cuya sombra en el mismo momento mide 12 metros? 1. Identificar las magnitudes del problema y explicar brevemente su relación, diciendo si es directa o inversa A más altura del edificio, más sombra proyecta => P. Directa 2. Planteamiento del problema por regla de tres Altura (m) Sombra (m) x 12 30 8 3. Resolución del problema Otra forma: 30 * 12 = 8 * x 4. Establecer la solución al problema Solución: La altura será de 45 metros

PROPORCIONALIDAD SIMPLE Directa
Ejemplo 1. Se sabe que la altura y la sombra de un edificio son proporcionales. Si la sombra de un edificio de 30 metros mide 8 metros, ¿qué altura tendrá otro edificio cuya sombra en el mismo momento mide 12 metros? A más altura del edificio, más sombra proyecta => P. Directa Altura (m) Sombra (m) x 12 30 8 Solución: La altura será de 45 metros

PROPORCIONALIDAD SIMPLE Inversa
Ejemplo 2. Un campamento de 45 alumnos tiene provisiones para 16 días. ¿Cuántos días podrá durar el campamento si fuesen 15 alumnos más? A más alumnos, menos días durarán las provisiones => P. Inversa Alumnos Tiempo (días) 60 x 45 16 Otra forma: 45 * 16 = 60 * x 𝟔𝟎 𝟒𝟓 = 𝒙 𝟏𝟔 𝟒𝟓 𝟔𝟎 Nota: al ser p. inversa, hay que invertir UNA de las fracciones (da igual cual sea) 𝒙= 𝟏𝟔 ∗𝟒𝟓 𝟔𝟎 = 𝟏𝟐 Solución: Las provisiones durarán 12 días

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA Directa
Ejemplo 3. Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 60€. En las mismas condiciones, ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de campamento?. A más chicos (mismo tiempo), más dinero gastarán P. Directa A más días (mismos niños), más dinero gastarán P. Directa Dinero (€) Chicos Tiempo (días) x Solución: Gastarán 135 €

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA Inversa
Ejemplo 4 16 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias? A más trabajadores (mismas horas), menos días tardarán => P. Inversa A más horas (mismos trabajadores), menos días tardarán => P. Inversa Tiempo (días) Trabajadores Tiempo (horas) x Solución: emplearán 36 días

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA Directa / Inversa
Ejemplo 5. En una cadena de montaje, 9 obreros trabajando 7 horas diarias han fabricado 2800 piezas. ¿Cuántos obreros son necesarios para fabricar 4000 piezas trabajando 9 horas diarias? A más trabajadores (mismas horas), más piezas harán => P. Directa A más trabajadores (mismas piezas), menos tiempo tardarán => P. Inversa Trabajadores Tiempo (horas) Piezas x Solución: serán 10 trabajadores

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA Directa / Inversa
Ejemplo 6 Un pintor pinta una pared de 450m2 en 6 días trabajando 9 horas al día. Le sale una propuesta de trabajo en la que tiene que pintar 660m2 en 9 días. ¿Cuántas horas diarias tiene que trabajar para poder realizar el trabajo?. A más superficie (mismos días), más horas necesita => P. Directa A más días (misma superficie), menos horas necesita => P. Inversa Tiempo (horas) Tiempo (días) Superficie (m2) x Solución: serán 8 horas diarias

1. Proporcionalidad 1.1. Simple 1.2. Compuesta 2. Repartos: Directo e Inverso 3. Porcentajes 4. Depósitos y préstamos bancarios 5. Mezclas 6. Móviles 7. Llenado / vaciado de depósitos

2. Reparto Pasos resolución de problemas Identificar la forma en que se va a repartir lo que se cita en el problema en caso de que NO nos lo digan. Suma de las cantidades sobre las que se va a repartir de manera directa o sobre los inversos de las cantidades si es inversa. Calculo de lo que vale una unidad de lo que se va a repartir Cálculo de lo que le corresponde a cada uno según sea directo o inverso Dar la solución al problema

REPARTO DIRECTAMENTE PROPORCIONAL
Ejemplo 7. Un padre quiere repartir 36 galletas entre sus dos hijos de 2 y 7 años, de manera proporcional a sus edades. ¿Cuánto le toca a cada uno? 1. Identificar la forma en que se va a repartir lo que se cita en el problema en caso de que no nos lo digan. A más edad del niño, más galletas le tocarán => R. Directa 2. Suma de las cantidades sobre las que se va a repartir de manera directa 2 + 7 = (se va a repartir según los años) 3. Calculo de lo que vale una unidad de lo que se va a repartir 4.. Cálculo de lo que le corresponde a cada uno 2 * 4 = 8 7 * 4 = 28 Solución: al de 2 años le da 8 galletas y al de 7 años 28 galletas 5. Establecer la solución al problema

Ejemplo 7. Un padre quiere repartir 36 galletas entre sus dos hijos de 2 y 7 años, de manera proporcional a sus edades. ¿Cuánto le toca a cada uno? A más edad del niño, más galletas le tocarán => R. Directa Total edades = 9 Cálculo por niño * 4 = 8 7 * 4 = 28 Solución: al de 2 años le da 8 galletas y al de 7 años 28 galletas

Ejemplo 7. – Otra forma Un padre quiere repartir 36 galletas entre sus dos hijos de 2 y 7 años, de manera proporcional a sus edades. ¿Cuánto le toca a cada uno? A más edad del niño, más galletas le tocarán => R. Directa Total edades = 9 Solución: al de 2 años le da 8 galletas y al de 7 años 28 galletas

REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL
Ejemplo 8. Un padre quiere repartir 36 galletas entre sus dos hijos de 2 y 7 años, de manera inversamente proporcional a sus edades. ¿Cuánto le toca a cada uno? (Reparto inverso: lo dice el enunciado) 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒆𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟕 = 0,64285 Valor unitario 𝟑𝟔 𝟎,𝟔𝟒𝟐𝟖𝟓 =𝟓𝟔 Se reparte según los años pero INVERSAMENTE a ellos Solución: al de 2 años le da 28 galletas y al de 7 años 8 galletas

REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL
Ejemplo 8. – Otra forma Un padre quiere repartir 36 galletas entre sus dos hijos de 2 y 7 años, de manera inversamente proporcional a sus edades. ¿Cuánto le toca a cada uno? (Reparto inverso: lo dice el enunciado) 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒆𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟕 = 0,64285 Cálculo por niño El primero recibe 𝟑𝟔 𝟎,𝟔𝟒𝟐𝟖𝟓 ∗ 𝟐 =𝟐𝟖 El segundo recibe 𝟑𝟔 𝟎,𝟔𝟒𝟐𝟖𝟓 ∗𝟕 =𝟖 o bien 36 – 28 = 8 Solución: al de 2 años le da 28 galletas y al de 7 años 8 galletas

REPARTO PROPORCIONAL Ejemplo 9
La inversión de 5 socios en un negocio ha sido de 80, 60, 45, 40 y 25 miles de euros respectivamente. Deciden repartir una ganancia de € de manera proporcional al dinero aportado. Sin embargo, Juan, que invirtió € piensa que le hubiera correspondido más dinero si el reparto hubiera sido de manera inversamente proporcional. Razona si Juan tiene razón o no: calcula lo que ‘gana o pierde’ según lo que piensa

REPARTO PROPORCIONAL Solución: Juan hubiera ganado más dinero con un reparto inversamente proporcional

3. Porcentajes Son siempre proporcionalidades directas Están referidas al 100% Representa una fracción o un decimal 15% = 0,15 = Operaciones: Se realizarán como una p. directa: regla de tres Se usará el concepto de «Fracción como operador» 𝟏𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝒆 𝟓𝟎𝟎=𝒙 𝟏𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝒆 𝒙=𝟏𝟔𝟎 x% 𝒅𝒆 𝟏𝟑𝟎𝟎=𝟐𝟎𝟎

3. Porcentajes Aumento porcentual: Resultado de sumar un porcentaje al 100%, cuando éste, represente una variación al alza Por ejemplo: Una prenda aumenta un 12% El aumento será del 12% + 100% = 112% Disminución porcentual: Resultado de restar un porcentaje al 100%, cuando éste, represente una variación a la baja Por ejemplo: Una prenda se rebaja un 12% La disminución será del 100% - 12% = 88%

3. Porcentajes Índice de variación (IV): «Cuando se producen aumentos y/o disminuciones porcentuales seguidas sobre un mismo artículo». Se expresa como un número decimal calculado como resultado de la multiplicación de todos los aumentos y todas las disminuciones porcentuales que sufre el artículo.

3. Porcentajes Índice de variación (IV): Por ejemplo: Una prenda aumenta un 12%, luego sube otro 20% y al final es rebajada un 30% El aumento del 12% sería un 112% = 1,12 El aumento del 20% sería un 120% = 1,20 La disminución del 30% sería un 70% = 0,70 El IV sería 1,12 * 1,20 * 0,70 = 0,9408 Si se multiplica por 100, el porcentaje resultante es el que representa la variación real del artículo 0,9408 => 94,08 %

3. Porcentajes Índice de variación (IV): Por ejemplo: Una prenda vale 120 €. Aumenta un 50% y luego es rebajada un 50% ¿Se queda al mismo precio? El aumento del 50% sería un 150% = 1,50 La disminución del 50% sería un 50% = 0,50 El IV sería 1,50 * 0,50 = 0,75 Si se multiplica por 100, el porcentaje resultante es el que representa la variación real del artículo 0,75 => 75 % No se queda al mismo precio. La prenda costará ahora 90€

Ejemplo 10. Vas a la tienda a comprar leche de la marca que quieres y te encuentras con dos ofertas. Por supuesto, quieres ahorrarte dinero comprando la más barata y la cantidad de brics que te lleves te da igual. ¿Cuál de las ofertas elegirías?. Precio unitario de la caja de leche en ambos casos: 0,58 € Oferta A Oferta B 3 x 2 Compra 2 y te llevas 3 - 75% En la segunda unidad 𝐏𝐫𝐞𝐜𝐢𝐨 𝐮𝐧𝐢𝐭𝐚𝐫𝐢𝐨 / 𝐜𝐚𝐣𝐚= 𝑫𝒊𝒏𝒆𝒓𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒂𝒈𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒎𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒗𝒐 𝑷𝒂𝒒𝒖𝒆𝒕𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒎𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒗𝒐 Oferta A 2. Oferta B 𝐏. 𝐮𝐧𝐢𝐭𝐚𝐫𝐢𝐨 / 𝐜𝐚𝐣𝐚= 𝟐 ∗𝟎,𝟓𝟖 𝟑 =𝟎,𝟑𝟗 € 𝐏 𝐮𝐧𝐢𝐭𝐚𝐫𝐢𝐨 / 𝐜𝐚𝐣𝐚= 𝟎,𝟓𝟖+𝟎,𝟐𝟓∗𝟎,𝟓𝟖 𝟐 =𝟎,𝟑𝟔 € Solución: La mejor es la oferta B

4. Depósitos y préstamos bancarios Conceptos Co: Capital inicial del que se parte C: Capital final obtenido tras el préstamo / depósito r: Es el interés que se aplica sobre el depósito / préstamo en % t: es el tiempo sobre el que se calcula el depósito / préstamo

4. Depósitos y préstamos bancarios Dos tipos: INTERÉS SIMPLE Se retira el capital al final del periodo considerado b) INTERÉS COMPUESTO NO se retira el capital al final del periodo considerado El capital final, pasa a ser el capital inicial para el nuevo periodo, y así sucesivamente hasta que se decide retirarlo o se acaba el contrato.

4. Depósitos y préstamos bancarios Dos tipos: Consideramos en ambos caso el periodo anual INTERÉS SIMPLE b) INTERÉS COMPUESTO C= 𝐶 𝑜 1+𝑡∙ 𝑟 100 C= 𝐶 𝑜 1+ 𝑟 𝑡

4. Depósitos y Préstamos bancarios Pasos resolución de problemas Identificar los datos del enunciado Identificar la fórmula a usar según sea interés simple o compuesto Cálculo de lo que nos solicitan según la fórmula a usar Dar la solución al problema

DEPÓSITOS Y PRÉSTAMOS BANCARIOS
Ejemplo 11. Se dejan el banco 10000€ a un interés simple anual del 2%. Calcular el capital final a los 3 años 1. Identificar los datos del enunciado Interés Simple Co: Capital inicial = 10000€ r: Interés aplicado = 2% t: Tiempo = 3 años 𝐂= 𝑪 𝒐 𝟏+𝒕∙ 𝒓 𝟏𝟎𝟎 2. Cálculo de lo solicitado 𝐂= 𝑪 𝒐 𝟏+𝒕∙ 𝒓 𝟏𝟎𝟎 =𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏+𝟑∙ 𝟐 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟔𝟎𝟎 € 3. Dar la solución al problema Solución: Capital final es de €

Ejemplo 12. Se dejan el banco 10000€ a un interés compuesto anual del 2%. Calcular el capital final a los 3 años 1. Identificar los datos del enunciado Interés Compuesto Co: Capital inicial = 10000€ r: Interés aplicado = 2% t: Tiempo = 3 años 𝐂= 𝑪 𝒐 𝟏+ 𝒓 𝟏𝟎𝟎 𝒕 2. Cálculo de lo solicitado 𝐂= 𝑪 𝒐 𝟏+ 𝒓 𝟏𝟎𝟎 𝒕 =𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏+ 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟑 =𝟏𝟎𝟔𝟏𝟖,𝟏𝟐€ 3. Dar la solución al problema Solución: Capital final es de 10612,08 €

Ejemplo 13. Un capital de €, colocado en una cuenta a un tres años, se convierte en €. ¿Qué tanto por ciento anual abona la cuenta? 1. Identificar los datos del enunciado Interés Compuesto Co: Capital inicial = € C: Capital final = € t: Tiempo = 3 años 𝐂= 𝑪 𝒐 𝟏+ 𝒓 𝟏𝟎𝟎 𝒕 2. Cálculo de lo solicitado 𝐂= 𝑪 𝒐 𝟏+ 𝒓 𝟏𝟎𝟎 𝒕 𝟏𝟐𝟔𝟕𝟓𝟎=𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏+ 𝒓 𝟏𝟎𝟎 𝟑 𝒓=𝟏,𝟖𝟒% 3. Dar la solución al problema Solución: el interés es del 1,84%

5. Mezclas Intervienen dos o más elementos que deben ser mezclados Se obtiene un ‘’nuevo elemento’’ que es la mezcla de todos los iniciales La cantidad total de la mezcla será la suma de las cantidades mezcladas El precio total, estará entre los valores de los elementos mezclados Se organizan los datos en una tabla para una visión global del problema

MEZCLAS Ejemplo 14. Se mezclan 20 litros de aceite de 3,9 €/litro y 50 litros de otro aceite de inferior calidad, de 2,40 €/litro. ¿A cómo resulta el litro de la mezcla obtenida? . 1. Poner los datos en forma de tabla Cantidad (l) Precio (€/l) Coste (€) Aceite 1 20 3,9 20*3,9 = 78 Aceite 2 50 2,4 50*2,4 = 120 Mezcla 70 x 198 2. Cálculo de lo solicitado 70 * x = 198 x = 2, => x = 2,83 €/litro 3. Dar la solución al problema Solución: el litro resulta a 2,83 €/litro

6. Móviles Conceptos: Intervienen el «Espacio (e)» «velocidad (v)» y «tiempo (t)» e=v∗t o bien v= 𝑒 𝑡 Espacio => Es una longitud. Unidad principal: metros (m) Velocidad => Unidad principal: metros por segundo (m/s) Tiempo => Unidad principal: segundos (s) Escala de longitud: km hm dam m dm cm mm Escala de tiempo: 1 h = 60’ = 3600’’ Nota: 1 m/s = 3,6 km/h

6. Móviles – Dos tipos de problemas Ambos problemas, se resuelven como si fuera un único móvil el que se mueve, y el otro, está quieto. Velocidad: v1 = velocidad del móvil 1 v2 = velocidad del móvil 2 Espacio (e): la distancia que les separa en un determinado momento Tiempo (t): tiempo transcurrido hasta que ambos móviles se juntan Se considera que el movimiento es m.r.u. (movimiento rectilíneo uniforme), es decir, velocidad constante Se usan las fórmulas anteriores e=v∗t o bien v= 𝑒 𝑡

6. Móviles – Dos tipos de problemas a) Por ALCANCE: «Un móvil va detrás de otro (en el mismo sentido), y al final, le alcanza». La velocidad total será la RESTA de las velocidades de ambos móviles Velocidad total será: v3 = v2 – v1 Nota: v2 > v1 Velocidad: v1 = velocidad del móvil 1 (el que va primero) v2 = velocidad del móvil 2 (el que persigue - va más rápido y le alcanza) v3 = v2 –v1 A e t = tiempo en recorrer ‘e’ a una velocidad ‘v3’ v2 v1 B

6. Móviles – Dos tipos de problemas b) Por ENCUENTRO: «Un móvil va en un sentido, y el otro móvil, va en el contrario. Llega un momento que se cruzan». La velocidad total será la SUMA de las velocidades de ambos móviles Velocidad total será: v3 = v2 + v1 Velocidad: v1 = velocidad del móvil 1 v2 = velocidad del móvil 2 v3 = v2 + v1 A e t = tiempo en recorrer ‘e’ a una velocidad ‘v3’ v2 v1 B

6. Móviles Pasos resolución de problemas Identificar si el problema es de alcance o de persecución IMPORTANTE: Usar las unidades de medida de manera homogénea (todo en metros / todo en kilómetros / todo en …) 3. Cálculo de la nueva velocidad (v3), en caso de requerirse 4. Aplicar las fórmulas dadas 5. Dar la solución al problema

MÓVILES Ejemplo 15. Un coche circula a 100 km/h y se mueve en la misma dirección que otro que circula a 25 m/s. Si la distancia que les separa son 90 km, calcular cuánto tardará en adelantarle. 1. Identificar el problema: es de alcance 2. Usar las mismas unidades de velocidad, de espacio y de tiempo v1 = 25 m/s = 25 * 3,6 km/h = 90 km/h v2 = 100 km/h e = 90 km 3. Calculamos la velocidad v3 v3 = v2 – v1 = 100 – 90 = 10 km/h 4. Cálculo del tiempo e = v * t 90 = 10 * t t = 9 horas 5. Dar la solución al problema Solución: 9 horas

MÓVILES Ejemplo 16. Un coche sale de la ciudad A hacia la ciudad B a las 15h, a una velocidad de 100 km/h. En ese instante, otro vehículo, sale de B a A, a 30 m/s. Si la distancia entre ambas ciudades es de 676 km, calcular cuándo se cruzarán. 1. Identificar el problema: es de encuentro 2. Usar las mismas unidades de velocidad, de espacio y de tiempo v1 = 30 m/s = 30 * 3,6 km/h = 108 km/h v2 = 100 km/h e = 676 km 3. Calculamos la velocidad v3 v3 = v2 + v1 = = 208 km/h 4.. Cálculo del tiempo e = v * t = 208 * t t = 3,25 horas La parte decimal son t = 0,25 horas = 0,25*60 = 15 minutos 5. Dar la solución al problema Solución: se cruzan a las 18h y 15 minutos

7. Llenado y vaciado de depósitos Similar a los problemas de móviles. El concepto de velocidad se cambia por el concepto de CAUDAL El caudal (Q) es la cantidad de volumen de líquido (V) por tiempo (t) considerado que sale / entra en el depósito Q= 𝑉 𝑡 Caudal => Unidad principal: metros cúbicos por segundo (m3/s) Volumen => Unidad principal: metros cúbicos (m3) Tiempo => Unidad principal: segundos (s)

7. Llenado y vaciado de depósitos Escala de volumen: km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 litro ml Cada ‘salto’ vale 1000 unidades Nota: 1 litro (l) = 1 dm3 1 mililitro (ml) = 1 cm3 Escala de tiempo: 1 h = 60’ = 3600’’ El llenado de un depósito implica la suma de los caudales de todos los elementos que llenan el depósito El vaciado implica restar el caudal que ‘sale’ del depósito

7. Llenado y vaciado de depósitos Pasos resolución de problemas Identificar los datos que implican llenado y que implican el vaciado 2. Llenado: suma cantidades Vaciado: resta cantidades 3. Resolución del problema 4. Dar la solución al problema

LLENADO Y VACIADO DE DEPÓSITOS
Ejemplo 17. Una piscina se abastece mediante dos bombas, A y B. La primera bomba, trabajando sola, llena la piscina en cinco horas, y la segunda, también en solitario, tarda tres horas. ¿Cuánto tardará en llenarse la piscina si ambas se conectan simultáneamente?. 1. Identificar los datos que implican llenado y que implican el vaciado 𝐀= 𝟏 𝟓 𝐥𝐥𝐞𝐧𝐚 𝐞𝐧 𝐮𝐧𝐚 𝐡𝐨𝐫𝐚 𝐁= 𝟏 𝟑 𝐥𝐥𝐞𝐧𝐚 𝐞𝐧 𝐮𝐧𝐚 𝐡𝐨𝐫𝐚 2. Calculamos A + B (ambas son llenado) 𝐀+𝐁= 𝟏 𝟓 + 𝟏 𝟑 = 𝟖 𝟏𝟓 𝐥𝐥𝐞𝐧𝐚𝐧 𝐞𝐧 𝐮𝐧𝐚 𝐡𝐨𝐫𝐚 3. Cálculo del tiempo total 𝐀+𝐁= 𝟏𝟓 𝟖 =𝟏,𝟖𝟕𝟓 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬=𝟏𝐡 𝟓𝟐,𝟓′ 𝐥𝐥𝐞𝐧𝐚𝐧 𝐓𝐎𝐃𝐎 5. Dar la solución al problema Solución: llenan la piscina en 1h 52,5 minutos

Ejemplo 18. Una bañera dispone de un grifo de agua fría y otro de agua caliente. Abriendo solo el agua fría, se llena en 8 minutos, y abriendo la caliente, en 12 minutos. Dispone también de un desagüe que, cuando está llena, la vacía en 4 minutos. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse si se abren los dos grifos a la vez para obtener agua templada? ¿Qué ocurrirá si, estando vacía, se abren los dos grifos y se olvida colocar el tapón del desagüe? 𝐀= 𝟏 𝟖 𝐥𝐥𝐞𝐧𝐚 𝐞𝐧 𝐮𝐧 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨 𝐁= 𝟏 𝟏𝟐 𝐥𝐥𝐞𝐧𝐚 𝐞𝐧 𝐮𝐧 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨 𝐀+𝐁= 𝟏 𝟖 + 𝟏 𝟏𝟐 = 𝟓 𝟐𝟒 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐛𝐚ñ𝐞𝐫𝐚 𝐥𝐥𝐞𝐧𝐚𝐧 𝐞𝐧 𝐮𝐧 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨 𝐀+𝐁= 𝟐𝟒 𝟓 =𝟒,𝟖 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬=𝟒𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬 𝟒𝟖 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝐬 𝐥𝐥𝐞𝐧𝐚𝐧 𝐓𝐎𝐃𝐀 𝐛𝐚ñ𝐞𝐫𝐚

Ejemplo 19. Una bañera dispone de un grifo de agua fría y otro de agua caliente. Abriendo solo el agua fría, se llena en 8 minutos, y abriendo la caliente, en 12 minutos. Dispone también de un desagüe que, cuando está llena, la vacía en 4 minutos. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse si se abren los dos grifos a la vez para obtener agua templada? ¿Qué ocurrirá si, estando vacía, se abren los dos grifos y se olvida colocar el tapón del desagüe? 𝐀= 𝟏 𝟖 𝐥𝐥𝐞𝐧𝐚 𝐞𝐧 𝐮𝐧 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨 𝐁= 𝟏 𝟏𝟐 𝐥𝐥𝐞𝐧𝐚 𝐞𝐧 𝐮𝐧 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨 𝐂= 𝟏 𝟒 𝐯𝐚𝐜í𝐚 𝐞𝐧 𝐮𝐧 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨 𝐀+𝐁−𝐂= 𝟏 𝟖 + 𝟏 𝟏𝟐 − 𝟏 𝟒 = −𝟔 𝟐𝟒 𝐍𝐎 𝐥𝐥𝐞𝐧𝐚𝐧 𝐧𝐚𝐝𝐚 𝐞𝐧 𝐮𝐧 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨 𝐀𝐥 𝐬𝐞𝐫 𝐧𝐞𝐠𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚 𝐥𝐚 𝐟𝐫𝐚𝐜𝐜𝐢ó𝐧, 𝐭𝐨𝐝𝐚 𝐞𝐥 𝐚𝐠𝐮𝐚 𝐬𝐞 𝐯𝐚 𝐩𝐨𝐫 𝐞𝐥 𝐝𝐞𝐬𝐚𝐠ü𝐞

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