@ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1 U.D. 8 * 2º ESO GEOMETRÍA PLANA π.

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1 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1 U.D. 8 * 2º ESO GEOMETRÍA PLANA π

2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 2 U.D. 8.5 * 2º ESO TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES π

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO3 TRAPECIOS Rectángulo Isósceles Escaleno Trapecios P = B + b + h + l A = [(B+b) / 2].h P = B + b + 2.l A = [(B+b) / 2].h P = B + b + l + l` A = [(B+b) / 2].h l = √ (h 2 + (B – b) 2 )l = √ (h 2 + [(B – b)/2] 2 )

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO4 El perímetro de un trapecio es la suma de los lados. P= B + b + l + l’ En un trapecio isósceles l=l’ En un trapecio rectángulo l’= h Si unimos dos trapecios, como en la figura ( uno de ellos invertido), se forma un romboide. El área del romboide será: A = (B+b).h Luego el área del trapecio será la mitad: A = (B + b).h / 2 ÁREA Y PERÍMETRO b B h B b b B ll’ h

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO5 TRAPECIO ISÓSCELES Es aquel en que los dos lados no paralelos son IGUALES. Se podría decir que es la parte de un triángulo isósceles que queda entre su base y una recta paralela a dicha base. En el trapecio isósceles la semidiferencia de las bases, la altura y el lado oblicuo forman un triángulo rectángulo. Por ello se puede determinar la altura conociendo las bases y el lado oblicuo; o también se puede determinar el lado oblicuo conociendo las bases y la altura. b B ll h Por el Teorema de Pitágoras: l = √ (h 2 + [ ( B – b ) / 2 ] 2 ) l = lado oblicuo = hipotenusa. TRAPECIO ISÓSCELES

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO6 B b En el triángulo rectángulo que se resalta, por el Teorema de Pitágoras: l = √ ( h 2 + ( B – b ) 2 ) h TRAPECIO RECTÁNGULO TRAPECIO RECTÁNGULO Es aquel en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases, formando dos ángulos rectos. En él la diferencia de las bases, la altura y el lado oblicuo forman un triángulo rectángulo. l’=h B – b l El perímetro es la suma de sus cuatro lados: P = B + b + h + l

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO7 Ejemplo 1 En un trapecio las bases miden 7 y 5 cm, la altura vale 6 cm y los lados oblicuos miden 6,5 y 7,5 cm. Hallar el perímetro y el área. El perímetro será: P=B+b+l+l’ = 7+5+6,5+7,5 = 26 cm El área será: A = [(B+b) / 2].h A = [(7+5) / 2]. 8 = 6.8 = 48 cm 2. Ejemplo 2 En un trapecio el perímetro mide 40 cm, las bases miden 10 y 8 cm, la altura vale 5 cm y un lado oblicuo es 3 cm mayor que el otro. Hallar los lados y el área. El perímetro será: P=B+b+l+l’  40 = 10 + 8 + l + (l + 3)  40 = 21 + 2.l   l = (40 – 21) / 2 = 19 / 2 = 9,5 cm,, l’ = l+3 = 9,5 + 3 = 12,5 cm El área será: A = [(B+b) / 2].h A = [(10+8) / 2]. 5 = 9.5 = 45 cm 2.

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO8 b=5 B = 7 l l ’ hh Ejemplo 3 En un trapecio las bases miden 7 y 5 cm y el área vale 48 cm 2. Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo. Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h Luego: 48 = [(7+5)/2].h   48 =(12/2).h  48 = 6.h  Aplicando la Regla del Producto: h = 48 / 6 = 8 cm Pero, sin más datos, el trapecio es indeterminado (infinitas soluciones). A = 48 h=8

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO9 Ejemplo 4 En un trapecio rectángulo el las bases miden 17 y 12 cm y la altura mide 12 cm. Hallar el perímetro y el área. Sabemos que: P = B + b + h + l  P = 17 + 12 + 12 + l Necesitamos conocer el lado oblicuo. Por el T. de Pitágoras: l 2 = h 2 + (B – b) 2 l 2 = 12 2 + (17 – 12) 2 l 2 = 144 + 25 = 169  l = √169 = 13 cm Por tanto P = 17+12+12+13 = 54 cm El área será: A = [(B+b) / 2].h A = [(17+12)/2].12 A = (29/2).12 A = 29.6 = 174 cm 2 b=12 B = 17 h l h h B – b

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO10 b=5 B = 7 l l hh Ejemplo 5 En un trapecio isósceles las bases miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm 2. Hallar la altura, los lados oblicuos y el perímetro. Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h Luego: 48 = [(11+5)/2].h  48 =(16/2).h  48 = 8.h  h = 6 cm Además a ambos lados se forma un triángulo rectángulo: Por el T. de Pitágoras l = √ (h 2 + [(B – b)/2] 2 ) = = √ (6 2 + [(11 – 5)/2] 2 ) = = √ (36 + 9) = √45 = 3.√5 cm El perímetro será: P=B+b+2.l P=11+5+2.3.√5 = P= 16 + 6.√5 cm

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO11 Es aquel cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos. Todo trapezoide se puede descomponer en cuatro triángulos, cuyos vértices serán los extremos de cada lado y un punto interior, P, cualquiera del trapezoide. Un caso particular de trapezoide es la cometa, donde las diagonales son perpendiculares (como el rombo o el cuadrado) y los lados iguales dos a dos. Ello hace que se forme un triángulo rectángulo, y por consiguiente se pueda utilizar el teorema de Pitágoras para su construcción. TRAPEZOIDE a b c d P La cometa

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º ESO12 La cometa 17 15 6 Ejemplo 7 En la cometa de la figura (trapezoide) nos dan la medida troceada de la diagonal mayor (6 + 15 = 21 dm) y el lado mayor (L=17 dm). Queremos saber el perímetro y el área para poder construirla. Calculamos la diagonal menor, d. Por el T. de Pitágoras d/2 = √(17 2 – 15 2 ) = √(289 – 225) = = √64 = 8  d = 2.8 = 16 dm Calculamos el lado menor, l. Por el T. de Pitágoras l = √(8 2 + 6 2 ) = √100 = 10 dm 8 8 17 10 El perímetro será: P=2.10+2.17 = 20+34 = 54 dm El área será: A=D.d/2 = 21.16 / 2 = 168 dm 2