@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema II Matrices.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema II Matrices

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES TEMA 2.6 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 ECUACIONES Y SISTEMAS ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Son ecuaciones o sistemas de ecuaciones en las cuales las incógnitas o coeficientes son matrices. Sea A. X = B la ecuación, donde A y B son matrices Despejando X tenemos -1 X = B / A = A.B Tendremos que calcular la inversa de la matriz A y luego un producto de matrices.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 FORMA MATRICIAL Todo sistema de ecuaciones lineales se puede expresar mediante matrices. En muchos casos ello nos facilitará además la resolución del sistema y demás cálculos. Ejemplo 1 3x – 2y = 4 5x + 6y = 7  A.X = C 3 – 2x 4 A = 5 + 6X =yC = 7

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5... Ejemplo Tenemos pues A.X = C De donde X = C / A = A -1. C Si la matriz A es cuadrada y tiene inversa, podremos hallar A -1. La matriz inversa multiplicada por la matriz C nos dará la solución del sistema de ecuaciones. Calculamos la matriz inversa mediante Gauss-Jordan: 3 – 2 10 5 + 601 F1=F1 / 3 1 – 2/3 1/30 5 + 601 F2=F2 – 5xF1 1 – 2/3 1/30 0 + 28/3-5/31

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6... Ejemplo F2=(3/28)xF2 1 – 2/3 1/30 0 1-5/283/28 F1=F1 + (2/3)xF2 1 0 1/3 – 10/841/14 0 1-5/28 3/28 La matriz inversa es: -1 3/14 1/14 A = -5/28 3/28

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7... Ejemplo 3/14 1/14 La matriz inversa es A -1 = -5/28 3/28 Las soluciones del sistema serán: 3/14 1/14 4 X = A -1.C = -5/28 3/28. 8 12/14 + 8/14 X = -20/28 + 24/28 x  x = 20 / 14 = 10 / 7 X= y  y = 4 / 28 = 1 / 7

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 FORMA MATRICIAL Todo sistema de ecuaciones lineales se puede expresar mediante matrices. En muchos casos ello nos facilitará además la resolución del sistema y demás cálculos. Ejemplo 2 x – 2y + 3z = 4 5x + 6y – 7z = 8  A.X = C 9x – 10y + 11z = 12 1 – 2 + 3x 4 A = 5 + 6– 7X =yC = 8 9– 1011z12

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9... Ejemplo Tenemos pues A.X = C De donde X = C / A = A -1. C Si la matriz A es cuadrada y tiene inversa, podremos hallar A -1. La matriz inversa multiplicada por la matriz C nos dará la solución del sistema de ecuaciones. Calculamos la matriz inversa mediante Gauss-Jordan: 1 – 2 3100 5 + 6– 7010 9– 1011001 F2=F2 – 5XF1 y F3=F3 – 9XF1 1 – 2 3100 0 16– 22-510 08-16-901

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10... Ejemplo F3=F3 – 0,5XF2 y F3=F3:16 1 – 2 31 00 0 1– 22/16-5/16 1/160 00– 5-6,5-0,51 F3=F3:(-5) y F1=F1 – 3XF3 1 – 2 0-2,9 -0,3 0,6 0 1– 22/16-5/16 1/160 0011,3 0,1-0,2 F2=F2 + (22/16)F3 y F1=F1 + 2XF2 1 0 00,05 0,1 0,05 0 10 1,475 0,2-0,275 0011,3 0,1-0,2

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11... Ejemplo 0,05 0,1 0,05 La matriz inversa es A -1 = 1,475 0,2 -0,275 1,3 0,1 -0,2 Las soluciones del sistema serán: 0,05 0,1 0,05 4 X = A -1.C = 1,475 0,2 -0,275. 8 1,3 0,1 -0,2 12 0,2 + 0,8 + 0,6 X = 5,9 + 1,6 – 3,3 5,2 + 0,8 – 2,4 x  x = 1,6 X= y  y = 4,2 z  z = 3,6

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 FORMA MATRICIAL Todo sistema de ecuaciones lineales se puede expresar mediante matrices. En muchos casos ello nos facilitará además la resolución del sistema y demás cálculos. Ejemplo 3 x + z = 2 y – z = 0  A.X = C x – y + t = 1 x – z = 0 1 0 1 0x 2 A = 0 1 - 1 0X =yC = 0 1 – 1 0 1z1 1 0 -1 0 t 0

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13... Ejemplo Tenemos pues A.X = C De donde X = C / A = A -1. C Si la matriz A es cuadrada y tiene inversa, podremos hallar A -1. La matriz inversa multiplicada por la matriz C nos dará la solución del sistema de ecuaciones. Calculamos la matriz inversa mediante Gauss-Jordan: 1 0 1 01 0 0 0 0 1 - 1 00 1 0 0 1 – 1 0 10 0 1 0 1 0 -1 0 0 0 0 1 F3=F3 – F1 y F4=F4 – F1 1 0 1 01 0 0 0 0 1 - 1 00 1 0 0 0 – 1 - 1 1-1 0 1 0 0 0 -2 0 -1 0 0 1

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.14... Ejemplo F3=F3 + F2 1 0 1 01 0 0 0 0 1 - 1 00 1 0 0 0 0 - 2 1-1 1 1 0 0 0 -2 0 -1 0 0 1 F4=F4 – F3 1 0 1 01 0 0 0 0 1 - 1 00 1 0 0 0 0 - 2 1-1 1 1 0 0 0 0 -1 0 -1 -1 1 Divido F3 entre (-2) y F4 entre (-1) 1 0 1 01 0 0 0 0 1 - 1 00 1 0 0 0 0 1 -1/21/2 -1/2 -1/2 0 0 0 0 1 0 1 1 -1

15 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.15... Ejemplo F1=F1 + F2 1 1 0 01 1 0 0 0 1 - 1 00 1 0 0 0 0 1 -1/21/2 -1/2 -1/2 0 0 0 0 1 0 1 1 -1 F3=F3 +(1/2)xF4 1 1 0 01 1 0 0 0 1 - 1 00 1 0 0 0 0 1 0 1/2 0 0 -1/2 0 0 0 1 0 1 1 -1 F2=F2+F3 1 1 0 01 1 0 0 0 1 0 01/2 1 0 -1/2 0 0 1 0 1/2 0 0 -1/2 0 0 0 1 0 1 1 -1

16 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.16... Ejemplo Y por último: F1=F1 – F2 1 0 0 01/2 0 0 1/2 0 1 0 01/2 1 0 -1/2 0 0 1 0 1/2 0 0 -1/2 0 0 0 1 0 1 1 -1 Las soluciones del sistema serán: 0,5 0 0 0,5 2 X = A -1.C = 0,5 1 0 -0,5. 0 0,5 0 0 -0,5 1 0 1 1 -1 0 1+0+0+0 x  x = 1 X = 1+0+0+0 Como X = y  y = 1 1+0+0+0 z  z = 1 0+0+1+0 t  t = 1