@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 DETERMINANTES U.D. 3 * 2º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 DETERMINANTES U.D. 3 * 2º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES U.D. 3.4 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 Es el orden del determinante de mayor menor no nulo de dicha matriz. El mayor determinante que podemos formar en de orden 3 (3x3). Como mucho su Rango vale 3 ; Rang (A) = 3 Ya vimos que |A| = 0, por lo que su rango no puede ser 3. Tomamos un determinante cualquiera de orden 2 1 2 |A| =  |A|= 5 – 8 = – 3 <> 0, luego Rang A = 2 4 5 Sea la matriz 123 A =456 789 RANGO DE UNA MATRIZ

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 Las matrices son organizaciones de números en m filas y n columnas, de forma rectangular, y sólo ocasionalmente de forma cuadrada (m=n). Los determinantes son siempre de forma cuadrada: (1X1), (2X2), (3X3), (4X4), …, (nXn). Sea la matriz A = El rango de A no puede ser 4, puesto que no es una matriz cuadrada y el mayor determinante es de orden 3 Veamos si es de rango 3: Todos los determinantes que tomemos tendrán 2 columnas iguales, por lo que su valor es 0. El rango de A no puede ser 3  Rang (A) ≤ 2 Veamos si el rango es 2: 1 1 1 0 = 1 – 0 = 1 <> 0  Rango (A) = 2 Matriz y determinante

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 Ejemplo Para hallar el rango de una matriz podemos hacerlo a la inversa: Ver si es de rango 1, al menos; luego ver si es de rango 2, al menos; y así sucesivamente hasta dar con el mayor rango posible, que será el rango de la matriz. Sea la matriz A = Vemos que hay al menos un elemento ( a 11 = 1) que es distinto de 0, luego el RANGO de A es, al menos, igual a 1  Rang (A) ≥ 1 Vemos que hay, al menos, un determinante de orden dos no nulo: 1 0 0 1 = 1.1 - 0.0 = 1 <> 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 2  Rang (A) ≥ 2

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 Veamos si existe algún determinante de orden 3 no nulo: 1 0 2 0 1 1 = 3-2-1=0; 0 1 1 = – 1 <> 0 1 1 3 0 1 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 3  Rang (A) ≥ 3. Y por último sólo nos queda ver si el Rango de A es 4: Aplicando Gauss-Jordan al determinante, lo que equivale a aplicar la propiedad VII: Si todos los elementos de una fila o columna se suman a los correspondientes de otra multiplicados por un número, el valor del determinante no varía. =, pues F3 = F3 – F1 Al quedarnos dos filas iguales, su valor es cero, |A|= 0 No necesitamos seguir desarrollando el Método de Gauss o de Gauss-Jordan. Luego podemos afirmar que el Rango de la matriz A no vale 4, al ser de valor nulo el único determinante de orden 4 que existe  Rang (A) = 3.

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 Sea la matriz A = Vemos que hay al menos un elemento ( a 11 = 1) que es distinto de 0, luego el RANGO de A es, al menos, igual a 1  Rang (A) ≥ 1 Vemos que hay, al menos, un determinante de orden dos no nulo: 1 0 0 1 = 1.1 - 0.0 = 1 <> 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 2  Rang (A) ≥ 2 Veamos si existe algún determinante de orden 3 no nulo: 1 0 2 0 1 1 = 1 +0+0 – 2 – 1 -0 = - 2 <> 0 1 1 1 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 3  Rang (A) ≥ 3. Otro ejemplo

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 Y por último sólo nos queda ver si el Rango de A es 4: Aplicamos la propiedad VII para hacer un determinante equivalente al dado (que tenga el mismo valor, ya que lo que nos importa es si dicho valor es o no nulo, cero), pero escalonado.  F3 = F3-F1   F4 = F4-F1  = 1 + 0 – 2 – 0 – 2 + 1 = – 2 <> 0 Si el elemento a 11 de un determinante de cualquier orden presenta ceros en todos los demás elementos de su fila o columna, dicho determinante es equivalente al producto de a 11 por otro determinante de orden menor resultante de eliminar la primera fila y la primera columna. Luego podemos afirmar que el Rango de la matriz A vale 4, al ser de valor no nulo el único determinante de orden 4 que existe  Rang (A) = 4. Nota: Aunque el valor de un determinante de orden 4 o mayor de 4 no se puede calcular aplicando la Regla de Sarrus, siempre lo podemos convertir en un determinante eqivalente 3x3 como se ha visto.