@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 LA BINOMIAL Y LA NORMAL U.D. 12 * 2º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 LA BINOMIAL Y LA NORMAL U.D. 12 * 2º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS2 Problemas de la BINOMIAL U.D. 12.3 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS3 En todo binomio, sea cual sea su potencia, se cumplen siempre las siguientes PROPIEDADES, que podemos comprobar con los ejemplos que sirven de base para el desarrollo de Newton: 1.-El número de sumandos o términos del desarrollo siempre es igual al número del exponente más uno. 2.-Los coeficientes numéricos forman siempre un triángulo, donde un coeficiente cualquiera es siempre igual a la suma de los dos coeficientes que están por encima de él. 3.-El grado de todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio. 4.-El grado del primer término del binomio, de ‘a’, va disminuyendo desde el valor del exponente hasta cero. 5.-El grado del segundo término del binomio, de ‘b’, va aumentando desde cero hasta el valor del exponente. 6.-La suma de los grados de ‘a’ y de ‘b’, en todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio. 7.-Si el binomio es una resta en lugar de una suma, los términos de lugar par del desarrollo serán de signo negativo. 8.-Los coeficientes numéricos presentan siempre simetría como se puede apreciar en el T. de Tartaglia. Son todos ellos Combinaciones sin repetición: C m,n donde ‘m’ es el exponente del binomio y ‘n’ varía de 0 a ‘m’ BINOMIO DE NEWTON

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS4 m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 k k m-k m m (a+b) = C.a + C.a. b + C. a. b +... + C. a. b +... + C. b m m m m m Ejemplo: 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 (7+5) = C.7 + C.7. 5 + C. 7. 5 + C. 7. 5 + C. 5 4 4 4 4 4 4 4 3 2 2 3 4 12 = 1. 7 + 4.7.5 + 6.7.5 + 4.7.5 + 1.5, que se puede comprobar. Ejemplo: Hallar el término 47 50 47 -1 50 - 47 47 50! 46 4 (0,7+0,3) =  C. 0,7. 0,3 = --------------------. 0,7 0,3 50 46!.(50-46)! = 460600. 0,0000000749. 0,0081 = 0,000279 Expresión formal

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS5 Sea la binomial B(n,p) n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 n n ( q + p ) = C. q + C. q. p + C. q. p +... + C. p n n n n Sea la binomial B(3, 0,3) 3 0 3 1 2 2 2 3 3 ( 0,7 + 0,3 ) = C. 0,7 + C. 0,7. 0,3 + C. 0,7. 0,3 + C. 0,3 3 3 3 3 3 ( 0,7 + 0,3 ) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) 3 3 Pues ( 0,7 + 0,3 ) = 1 = 1, que es la suma de probabilidades. APLICACIÓN A LA BINOMIAL

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS6 Problemas de la Binomial 1.-La probabilidad de que un cazador acierte en el blanco es de 0,3. Si en una cacería sabemos que ha disparado 20 veces. Hallar la probabilidad de: a)Haber cazado 5 piezas. b)Haber cazado 15 piezas. c)No haber cazado nada. RESOLUCIÓN 5 15 20! P(X=5) = C20,5. 0,3.0,7 = ----------. 0,00243.0,004747 = 0,1788 5!.15! 15 5 20! P(X=15) = C20,15. 0,3.0,7 = ----------. 0,000000014.0,16807 = 0,000037 5!.15! 0 20 20! P(X=0) = C20,0. 0,3.0,7 = ----------. 1.0,0007979 = 0,0007979 0!.20!

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS7 Problemas de la Binomial 2.-En un colegio el 65 % son niñas y el 35 % restante niños. Cada semana se rifa un juguete entre todos los alumnos. Tras las 35 semanas de curso, hallar la probabilidad de: Veinte de las veces le haya tocado a un niño. Diez veces le haya tocado a una niña. Todas las veces a sido algún niño el agraciado. RESOLUCIÓN 20 15 35! P(X=20) = C35,20. 0,35.0,65 = ----------. 7,61e-10.0,001562 = 0,003861 20!.15! 10 25 35! P(X=10) = C35,10. 0,65.0,35 = ----------. 0,01346.5,38e-14 = 0,0000098 10!.25! 35 0 35! P(X=35) = C35,35. 0,35.0,65 = ----------. 1,1e-16.1 = 1,1e-16 0!.35!

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS8 Problemas de la Binomial 3.- En una reserva de osos, el 70 % son hembras y el 30% machos. Cada semana se elige aleatoriamente un oso para realizarle un chequeo preventivo y detectar posibles enfermedades. Tras las diez primeras semanas, hallar la probabilidad de: Cinco veces le haya tocado a una hembra. Tres veces le haya tocado a un macho. Más de una vez le haya tocado a un macho. RESOLUCIÓN 5 5 P(X=5) = C10,5. 0,70.0,30 = 252. 0,16807. 0,00243 = 0,102919 3 7 P(X=3) = C10,3. 0,30.0,70 = 120. 0,027. 0,08235 = 0,266828 0 10 1 9 P(X>1) = 1 – P(X=0) – P(X=1) = 1 – C10,0.0,30. 0,70 – C10,1.0,30.0,70 = = 1 – 0,0282475 – 10.0,30.0,04035 = 0,850691