Estadística Avanzada para Ingenieros Actividad 5

Estadística Avanzada para Ingenieros Actividad 5
Dr. Ernesto Roberto Fuentes Garí

Cálculo de probabilidades por enumeración de puntos muestrales.
6.1 Técnicas de conteo. 6.1.1 Concepto 6.1.2 Principio multiplicativo. 6.1.3 Principio aditivo. 6.1.4 Combinaciones. 6.1.5 Permutaciones. 6.1.6 Variaciones con repetición. 6.1.7 Permutaciones con repetición. 6.1.8 Diagrama de árbol. 6.2 Probabilidad. 6.2.1 Probabilidad para eventos simples. 6.2.2 Probabilidad para eventos compuestos. 6.3 Ejercicios

Objetivos Conocer: Ser capaz de:
Las diferentes técnicas de conteo para determinar el número total de elementos de un espacio maestral finito por medio de la enumeración directa. Los axiomas relacionados con el concepto de probabilidad Los teoremas relacionados con el cálculo de probabilidades para eventos compuestos Ser capaz de: Determinar el número total de elementos de un espacio maestral finito por medio de la enumeración directa. Calcular probabilidades para eventos compuestos y mediante las distribuciones estudiadas en la actividad anterior.

Introducción Distribución de Bernoulli B(1,p)
Se mide el número de éxitos y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), siendo p la probabilidad de éxito. 𝑓 𝑋=𝑥 = 𝑝 𝑥 (1−𝑝) 1−𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥=0, 1 𝜇 =𝐸 𝑋 = p

Introducción Distribución Binomial B(n,p)
Se mide el número de éxitos en n tiradas de Bernoulli independientes, siendo p la probabilidad de éxito. 𝑓 𝑋=𝑥 = 𝑛 𝑥 𝑝 𝑥 (1−𝑝) 𝑛−𝑥 , n = 0, 1, 2, … , n. 𝜇=𝐸 𝑋 = 𝑛 . p

Introducción Distribución Geométrica G(p)
Describe las probabilidades de obtener k fracasos antes del primer éxito, al realizar sucesivas tiradas de Bernoulli independientes, con probabilidad p de éxito. 𝑓 𝑋=𝑥 =𝑝 (1−𝑝) 𝑥 𝜇=𝐸 𝑋 = 1−𝑝 𝑝

Introducción Distribución Binomial Negativa BN(r,p)
Describe las probabilidades de obtener k fracasos antes del r-ésimo éxito, al realizar sucesivas tiradas de Bernoulli independientes, con probabilidad p de éxito. 𝑓 𝑋=𝑥 = 𝑥+𝑟−1 𝑥 (1−𝑝) 𝑥 𝑝 𝑟 𝜇=𝐸 𝑋 = 𝑟 (1−𝑝) 𝑝

Introducción Distribución Hypergeométrica
Proporciona probabilidades en n extracciones sin reposición. 𝑓 𝑋=𝑥 = 𝑁𝑝 𝑥 𝑁𝑞 𝑛−𝑥 𝑁 𝑛 = 𝑁 1 𝑥 𝑁 2 𝑛−𝑥 𝑁 𝑛 , 𝑁 2 =𝑁− 𝑁 1 𝜇=𝐸 𝑋 = 𝑛 . p

Introducción Distribución de Poisson
Aparece como aproximación a la distribución binomial, B(n,p), cuando n es grande y p pequeño, siendo E(X)= 𝜆 𝑓 𝑋=𝑥 = 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥 𝑥!

Concepto de técnica de conteo
Suponga que un servicio de pruebas de productos evalúa el funcionamiento de una podadora de césped como fácil de operar, de dificultad mediana o difícil, como cara o barata, como de reparación costosa, regular o barata. ¿De cuántas maneras diferentes puede clasificarse una podadora de césped en dicho servicio?. Sin dudas tendremos muchas maneras de clasificar la podadora: O= {fácil, mediana, difícil}, C= {cara, barata}, R={costosa, regular, barata}. O sea tendremos que analizar todas las posibles variantes que podemos obtener y que adelantamos son 18.

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, entre otras. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

Principio multiplicativo. Teorema: Si los conjuntos A1, A2, …, Ak contienen N1, N2, …, Nk elementos respectivamente, entonces existen N1 x N2 x x Nk maneras o formas de elegir primero un elemento de A1, luego un elemento de A2, …, y finalmente un elemento de Ak.

Principio multiplicativo. Ejemplo 1 En el caso de las podadoras de césped los conjuntos O, C y R tienen 3, 2 y 3 elementos respectivamente. Y por tanto: Número de maneras posibles = 3 x 2 x 3 = 18

Principio multiplicativo. Ejemplo 2 Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de dos maneras concreto o bloques de cemento, mientras que las paredes las puede hacer de adobe o ladrillo, el techo puede ser de concreto, tejas de arcilla o lámina galvanizada, el piso de granito o losas y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa? Cimiento = {concreto, bloques de cemento} N1 = 3 Paredes=={adobe, ladrillo} N2 = 2 Techo = {concreto, lámina galvanizada, tejas de arcilla} N3 = 3 Piso = {granito, losa} N4 = 2 Acabado = {manera única} N5 = 1 Número de maneras posibles = 3 x 2 x 3 x 2 x 1= 36

Principio multiplicativo. Ejemplo 3 ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y números. b. No es posible repetir letras y números. c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero sin repetir letras y números. d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G sin repetir letras y números.

Principio multiplicativo. Ejemplo 3 Solución: Considerando 26 letras del abecedario y los 10 dígitos del 0 al 9 a x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = placas 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas c x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas d x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas A X L 1 9 6

Principio aditivo Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N W maneras o formas.

Principio aditivo Ejemplo 4 Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Principio aditivo Ejemplo 4 Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = = 30 maneras de seleccionar una lavadora

Combinaciones Teorema: El número de formas en que r objetos pueden elegirse de un conjunto de n objetos distintos es: 𝐶 𝑟 𝑛 = 𝑛 𝑟 = 𝑛 𝑛−1 𝑛−2 …( 𝑛−𝑟+1) 𝑟 𝑟−1 𝑟−2 …..2.1 O de otra manera (Notación factorial) 𝐶 𝑟 𝑛 = 𝑛 𝑟 = 𝑛! 𝑟! 𝑛−𝑟 ! Todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos en el mismo

Combinaciones. Triángulo de Pascal N=0 1 N=1 N=2 2 N=3 3 N=4 4 6 N=5 5 10 N=6 15 20 N=7 7 21 35

Combinaciones Ejemplo 5: ¿De cuántas maneras diferentes pueden elegirse 3 de 20 ayudantes de laboratorio para auxiliar en un experimento?. n= 20 y r = 3 20 3 = 20! 3! 20−3 ! = 20∙19∙18∙17! 3∙2∙1∙17! = 20∙19∙3 1 =60∙19=1140

Combinaciones Ejemplo 6 ¿En cuántas formas diferentes puede el director de un laboratorio de investigación elegir a dos químicos entre 7 aspirantes y tres físicos entre nueve candidatos. Los químicos = 7! 2! 7−2 ! = 7∙6∙5! 2∙1∙5! = 7∙3 1 =21 Los físicos = 9! 3! 9−3 ! = 9∙8∙7∙6! 3.2∙1∙6! = 3∙4.7 1 =84

Permutaciones Teorema: El número de permutaciones (también conocidos como variaciones) de r objetos escogidos de un conjunto de n objetos distintos es: 𝑃 𝑟 𝑛 =𝑛 𝑛−1 𝑛−2 …( 𝑛−𝑟+1) O, en notación factorial 𝑃 𝑟 𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑟 ! O sea: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Permutaciones Ejemplo 7 ¿En cuántas formas se puede hacer una primera, segunda, tercera y cuarta elecciones entre 12 empresas de cualquier equipo para construcción?. n=12 y r = 4 Primera fórmula: 𝑃 4 12 =12 ∙11∙10∙9=11 880 Segunda fórmula: 𝑃 4 12 = 12! 12−4 ! = 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙8! 8! =12 ∙11∙10∙9=11 880

Permutaciones Ejemplo 8 Un mecanismo de control electrónico necesita cinco circuitos idénticos de memoria. ¿De cuántos modos se pueden ensamblar las memorias en dicho mecanismo?. n=5 y r = 5 Primera fórmula: 𝑃 5 5 =5 ∙4∙3∙2 ∙1=125 Segunda fórmula: 𝑃 5 5 = 5! 5−5 ! = 5 ∙4∙3∙2 ∙1 0! =5 ∙4∙3∙2 ∙1=125

Variaciones con repetición Se llaman variaciones con repetición de n elementos tomados de r en r a los distintos grupos formados por r elementos de manera que: No entran todos los elementos si r > n. Sí pueden entrar todos los elementos si r ≤ n Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos. 𝑉 𝑟 𝑛 = 𝑟 𝑛

Variaciones con repetición Ejemplo 9 1. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? m = n = 3 No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. Sí se repiten los elementos. 111, 333,121… 𝑉 3 5 = 5 3 =125

Variaciones con repetición Ejemplo 10 ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5? m = 6 n = 3 Tenemos que separar el número en dos bloques: El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matrículas, los de la lotería y otros casos particulares). m = 5 n = 1 El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito. m = 6 n = 2 𝑉 5 1 ∙ 𝑉 6 2 = 5 1 ∙ 6 2 =5∙36=180 d1 d2 d3

Permutaciones con repetición Teorema: Si entre n objetos existe una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de objetos de un segundo tipo, y una cantidad xk de objetos del tipo k, tal que n = x1 + x xk. entonces, el número total de permutaciones que es posible obtener es : 𝑃 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑘 𝑛 = 𝑛! 𝑥 1 !∙ 𝑥 2 ! ∙∙∙ 𝑥 𝑘 !

Permutaciones con repetición Ejemplo 11 Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado. Solución: n = 6 banderines x1 = 2 banderines rojos x2 = 3 banderines verdes x3 = 1 banderín morado 𝑃 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 6 = 6! 2!∙3!∙1! = 6∙5∙4∙3! 2∙1∙3! =6∙5∙2=60

Permutaciones con repetición Ejemplo 12 ¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?. ¿Cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?. ¿Cuántas de las claves del inciso a empiezan por el número dos y terminan por el número tres? Solución: a. n = 8 números x1 = 3 números uno x2 = 1 número dos x3 = 4 números cuatro 𝑃 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 8 = 8! 3!∙1!∙4! = 8∙7∙6∙5∙4! 3∙2∙1∙4! =8∙7∙5=280

Permutaciones con repetición Ejemplo 12 b. n = 6 (se excluye un número uno y un dos) x1 = 2 números uno x2 = 4 números tres 1∙1∙𝑃 𝑥 1 , 𝑥 2 6 = 6! 2!∙4! = 6∙5∙4! 2∙1∙4! =3∙5=15 claves de acceso. En las posiciones 1 y 2 solo hay una manera de colocar el 1 y el 2 respectivamente

Permutaciones con repetición Ejemplo 12 c. n = 6 (se excluye un número dos y un tres) x1 = 3 números uno x2 = 3 números tres 1∙1∙𝑃 𝑥 1 , 𝑥 2 6 = 6! 3!∙3! = 6∙5∙4∙3! 3∙2∙1∙3! =5∙4=20 claves de acceso En las posiciones 1 y 8 solo hay una manera de colocar el 1 y el 3 respectivamente

Diagramas de árbol Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Opciones de operación son {E1, E2 , E3} 3 Opciones del precio { P1, P2 } 2 Opciones de reparación son { C1, C2 , C3} 3

Diagramas de árbol Partiendo de la raíz del árbol, contamos todas las ramas que terminan en una hoja y verificamos que son 18. (3*2*3=18).

Diagramas de árbol Ejemplo 13. Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuántas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?.

Diagramas de árbol En este problemas tenemos 24 casos diferentes (2*3*4 = 24)

Probabilidad La probabilidad de un suceso es la posibilidad de que éste ocurra. Si hay n resultados igualmente posibles, todos los cuales ocurren y s son favorables o como un éxito, entonces la probabilidad de un éxito está dada por 𝑠 𝑛 . La probabilidad de un evento (suceso) que suceda o resulte, es la proporción de veces que el evento sucedería en una serie prolongada de experimentos repetidos.

Axiomas Ejemplo 14 Supongamos que 500 piezas mecánicas son examinadas antes de ser embarcadas, que I representa el conjunto de piezas de maquinaria mal ensambladas, D representa el conjunto que contiene uno o más componentes defectuosos. La distribución de las piezas se da según aparece en el diagrama de Venn siguiente: Llamaremos a N(X), función de conjunto y nos devuelve la cantidad (cardinal) de elementos de un conjunto (finito) X.

Axiomas Las cifras definidas en la figura anterior son: N(I∩D') =20

Axiomas N(I'∩D) =5 N(I'∩D') =465

Axiomas Así tenemos que N(I') = 5 + 465 = N(I'∩D) + N(I'∩D')
N(I∪D) = = N(I∩D') + N(I∩D) + N(I'∩D) N(I′∪D) = = N(I'∩D') + N(I'∩D) + N(I∩D) N(D) = = N(I∩D) + N(I'∩D)

Axiomas Mediante este concepto de función de conjunto aditiva explicaremos lo entendemos por la probabilidad de un evento. Dados un espacio muestral finito S y un evento A en S, definimos P(A), o sea la probabilidad de A, como el valor de la función aditiva de conjunto que satisface las tres condiciones siguientes: Axioma 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1, para cada evento A en S. Axioma 2: P(S) = 1. Axioma 3: Si A y B son eventos que se excluyen mutuamente en S, entonces P (A ∪ B) = P(A) + P( B)

Algunos Teoremas Generalización del axioma 3. Teorema 1:
Si A1, A2, … An son eventos mutuamente excluyentes en un espacio muestral S, entonces: P(A1 ∪ A2∪, …∪ An) = P(A1) + P(A2)+ … + P(An ) (*) Este axioma se modifica cuando los espacios muestrales dejan de ser finitos

Algunos Teoremas Ejemplo 15
La probabilidad de que un servicio de pruebas para consumidores califique un nuevo dispositivo anticontaminante de autos como muy malo, malo, regular, bueno, muy bueno o excelente es de 0.07, 0.12, 0.17, 0.32, 0.21 y 0.11, respectivamente. ¿Cuáles son las probabilidades de que lo califiquen como: Muy malo, malo , regula o bueno. Bueno, muy bueno o excelente.

Dado que todas las posibilidades son excluyentes mutuamente, la simple sustitución directa en la fórmula del teorema anterior nos da el resultado: = 0.68 = 0.64 Se puede mostrar que para un espacio muestral de tamaño n, el número de subconjuntos (evento) es igual 2n. Lo cual puede ser un número elevado dependiendo de n. Por ejemplo si n=20 hay más de 1 millón de eventos posibles.

Algunos Teoremas Teorema 2:
Si A es un evento en el espacio muestral finito S, entonces P(A) es igual a la suma de las probabilidades de todos los resultados individuales incluidos en A. Demostración: Sean E1, E2, … En los eventos de los que costa el evento A, entonces A = E1 ∪ E2∪, …∪ En y dado que los eventos Ei 0≤ i ≤ n son mutuamente excluyentes tenemos según el teorema 2 que: P(A) = P(E1 ∪ E2∪, …∪ En) = P(E1) + P(E2)+ … + P(En )

En el caso de la clasificación de las maquinas podadoras de césped visto al principio de esta clase, asuma las probabilidades que aparecen asignadas a cada evento según el grafico que sigue y calcule: P(E1), P(P1), P(C1), P(E1∩ P1) y P(E1∩ C1).

Algunos Teoremas Ejemplo 16 Solución:
Sumando las probabilidades de los resultados incluidos en los eventos respectivos, resulta: P(E1) = = 0.40 P(P1) = = 0.60 P(C1) = = 0.30 P(E1∩ P1) = = 0.26 P(E1∩ C1) = = 0.12

El siguiente diagrama de Venn se refiere a las solicitudes de empleo de un grupo de ingenieros recién titulados. I indica la obtención de un empleo en la industria, mientras que G en el gobierno en porcentajes. Calcular P(I), P(G) y P(I ∪ G).

Algunos Teoremas Como los números dentro de los conjuntos representan porcientos, lo podemos escribir en decimales como una probabilidad, y en este caso observamos: P(I) = = 0.30 P(G) = = 0.36 Mientras que: P(I ∪ G) = = ≠ = 0.66 Sin embargo: – 0.12 = Esto sugiere que restemos de la probabilidad suma en el caso de la unión la probabilidad de la intersección que en el caso de eventos no excluyentes se está contado dos veces.

Algunos Teoremas Teorema 3
Si A y B son eventos cualesquiera en S, entonces P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B). Demostración. Del ejemplo 14 utilizamos: N(I∪D) = = N(I∩D') + N(I∩D) + N(I'∩D), de donde se tiene la identidad: I∪D = (I∩D') U (I∩D) U (I'∩D) Entonces: P(A U B) =P(A∩B) + P(A∩B') + P(A'∩B) P(A U B) =P(A∩B) + P(A∩B') + P(A'∩B) + P(A∩B) - P(A∩B) y agrupando convenientemente: P(A U B) = [P(A∩B) + P(A∩B')] + [P(A∩B) + P(A'∩B)] - P(A∩B) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) Luego cuando A y B se excluyan mutuamente P(A∩B) = 0.

Para el caso de las podadoras de césped, encontrar la probabilidad de que una podadora sea clasificada como fácil de operar y/o de tener un promedio elevado de reparación, es decir P(E1 U C1) Utilizando los resultados del ejemplo 16. P(E1) = 0.40, P(C1) = 0.30 y P(E1∩ C1) = 0.12 y sustituyendo en la fórmula tendremos: P(E1 U C1) = P(E1) + P(C1) - P(E1∩ C1) = – 0.12 = 0.58

Si las probabilidades de que una familia, aleatoriamente escogida en una encuesta realizada en una gran ciudad, posea un televisor LED, PLASMA o ambos son respectivamente 0.87, 0.36 y ¿Cuál es la probabilidad de que una familia de esa ciudad posea un tipo o ambas clases?. P(LED U PLASMA) = – 0.29 = 0.94

Algunos Teoremas Teorema 4.
Si A es cualquier evento en S, entonces P(A') = 1 – P(A) Demostración: A y A' son mutuamente excluyentes y por definición A U A' = S, entonces: P(A U A') = P(A) + P(A') = P(S) = 1, luego P(A') = 1 – P(A)

Para el caso de las podadoras de césped, y los resultados del ejemplo 3. Encontrar: La probabilidad de que una podadora no sea evaluada como fácil de operar. La probabilidad de que una podadora no sea clasificada como como fácil de operar o que tampoco lo sea de reparación costosa. P(E') = 1 – P(E) = 1 – 0,40 = 0.60 Da do que 𝐸 1 ′ ∪ 𝐶 1 ′ = 𝐸 1 ∩ 𝐶 1 ′ Y de acuerdo con la identidad ( A ∩ 𝐵 )' = A' ∪ B', obtenemos que: 𝑃(𝐸 1 ′ ∪ 𝐶 1 ′ )=𝑃( 𝐸 1 ∩ 𝐶 1 ′ )=1−𝑃( 𝐸 1 ∩ 𝐶 1 )=1−0.12=0.88

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