Por Jorge Sánchez COMBINATORIA. Sí una elección puede hacerse de varias formas que se excluyen entre sí, es decir, que no se pueden tomar simultáneamente,

Presentación del tema: "Por Jorge Sánchez COMBINATORIA. Sí una elección puede hacerse de varias formas que se excluyen entre sí, es decir, que no se pueden tomar simultáneamente,"— Transcripción de la presentación:

1 Por Jorge Sánchez COMBINATORIA

2 Sí una elección puede hacerse de varias formas que se excluyen entre sí, es decir, que no se pueden tomar simultáneamente, el número posible de elecciones es igual a la suma de las posibilidades de cada forma. PRINCIPIO DE LA SUMA La carta de un restaurante incluye 8 platos de pasta, 6 platos de carne y 5 platos de pescado. Queremos comer un solo plato. ¿De cuántas maneras distintas podemos elegir? Si una elección tiene que hacerse de varias elecciones independientes entre sí, el número total de elecciones es el producto de las posibilidades de cada elección. PRINCIPIO DEL PRODUCTO La carta de un restaurante incluye 8 primeros platos, 6 segundos y 5 postres. Queremos comer un plato de cada tipo. ¿De cuántas maneras distintas podemos elegir?

3 PAPIRO DE RHIND Fue escrito por Ahmes aproximadamente en el año 1650 A.C. Consta de 87 problemas. El problema 79 es de combinatoria.

4 As I was going to St. Ives, I met a man with seven wives. Each wife had seven sacks. Each sack had seven cats. Each cat had seven kits. Kits, cats, sacks, and wives. How many were there going to St. Ives? St. Ives Mother Goose Según iba a St. Ives, me crucé con un hombre con 7 esposas. Cada esposa tenía 7 sacos, cada saco tenía 7 gatos, cada gato tenía 7 gatitos. Gatitos, gatos, sacos y esposas. ¿Cuántos iban a St. Ives? La mamá oca de San Ives

5 HombresEsposasSacosGatosGatitos

6 Pero la respuesta al problema es 1. Según iba a St. Ives, me crucé con un hombre con 7 esposas. Cada esposa tenía 7 sacos, cada saco tenía 7 gatos, cada gato tenía 7 gatitos. Gatitos, gatos, sacos y esposas. ¿Cuántos iban a St. Ives? La mamá oca de San Ives En realidad, a St. Ives sólo iba yo.

7 FACTORIAL Y NÚMEROS COMBINATORIOS

8 COMBINATORIA La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma.

9 COMBINATORIA ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Sí No Sí No Sí No Sí No Permutación con repetición Permutación Sólo uno Variación con repetición Variación Combinación con repetición Combinación

10 PERMUTACIONES Tenemos n elementos. Debemos usarlos todos. No podemos repetir. 1ª posición 2ª posición 3ª posiciónn-ésima posición

11 Ejemplo 1: ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 10 alumnos en una clase con 10 pupitres? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Permutación

12 Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras distintas se puede ordenar una baraja de póker de 52 cartas? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Permutación

13 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN Tenemos un elemento repetido n 1 veces, otro repetido n 2, …, otro repetido n k. n 1 + n 2 +…+ n k =m. Debemos usarlos todos. Si fuesen distintos El mismo grupo aparece repetido Lo mismo para el resto de repeticiones

14 Ejemplo 3: ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Permutación con repetición

15 Ejemplo 4: ¿Cuántas palabras distintas (con o sin sentido) podemos construir utilizando todas las letras de MISSISSIPPI ? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Permutación con repetición

16 Ejemplo 5: ¿Cuántos caminos distintos podemos recorrer desde casa al trabajo? (Cada movimiento debe acercarnos al trabajo).   DDADADDADDA D

17 Ejemplo 5: ¿Cuántos caminos distintos podemos recorrer desde casa al trabajo? (Cada movimiento debe acercarnos al trabajo). ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Permutación con repetición

18 VARIACIONES Tenemos m elementos. Sólo usamos n elementos. No podemos repetir. 1ª posición 2ª posición 3ª posiciónn-ésima posición

19 Ejemplo 6: ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 7 alumnos en una clase con 10 pupitres? Alumno 1 Alumno 2 Alumno 3 Alumno 4 Alumno 5 Alumno 6 Alumno 7 Pupitre 1 Pupitre 2 Pupitre 3 Pupitre 4 Pupitre 5 Pupitre 6 Pupitre 7 Pupitre 8 Pupitre 9 Pupitre 10 Pupitre 3 Pupitre 7 Pupitre 1 Pupitre 8 Pupitre 4 Pupitre 5 Pupitre 10

20 Ejemplo 6: ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 7 alumnos en una clase con 10 pupitres? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Variación

21 Ejemplo 7: ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Variación ¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

22 VARIACIONES CON REPETICIÓN Tenemos m elementos. Sólo usamos n elementos. Podemos repetir. 1ª posición 2ª posición 3ª posiciónn-ésima posición

23 Ejemplo 8: ¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Variación con repetición

24 Ejemplo 9: ¿Cuantos décimos de la lotería nacional hay? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Variación con repetición

25 x Ejemplo 10: ¿Cuantos boletos distintos de la quiniela se pueden rellenar? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Variación con repetición x x x x x x x x x x x x x x x

26 COMBINACIONES Tenemos m elementos. Sólo usamos n elementos. No podemos repetir. Si importara el orden tendríamos Pero como no importa cada grupo está repetido

27 Ejemplo 11: ¿Cuantos boletos distintos de la lotería primitiva se pueden rellenar? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No x x x x x x Combinación

28 Ejemplo 12: ¿De cuántas maneras distintas se pueden repartir 5 cartas de una baraja de póker de 52 cartas? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No Combinación

29 COMBINACIONES CON REPETICIÓN Tenemos m elementos. Usamos n elementos. Podemos repetir. Del 1 er elemento usamos 11111…110 Del 2º elemento usamos 11111…110111…110…0 Del m-ésimo elemento usamos 11111…110111…110…011…1 Hay n unos y m grupos de unos  Hay n unos y m-1 ceros

30 Ejemplo 13: ¿De cuántas maneras distintas se pueden repartir 4 entradas de cine entre 8 personas? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Importa el 0rden? ¿Se repiten elementos? Sí No Sí No Sí No De las 8 personas he de elegir a 4, pero puedo repetir. Combinación con repetición

31 Problema: ¿De cuántas maneras distintas se puede conseguir una doble pareja al repartir 5 de las 52 cartas de una baraja de póker? 1ª pareja2ª parejanº distinto

32 TRIÁNGULO DE TARTAGLIA 1 11 11 1 1 1 1 11 2 33 4 64 5 10 5

33 TRIÁNGULO DE TARTAGLIA 1 11 11 1 1 1 1 11 2 33 4 64 5 10 5

34 TRIÁNGULO DE TARTAGLIA 1 11 11 1 1 1 1 11 2 33 4 64 5 10 5

35 1 11 11 11 11 11 2 33 464 5 5 1 71 28 1 84 1 8 36 9 1 17 1 28 1 84 8 9 36 6 2015 2135 56 15 6 35 70 126 21 56 126 1 1 1 3 6 4 10 5 28 8436 2015 2135 56 15 35 70 126 Números triangulares Números tetraédricos Números pentagonales

36 TRIÁNGULO DE TARTAGLIA 1 11 11 11 1 1 11 2 33 4 6 4 5 10 5 1 7 1 28 1 84 1 8 36 9 1 17 1 28 1 84 8 9 36 6 20 15 21 35 56 15 6 35 70 126 21 56 126 36 posibles caminos

37 Halla probabilidad de que caiga en el centro. 1 1 4 64

38 BINOMIO DE NEWTON

39

40

41 Ejemplo: 1 1 5 10 5