Actividad # 3: Tema -Medidas de dispersión. Propósito: Determinar las medidas de dispersión, -desviación típica y varianza- mostrando interés por los nuevos.

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1 Actividad # 3: Tema -Medidas de dispersión. Propósito: Determinar las medidas de dispersión, -desviación típica y varianza- mostrando interés por los nuevos saberes. Indicaciones: -Preste atención a los planteamientos y procedimientos hechos por el docente -Escriba los planteamientos y procedimientos desarrollados por el docente - Exprese sus dudas y o comentarios al docente

2 Actividad # 3: Medidas de dispersíón para series datos simples y series de datos agrupados Subtemas: -Desviación Típica -Varianza -Coeficiente de Variación o varibilidad Textos de referencia para el tema: -Bonilla Gildaberto, Estadística, elementos de estadística descriptiva y probabilidad, UCA Editores, El Salvador 2010.

3 Actividad # 3: Medidas de dispersíón para series datos simples y series de datos agrupados Desviación típica o estandar σ = √ Σ (Xi – X_)^2 series simples N σ = √ Σ X^2 - (ΣX)^2 N ( N) σ = √ Σ f(pm – X_)^2 series agrupadas en clases y frecuencias N Es la más importante medida de dispersión.

4 Actividad # 3: Medidas de dispersión para series datos simples y series de datos agrupados Ejemplo del Cálculo de la desviación típica o estandard Xi f d’___ Pm Pm- X_ (pm- X_)^2 f (Pm –X_)^2 28-32 10 33-37 15 38-42 20 43-47 35 0 48-52 19 53-57 12 58-62 9 Texto de referencia para el tema: -Bonilla Gildaberto, Estadística, elementos de estadística descriptiva y probabilidad, UCA Editores, El Salvador 2010.

5 Actividad # 3: Medidas de dispersión para series datos simples y series de datos agrupados La varianza V(x) = σ^2 σ^2= Σ (Xi – X) ^2 _ N Establece la cercanía de cada uno de los datos con respecto a la media La varianza es siempre una cantidad no negativa: V(x)= ≥ 0 La varianza de una constante es cero: V(k) = 0 La varianza del producto de una constante por una variable es igual al producto del cuadrado de la constante por la varianza de la variable: V(kX) = K^2. V(x) Coeficiente de variación σ Desviación típica CV = ____ x 100 X_ Media aritmética Interpretemos el Coefic. De Variación 187.5 CV = ______ x 100 = 45.73% 410 8.13 CV = ______ x 100 = 18.24% 44.58

6 Actividad # 3: Medidas de dispersión para series datos simples y series de datos agrupados Grado de representatividad de l media aritmética, mediante el coeficiente de variación: Valor del CV Grado en que la X_ representa ala serie De 0 a menos de 10%Altamente representativa De 10 a menos de 20% Bastante representativa De 20 a menos de 30%Tiene representatividad De 30 a menos de 40%Representación dudosa De 40% o másMedia carente de representatividad

7 Actividad # 3: Medidas de dispersión para series datos simples y series de datos agrupados Ejemplo del cálculo de la varianza: X_= 22.9 σ^ 8.42 Registro de temperatura promedios (en grados centígrados) de un ciudad turística TemperaturafPmPm.f(pm – X_)^2 (pm –X_)^2. f _______________________________________________________________ 7- 123 13- 185 19- 24 11 25- 30 6 31- 36 3 37 - 42 2

8 Actividad # 3: Medidas de dispersión para series datos simples y series de datos agrupados Ejercicio que resolverá el estudiante: Calcular la varianza TemperaturafPmPm.f(pm – X_)^2 (pm –X_)^2. f _______________________________________________________________ 15 - 19 2 20 – 24 6 25 - 29 8 30 - 34 6 35 - 39 5 40 - 44 3

9 Actividad # 2: Warm Up: Reflexión

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11 Actividad # 3: Medidas de dispersíón para series datos simples y series de datos agrupados Desviación típica o estandar σ = √ Σ (Xi – X_)^2 N series simples σ = √ Σ X^2 - (ΣX)^2 N ( N) σ = √ Σ f(pm – X_)^2 series agrupadas en clases y frecuencias N Es la más importante medida de dispersión.

12 Actividad # 3: Medidas de dispersión para series datos simples y series de datos agrupados La varianza V(x) = σ^2 Serie simple σ^2= Σ (Xi – X) ^2 _ N-1 Serie agrupada solo con frecuencias σ^2= Σ f. (Xi – X) ^2 _ N Serie agrupada en clases y frecuencias σ^2 = Σ f. (pm – X_)^2 N Establece la cercanía de cada uno de los datos con respecto a la media La varianza es siempre una cantidad no negativa: V(x)= ≥ 0 Varianza para datos agrupados en clases y frecuencias Coeficiente de variación σ Desviación típica CV = ____ x 100 X_ Media aritmética

13 Actividad # 3: Medidas de dispersión para series datos simples y series de datos agrupados Ejemplo del cálculo de la varianza datos agrupados : X_= 22.9 σ^ =8.42 Registro de temperatura promedios (en grados centígrados) de un ciudad turística Temperaturaf d’ fd’ Pm Pm.f (pm – X_)^2 (pm –X_)^2. f _______________________________________________________________ 7- 123 - 2 -6 9.5 28.5 -13.4 538.68 13- 185 - 1 -5 15.5 77.5 -7.4 273.8 19- 24 11 0 0 21.5 236.5 -1.4 21.56 25- 30 6 1 6 27.5 165 4.6 126.96 31- 36 3 2 6 33.5 100.5 10.6 337.08 37- 42 2 3 6 39.5 79 16.6 551.12 30 7 687 1,849.2

14 Actividad # 3: Medidas de dispersión para series datos simples y series de datos agrupados Ejercicio que resolverá el estudiante: Calcular la varianza Ejemplo Caso que desarrollará el estudiante XiXi – X _ ( Xi – X_)^2 XiXi – X _ ( Xi – X_)^2 ______________________________ ____________________________ 11 1.5 12 2 15 3 18 3 20 3.5 20 4 24 4.5 5 5.5 6

15 Actividad # 3: Medidas de dispersión para series datos simples y series de datos agrupados Ejercicio que resolverá el docente sobre el cálculo de la varianza, con tabla de frecuencias Ejemplo Horas utilizadas por el estudiante para actividades extracurriculares: Horas Xfx.f xi – Ⱦ (xi –X )^2 f. (xi – X)^2 46 510 613 75 84 91 101

16 Actividad # 3: Medidas de dispersión para series datos simples y series de datos agrupados Ejercicio que resolverá el estudiante: Calcular la desviación típica, varianza y coeficiente de variación. Realizar una interpretación de los datos. Registro de temperatura promedios (en grados centígrados) de un ciudad turística TemperaturafPmPm.f(pm – X_)^2 (pm –X_)^2. f __________________________________________________________________ 15 - 19 2 20 – 24 6 25 - 29 8 30 - 34 6 35 - 39 5 40 - 44 3

17 Actividad # 3: Medidas de dispersión para series de datos agrupados Desviación típica o estandar σ = √ Σ (Xi – X_)^2 series simples σ = √ Σ X^2 - (ΣX)^2 N N ( N) σ = √ Σ f(pm – X_)^2 series agrupadas en clases y frecuencias N Es la más importante medida de dispersión.

18 Actividad # 3: Medidas de dispersión para series datos agrupados La varianza V(x) = σ^2 Serie simple σ^2= Σ (Xi – X) ^2 _ N-1 Serie agrupada solo con frecuencias σ^2= Σ f. (Xi – X) ^2 _ N Serie agrupada en clases y frecuencias σ^2 = Σ f. (pm – X_)^2 N Establece la cercanía de cada uno de los datos con respecto a la media La varianza es siempre una cantidad no negativa: V(x)= ≥ 0 Varianza para datos agrupados en clases y frecuencias Coeficiente de variación σ Desviación típica CV = ____ x 100 X_ Media aritmética

19 Actividad 3 COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON: Cuando se quiere comparar el grado de dispersión de dos distribuciones que no vienen dadas en las mismas unidades o que las medias no son iguales se utiliza el coeficiente de variación de Pearson que se define como el cociente entre la desviación típica y el valor absoluto de la media aritmética CV representa el número de veces que la desviación típica contiene a la media aritmética y por lo tanto cuanto mayor es CV mayor es la dispersión y menor la representatividad de la media. Coeficiente de variación de Pearson σ Desviación típica CV = ____ x 100 | X_| Media aritmética

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31 Actividad # 4: Recapitulación de lo aprendido Propósito: Recordar con interés los contenidos desarrollados en la clase, sobre el cálculo de las medidas de dispersión. Indicaciones: Cuando el docente le indique exponga ante sus compañeros: -Describa un aspecto aprendido en la clase de hoy. -¿Que representa la varianza? -Explique la utilidad del calculo de la varianza. -¿Qué representa el coeficiente de variación? -¿Qué fue fácil de aprender hoy? -¿Qué fue difícil de aprender hoy?

32 Agenda Actividad # 1: lo que aprendimos en la clase anterior. Actividad # 2: Warm Up (Reflexión) Actividad # 3: Fundamentos de Probabilidad Actividad # 4: Lo que aprendimos hoy

33 Actividad # 1: Pre-saberes: lo que aprendimos en la clase anterior Propósito: Recordar con interés lo aprendido en la clase anterior sobre las medidas de dispersión. Indicaciones: Cuando el docente le indique exponga su respuestas a las estructuras o preguntas guías siguientes: -Describa un aspecto aprendido en la clase anterior. -¿Qué entiende por medidas de dispersión? -¿Qué representa la desviación media? -¿Qué es la desviación típica o estandar? -¿Cómo se calcula el Coeficiente de Variación? -¿Cuál es la interpretación del coeficiente de variación?

34 Actividad # 2: Warm Up: Reflexión Propósito: Reflexionar con interés las valoraciones y mensajes motivacionales. Indicaciones: - Preste atención a los mensajes que se expresan en el video. - Interiorice los mensajes. - Exprese ante sus compañeros su reflexión puntual.

35 Actividad # 3: Tema –Fundamento de probabilidad Propósito : Conocer los fundamentos de la teoría de la probabilidad, esforzándose por el aprendizaje de nuevos saberes. Ejemplificar los fundamentos de la teoría de la probabilidad, mostrando interés por los nuevos saberes Indicaciones: -Preste atención a los planteamientos y ejemplos expuestos por el docente. -Escriba los planteamientos y ejemplos desarrollados por el docente - Exprese sus dudas o comentarios al docente

36 Actividad 3: fundamento de probabilidad La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento. Ejemplo : tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un número par, o que salga un número menor que 4. El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aún realizando el experimento en las mismas condiciones. Ejemplos : lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir.

37 Fundamento de probabilidad Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad. Ejemplo : en lugar de tirar la moneda al aire, directamente seleccionamos la cara. Aquí no podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno mismo. Suceso elemental: hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar. Ejemplo: Al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y la cruz. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son el 1, el 2,.., hasta el 6.

38 Fundamento de probabilidad Suceso compuesto : es un subconjunto de sucesos elementales. Ejemplo : lanzamos un dado y queremos que salga un número par. El suceso "numero par" es un suceso compuesto, integrado por 3 sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6 O, por ejemplo, jugamos a la ruleta y queremos que salga "menor o igual que 18". Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales (todos los números que van del 1 al 18).

39 Fundamento de probabilidad Al conjunto de todos los posibles sucesos elementales lo denominamos espacio muestral. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles). Ejemplo: si tiramos una moneda al aíre una sola vez, el espacio muestral será cara o cruz. Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral estaría formado por (cara-cara), (cara-cruz), (cruz-cara) y (cruz-cruz).

40 Fundamento de probabilidad Probabilidad: Relación entre sucesos Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones: a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suyas propias.

41 Fundamento de probabilidad Ejemplo : lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Vemos que el suceso a) está contenido en el suceso b). Siempre que se da el suceso a se da el suceso b, pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumpliría el suceso b, pero no el a.

42 Fundamento de probabilidad b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa. Ejemplo : lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos.

43 Actividad # 4: Recapitulación de lo aprendido Propósito: Recordar con interés los contenidos desarrollados en la clase, sobre el fundamento de probabilidad, mostrando interés por los nuevos saberes. Indicaciones: Cuando el docente le indique exponga ante sus compañeros: -Describa un aspecto aprendido en la clase de hoy. -¿Qué entiende por probabilidad de un evento? -Explique el concepto de aleatoriedad -¿Qué es un suceso elemental y suceso compuesto? -Explique la Igualdad y relación de sucesos

44 Agenda Actividad # 1: lo que aprendimos en la clase anterior. Actividad # 2: Warm Up (Reflexión) Actividad # 3: Fundamentos de Probabilidad Actividad # 4: Lo que aprendimos hoy

45 Actividad # 1: Pre-saberes: lo que aprendimos en la clase anterior Propósito: Recordar con interés lo aprendido en la clase anterior sobre las medidas de dispersión. Indicaciones: Cuando el docente le indique exponga su respuestas a las estructuras o preguntas guías siguientes: -Describa un aspecto aprendido en la clase anterior. -Explique el concepto de probabilidad -Explique el concepto de aleatoriedad -¿Qué es determinismo? -Defina: Espacio muestral -Población, universo ó espacio muestral como concepto estadístico.

46 Actividad # 2: Warm Up: Reflexión Propósito: Reflexionar con interés las valoraciones y mensajes motivacionales. Indicaciones: - Preste atención a los mensajes que se expresan en el video. - Interiorice los mensajes. - Exprese ante sus compañeros su reflexión puntual.

47 Actividad # 3: Tema –Fundamento de probabilidad Propósito : Conocer los fundamentos de la teoría de la probabilidad, esforzándose por el aprendizaje de nuevos saberes. Ejemplificar los fundamentos de la teoría de la probabilidad, mostrando interés por los nuevos saberes Indicaciones: -Preste atención a los planteamientos y ejemplos expuestos por el docente. -Escriba los planteamientos y ejemplos desarrollados por el docente - Exprese sus dudas o comentarios al docente

48 Fundamento de probabilidad c) Unión de dos o más sucesos: la unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6

49 Fundamento de probabilidad d) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se intersectan. Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 4. La intersección de estos dos sucesos tiene un sólo elemento, el número 6 (es el único resultado común a ambos sucesos: es mayor que 4 y es número par).

50 Fundamento de probabilidad e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su intersección es el conjunto vacío). Ejemplo : lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6. Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo.

51 Fundamento de probabilidad f) Sucesos complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa).

52 Cálculo de probabilidades Probabilidad Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%)

53 Cálculo de probabilidad El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero. El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%). El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno

54 Ejemplos de cálculo de probabilidad ¿Cómo se mide la probabilidad? Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. P(A) = Casos favorables / casos posibles a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto: P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)

55 Ejemplos de cálculo de probabilidad b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto: P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)

56 Ejemplos de cálculo de probabilidad c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto: P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)

57 Ejemplos de cálculo de probabilidad ¿Cómo se mide la probabilidad? Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. P(A) = Casos favorables / casos posibles a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto: P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)

58 Ejemplos de cálculo de probabilidad b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto: P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)

59 Ejemplos de cálculo de probabilidad c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto: P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)

60 Ejemplo de cálculo de probabilidad d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan sólo un caso favorable, el número que jugamos (¡qué triste...¡), frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto: P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%) Merece la pena...... Por cierto, tiene la misma probabilidad el número 45.264, que el número 00001, pero ¿cuál de los dos comprarías?

61 Regla de probabilidad de Laplace A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.

62 Modelo frecuentista de probabilidad Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%. Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%.

63 Modelo frecuentista de probabilidad Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista. En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.

64 Ejemplos de probabilidad

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72 Probabilidad empírica

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76 Probabilidad subjetiva Ejemplo: Se dice que existe un 90% de probabilidad de que la derogación de la ley de integración monetaria sea implementada por el actual gobierno.

77 Tema 2: axiomas de probabilidad

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85 Eventos mutuamente excluyentes y complemento

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92 Eventos Dependientes

93 Eventos dependientes

94 Eventos condicionales:

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97 Agenda Actividad # 1: lo que aprendimos en la clase anterior. Actividad # 2: Warm Up (Reflexión) Actividad # 3: Tema: Teorema de Bayes Actividad # 4: Lo que aprendimos hoy

98 Teorema de Bayes Combina las leyes sumativa y multiplicativa de probabilidades. Si H1, H2, H3 y Hn, son eventos mutuamente excluyentes, formando una partición del espacio muestral, y si E es un evento arbitrario definido en este espacio muestral de modo que P(E) >0, el teorema dice que la probabilidad de H1, dado que ha ocurrido E, es: P(Hi) P(E/Hi) P(Hi/E) = ____________________________________________________ P(Hi). P(E/Hi) + P(H2). P(E/H2)+ P(H3). P(E/H3)+ P(Hn). P(E/Hn) O P(Hi) P(E/Hi) P(Hi/E) = _____________________________________________________ ∑ P(Hi). P(E/Hi)

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